北京市2020届高三高考数学押题仿真卷（二）

北京市2020届高三高考数学押题仿真卷（二）

‎2020年北京市高考数学押题试卷 一、选择题（共10小题）.‎ ‎1．已知集合A＝{﹣1，0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（　　）‎ A．{﹣1} B．{0} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1}‎ ‎2．设a=‎‎2‎‎1‎‎3‎，b＝log32，c＝cosπ，则（　　）‎ A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．a＞b＞c ‎3．下列函数中，最小正周期为π‎2‎的是（　　）‎ A．y＝sin|x| B．y＝cos|2x| C．y＝|tanx| D．y＝|sin2x|‎ ‎4．若OA‎→‎‎⊥‎AB‎→‎，‎|OA‎→‎|=2‎，则OA‎→‎‎⋅OB‎→‎=‎（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎5．与圆x2+y2+2x﹣4y＝0相切于原点的直线方程是（　　）‎ A．x﹣2y＝0 B．x+2y＝0 C．2x﹣y＝0 D．2x+y＝0‎ ‎6．设{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则“d＞0”是“{Sn}为递增数列”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为（　　）‎ A．‎1‎‎6‎ B．‎2‎‎6‎ C．‎3‎‎6‎ D．‎‎1‎‎2‎ ‎8．双曲线C的方程x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1‎（a＞0，b＞0），左右焦点分别为F1，F2，P为C右支上的一点，PF‎1‎‎→‎‎⋅PF‎2‎‎→‎=0‎，以O为圆心，a为半径的圆与PF1相切，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．‎5‎ B．‎3‎ C．2 D．‎‎2‎ ‎9．已知函数f（x）＝sin（2x‎-‎π‎3‎），g（x）＝x2﹣2，若对任意的实数x1，总存在实数x2使得f（x1）＝g（x2）成立，则x2的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，1] B．‎[-‎3‎，‎3‎]‎ ‎ C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．[‎-‎‎3‎，﹣1]∪[1，‎3‎]‎ ‎10．已知函数f（x）＝2mx2﹣2（4﹣m）x+1，g（x）＝mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（0，2） B．（0，8） C．（2，8） D．（﹣∞，0）‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．复数‎|‎2‎i+1‎|=‎　 　．‎ ‎12．已知α∈（π‎2‎，π），sinα‎=‎‎4‎‎5‎，则tan（α‎+‎π‎4‎）＝　 　．‎ ‎13．在△ABC中，若bcosC+csinB＝0，则∠C＝　 　．‎ ‎14．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C‎=‎‎20tt‎2‎‎+4‎，则经过　 　h后池水中药品的浓度达到最大．‎ ‎15．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式‎1+‎‎1‎‎1+‎‎1‎‎1+⋯‎中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程‎1+‎1‎x=x，求得x=‎‎1+‎‎5‎‎2‎，类似上述过程，则‎3+‎‎3+‎‎3+‎‎⋯⋯‎　 　．‎ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎16．在①b1+b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝﹣25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．‎ 设等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列，　 　，b1＝a5，b2＝3，b5＝﹣81，是否存在k，使得Sk＞Sk+1且Sk+1＜Sk+2？‎ ‎17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA＝AE＝BE＝2，CD＝1．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值．‎ ‎18．某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．‎ ‎（Ⅰ）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；‎ ‎（Ⅱ）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中男员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s‎1‎‎2‎，s‎2‎‎2‎，试比较s‎1‎‎2‎与s‎2‎‎2‎的大小．（只需写出结论）‎ ‎19．已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣1（a∈R），g（x）＝xf（x）‎+‎1‎‎2‎x‎2‎+‎2x．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当a＝1时，若函数g（x）在区间（m，m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值．‎ ‎20．已知直线l：x＝t与椭圆C：x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎=‎1相交于A，B两点，M是椭圆C上一点 ‎（Ⅰ）当t＝1时，求△MAB面积的最大值；‎ ‎（Ⅱ）设直线MA和MB与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．‎ ‎21．数字1，2，3，…，n（n≥2）的任意一个排列记作（a1，a2，…，an），设Sn为所有这样的排列构成的集合．集合An＝{（a1，a2，…，an）∈Sn|任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有ai+i≤aj﹣j}；集合Bn＝{（a1，a2，…，an}∈Sn|任意整数i，j，1≤i＜n，都有ai+i≤aj+j}．‎ ‎（Ⅰ）用列举法表示集合A3，B3‎ ‎（Ⅱ）求集合An∩Bn的元素个数；‎ ‎（Ⅲ）记集合Bn的元素个数为bn．证明：数列{bn}是等比数列．‎ 参考答案 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知集合A＝{﹣1，0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（　　）‎ A．{﹣1} B．{0} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1}‎ ‎【分析】利用交集定义能求出集合A∩B．‎ 解：集合A＝{﹣1，0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝{0}，‎ 故选：B．‎ ‎2．设a=‎‎2‎‎1‎‎3‎，b＝log32，c＝cosπ，则（　　）‎ A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．a＞b＞c ‎【分析】结合对数的单调性引入0与1进行比较大小，即可判断．‎ 解：a=‎2‎‎1‎‎3‎＞‎1，b＝log32∈（0，1），c＝cosπ＝﹣1，‎ 故a＞b＞c．‎ 故选：D．‎ ‎3．下列函数中，最小正周期为π‎2‎的是（　　）‎ A．y＝sin|x| B．y＝cos|2x| C．y＝|tanx| D．y＝|sin2x|‎ ‎【分析】由题意利用三角函数的周期性，得出结论．‎ 解：由于函数y＝sin|x|不是周期函数，故排除A；‎ 由于函数y＝cos|2x|＝cos2x的周期为‎2π‎2‎‎=‎π，故B不正确；‎ 由于函数y＝|tanx|的周期为π‎1‎‎=‎π，故排除C；‎ 由于函数y＝|sin2x|的周期为‎1‎‎2‎•‎2π‎2‎‎=‎π‎2‎，故D正确，‎ 故选：D．‎ ‎4．若OA‎→‎‎⊥‎AB‎→‎，‎|OA‎→‎|=2‎，则OA‎→‎‎⋅OB‎→‎=‎（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【分析】根据垂直可得OA‎→‎•（AO‎→‎‎+‎OB‎→‎）＝0，代入计算即可．‎ 解：∵OA‎→‎‎⊥‎AB‎→‎，‎|OA‎→‎|=2‎，‎ ‎∴OA‎→‎•AB‎→‎‎=‎OA‎→‎•（AO‎→‎‎+‎OB‎→‎）＝﹣|OA‎→‎|2‎+OA‎→‎⋅OB‎→‎=-‎4‎+OA‎→‎⋅OB‎→‎=‎0，‎ ‎∴OA‎→‎‎⋅OB‎→‎=‎4，‎ 故选：C．‎ ‎5．与圆x2+y2+2x﹣4y＝0相切于原点的直线方程是（　　）‎ A．x﹣2y＝0 B．x+2y＝0 C．2x﹣y＝0 D．2x+y＝0‎ ‎【分析】先求出圆的标准方程，可得圆心坐标和半径，（0，0）满足圆的方程，从而得到答案．‎ 解：圆：x2+y2+2x﹣4y＝0，即（x+1）2+（y﹣2）2＝5，表示以C（﹣1，2）为圆心，半径等于‎5‎的圆．‎ ‎（0，0）满足圆的方程，所以过点（0，0）且与圆x2+y2+2x﹣4y＝0相切的直线方程为x﹣2y＝0．‎ 故选：A．‎ ‎6．设{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则“d＞0”是“{Sn ‎}为递增数列”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据等差数列的前n项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ 解：由Sn+1＞Sn⇔（n+1）a1‎+‎n(n+1)‎‎2‎d＞na1‎+‎n(n-1)‎‎2‎d⇔dn+a1＞0⇔d≥0且d+a1＞0．‎ 即数列{Sn}为递增数列的充要条件d≥0且d+a1＞0，‎ 则“d＞0”是“{Sn}为递增数列”的既不充分也不必要条件，‎ 故选：D．‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为（　　）‎ A．‎1‎‎6‎ B．‎2‎‎6‎ C．‎3‎‎6‎ D．‎‎1‎‎2‎ ‎【分析】根据已知中三视图，画出几何体的直观图，分析几何体的形状为三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．‎ 解：由已知中三视图，画出几何体的直观图如下图所示：‎ 它的顶点均为棱长为1的正方体的顶点，‎ 故其底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为1，‎ 故几何体的体积V‎=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×1×1×1=‎‎1‎‎6‎，‎ 故选：A．‎ ‎8．双曲线C的方程x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1‎（a＞0，b＞0），左右焦点分别为F1，F2，P为C右支上的一点，PF‎1‎‎→‎‎⋅PF‎2‎‎→‎=0‎，以O为圆心，a为半径的圆与PF1相切，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．‎5‎ B．‎3‎ C．2 D．‎‎2‎ ‎【分析】连结PF2、OM，PF2⊥PF1．由圆的切线性质，得到OM⊥PF1，根据三角形中位线定理，算出|PF2|＝2|OM|＝2a．在△PF1F2中利用勾股定理，结合双曲线的定义解出c与a的关系，利用双曲线离心率公式即可算出该双曲线的离心率．‎ 解：如图：连结PF2、OM，‎ ‎∵PF‎1‎‎→‎‎⋅PF‎2‎‎→‎=0‎，所以PF1⊥PF2，‎ 以O为圆心，a为半径的圆与PF1相切，‎ ‎∴M是PF1的中点，‎ ‎∴OM是△PF1F2的中位线，‎ ‎∴OM∥PF2，且|PF2|＝2|OM|＝2a ‎∵PF1与以原点为圆心a为半径的圆相切，‎ ‎∴OM⊥PF1，可得PF2⊥PF1，‎ ‎△PF1F2中，|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，…①‎ ‎∵根据双曲线的定义，得|PF1|﹣|PF2|＝2a ‎∴|PF1|＝|PF2|+2a＝4a，代入①得（4a）2+（2a）2＝|F1F2|2，‎ ‎∴（2c）2＝|F1F2|2＝20a2，解之得c‎=‎‎5‎a 由此可得双曲线的离心率为e‎=ca=‎‎5‎，‎ 故选：A．‎ ‎9．已知函数f（x）＝sin（2x‎-‎π‎3‎），g（x）＝x2﹣2，若对任意的实数x1，总存在实数x2使得f（x1）＝g（x2）成立，则x2的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，1] B．‎[-‎3‎，‎3‎]‎ ‎ C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．[‎-‎‎3‎，﹣1]∪[1，‎3‎]‎ ‎【分析】由题意，求出f（x）的值域，根据对任意的实数x1，总存在实数x2使得f（x1）＝g（x2）成立，可得g（x）的值域，即可求出x2的取值范围．‎ 解：函数f（x）＝sin（2x‎-‎π‎3‎），‎ 根据正弦函数性可知：f（x）的值域为[﹣1，1]，‎ 对任意的实数x1，总存在实数x2使得f（x1）＝g（x2）成立，‎ ‎∴[﹣1，1]⊆g（x）．‎ ‎∵g（x）＝x2﹣2，‎ 根据二次函数性质可知：当g（x）＝﹣1时，可得x＝±1，‎ 当g（x）＝1时，可得x＝±‎3‎，‎ 由二洗函数的图象可得：[‎-‎‎3‎，﹣1]∪[1，‎3‎]．‎ 故选：D．‎ ‎10．已知函数f（x）＝2mx2﹣2（4﹣m）x+1，g（x）＝mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（0，2） B．（0，8） C．（2，8） D．（﹣∞，0）‎ ‎【分析】当m≤0时，显然不成立；当m＞0时，因为f（0）＝1＞0，所以仅对对称轴进行讨论即可．‎ 解：当m≤0时，‎ 当x接近+∞时，函数f（x）＝2mx2﹣2（4﹣m）x+1与g（x）＝mx均为负值，‎ 显然不成立 当x＝0时，因f（0）＝1＞0‎ 当m＞0时，‎ 若‎-b‎2a=‎4-m‎2m≥0‎，即0＜m≤4时结论显然成立；‎ 若‎-b‎2a=‎4-m‎2m＜0‎，时只要△＝4（4﹣m）2﹣8m＝4（m﹣8）（m﹣2）＜0即可，即4＜m＜8‎ 则0＜m＜8‎ 故选：B．‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．复数‎|‎2‎i+1‎|=‎　‎2‎　．‎ ‎【分析】先对已知复数进行化简，然后结合模长公式即可求解．‎ 解：‎|‎2‎i+1‎|=‎|‎2(1-i)‎‎(1+i)(1-i)‎|＝|1﹣i|‎=‎‎2‎．‎ 故答案为：‎2‎．‎ ‎12．已知α∈（π‎2‎，π），sinα‎=‎‎4‎‎5‎，则tan（α‎+‎π‎4‎）＝　‎-‎‎1‎‎7‎　．‎ ‎【分析】直接利用三角函数关系式的定义和和角公式的应用求出结果．‎ 解：α∈(π‎2‎，π)，sinα=‎‎4‎‎5‎，‎ 则：cosα=-‎‎3‎‎5‎，‎ 所以：tanα=-‎‎4‎‎3‎，‎ 则：tan(α+π‎4‎)=tanα+tanπ‎4‎‎1-tanαtanπ‎4‎=‎-‎4‎‎3‎+1‎‎1+‎‎4‎‎3‎=-‎‎1‎‎7‎，‎ 故答案为：‎-‎‎1‎‎7‎．‎ ‎13．在△ABC中，若bcosC+csinB＝0，则∠C＝　‎3π‎4‎　．‎ ‎【分析】直接利用正弦定理对函数的关系式进行变换，进一步求出C的值．‎ 解：∵bcosC+csinB＝0‎ ‎∴由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB＝0，‎ ‎∵0＜B＜π，‎ ‎∴sinB＞0，于是cosC+sinC＝0，即tanC＝﹣1，‎ ‎∵0＜C＜π，‎ ‎∴C‎=‎‎3π‎4‎．‎ 故答案为：‎3π‎4‎．‎ ‎14．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C‎=‎‎20tt‎2‎‎+4‎，则经过　2　h后池水中药品的浓度达到最大．‎ ‎【分析】利用基本不等式的性质即可得出．‎ 解：C‎=‎20tt‎2‎‎+4‎=‎20‎t+‎‎4‎t≤‎20‎‎2‎t⋅‎‎4‎t=‎5，当且仅当t＝2时取等号．‎ 因此经过2h后池水中药品的浓度达到最大．‎ 故答案为：2．‎ ‎15．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式‎1+‎‎1‎‎1+‎‎1‎‎1+⋯‎中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程‎1+‎1‎x=x，求得x=‎‎1+‎‎5‎‎2‎，类似上述过程，则‎3+‎‎3+‎‎3+‎‎⋯⋯‎　‎1+‎‎13‎‎2‎　．‎ ‎【分析】由阅读能力及类比能力结合解方程x2﹣x﹣3＝0，（x＞0）解得：x‎=‎‎1+‎‎13‎‎2‎，即可得解．‎ 解：设x‎=‎‎3+‎‎3+‎‎3+‎‎⋯⋯‎ 由题意可得：‎ x‎=‎‎3+x，‎ 即x2﹣x﹣3＝0，（x＞0）‎ 解得：x‎=‎‎1+‎‎13‎‎2‎，‎ 故答案为：‎1+‎‎13‎‎2‎．‎ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎16．在①b1+b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝﹣25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．‎ 设等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列，　①　，b1＝a5，b2＝3，b5＝﹣81，是否存在k，使得Sk＞Sk+1且Sk+1＜Sk+2？‎ ‎【分析】利用等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式，先求出，等比数列{bn}的通项公式，再分别结合三个条件一一算出等差数列{an}的通项公式，并判断是否存在符合条件的k．‎ 解：因为在等比数列{bn}中，b2＝3，b5＝﹣81，所以其公比q＝﹣3，‎ 从而bn‎=b‎2‎(-3‎)‎n-2‎=3×(-3‎‎)‎n-2‎，从而a5＝b1＝﹣1．‎ 若存在k，使得Sk＞Sk+1，即Sk＞Sk+ak+1，从而ak+1＜0；‎ 同理，若使Sk+1＜Sk+2，即Sk+1＜Sk+1+ak+2，从而ak+2＞0．‎ 若选①：由b1+b3＝a2，得a2＝﹣1﹣9＝﹣10，所以an＝3n﹣16，‎ 当k＝4时满足a5＜0，且a6＞0成立；‎ 若选②：由a4＝b4＝27，且a5＝﹣1，所以数列{an}为递减数列，‎ 故不存在ak+1＜0，且ak+2＞0；‎ 若选③：由S‎5‎‎=-25=‎5(a‎1‎+a‎5‎)‎‎2‎=5‎a‎3‎，解得a3＝﹣5，从而an＝2n﹣11，‎ 所以当n＝4时，能使a5＜0，a6＞0成立．‎ ‎17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA＝AE＝BE＝2，CD＝1．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明PA⊥CD，CD⊥AD．得到CD⊥平面PAD，即可证明平面PAD⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）建立空间直角坐标系E﹣xyz，用坐标表示向量，求出平面PBC和平面PBE的法向量所成的角的余弦值即可．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：由平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，‎ 且平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD；‎ 又BE⊥AD，BE∥CD，所以CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD；‎ 又CD⊂平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）解：作AD的垂线Ez，以E为原点，以EB‎→‎、ED‎→‎的方向分别为x轴，y轴的正方向，‎ 建立空间直角坐标系E﹣xyz，如图所示；‎ 则点E（0，0，0），P（0，﹣2，2），A（0，﹣2，0），‎ B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）．‎ 所以PB‎→‎‎=‎（2，2，﹣2），BC‎→‎‎=‎（﹣1，2，0），EP‎→‎‎=‎（0，﹣2，2）；‎ 设平面PBC的法向量为n‎→‎‎=‎（x，y，z），‎ 所以n‎→‎‎⋅PB‎→‎=0‎n‎→‎‎⋅BC‎→‎=0‎，即x+y-z=0‎‎-x+2y=0‎；‎ 令y＝1，解得n‎→‎‎=‎（2，1，3）；‎ 设平面PBE的法向量为m‎→‎‎=‎（a，b，c），‎ 所以m‎→‎‎⋅PB‎→‎=0‎m‎→‎‎⋅EP‎→‎=0‎，即a+b+c=0‎‎-b+c=0‎；‎ 令b＝1，解得m‎→‎‎=‎（0，1，1）．‎ 所以cos‎＜‎m‎→‎，n‎→‎‎＞=‎2×0+1×1+3×1‎‎4+1+9‎‎×‎‎0+1+1‎=‎‎2‎‎7‎‎7‎；‎ 由图形可知，二面角C﹣PB﹣E的余弦值为‎2‎‎7‎‎7‎．‎ ‎18．某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．‎ ‎（Ⅰ）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；‎ ‎（Ⅱ）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中男员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s‎1‎‎2‎，s‎2‎‎2‎，试比较s‎1‎‎2‎与s‎2‎‎2‎的大小．（只需写出结论）‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用抽取的比例即可得出．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人．所以，随机变量X的所有可能取值为1，2，3．利用超几何分布列的概率计算公式即可得出．数学期望EX=1×‎3‎‎10‎+2×‎6‎‎10‎+3×‎1‎‎10‎=‎18‎‎10‎=‎‎9‎‎5‎． …‎ ‎（Ⅲ）利用方程计算公式即可得出结论．‎ 解：（Ⅰ）抽取的5人中男员工的人数为‎5‎‎45‎‎×27=3‎，‎ 女员工的人数为‎5‎‎45‎‎×18=2‎．…‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人．‎ 所以，随机变量X的所有可能取值为1，2，3．‎ 根据题意，P(X=1)=C‎3‎‎1‎‎⋅‎C‎2‎‎2‎C‎5‎‎3‎=‎‎3‎‎10‎，P(X=2)=C‎3‎‎2‎‎⋅‎C‎2‎‎1‎C‎5‎‎3‎=‎‎6‎‎10‎，P(X=3)=C‎3‎‎3‎‎⋅‎C‎2‎‎0‎C‎5‎‎3‎=‎‎1‎‎10‎．‎ 随机变量X的分布列是：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎3‎‎10‎‎ ‎ ‎6‎‎10‎‎ ‎ ‎1‎‎10‎‎ ‎ 数学期望EX=1×‎3‎‎10‎+2×‎6‎‎10‎+3×‎1‎‎10‎=‎18‎‎10‎=‎‎9‎‎5‎． …‎ ‎（Ⅲ）s‎1‎‎2‎‎=‎s‎2‎‎2‎． …‎ ‎19．已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣1（a∈一、选择题），g（x）＝xf（x）‎+‎1‎‎2‎x‎2‎+‎2x．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当a＝1时，若函数g（x）在区间（m，m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；‎ ‎（Ⅱ）求出函数g（x）的导数，根据函数的单调性得到导函数的零点，求出函数的极值点，求出m的值即可．‎ 解：（Ⅰ）由已知得x＞0，f′(x)=‎1‎x-a=‎‎1-axx，‎ ‎（ⅰ）当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）为增函数；‎ ‎（ⅱ）当a＞0时，由f'（x）＞0，得‎0＜x＜‎‎1‎a；‎ 由f'（x）＜0，得x＞‎‎1‎a；‎ 所以函数f（x）的单调递增区间为‎(0，‎1‎a)‎，单调递减区间为‎(‎1‎a，+∞)‎．‎ ‎（Ⅱ）因为g(x)=xf(x)+‎1‎‎2‎x‎2‎+2x=x(lnx-x-1)+‎1‎‎2‎x‎2‎+2x=xlnx-‎1‎‎2‎x‎2‎+x，‎ 则g'（x）＝lnx+1﹣x+1＝lnx﹣x+2＝f（x）+3．‎ 由（Ⅰ）可知，函数g'（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．‎ 又因为g′(‎1‎e‎2‎)=-2-‎1‎e‎2‎+2=-‎1‎e‎2‎＜0‎，g'（1）＝1＞0，‎ 所以g'（x）在（0，1）上有且只有一个零点x1．‎ 又在（0，x1）上g'（x）＜0，g（x）在（0，x1）上单调递减；‎ 在（x1，1）上g'（x）＞0，g（x）在（x1，1）上单调递增．‎ 所以x1为极值点，此时m＝0．‎ 又g'（3）＝ln3﹣1＞0，g'（4）＝2ln2﹣2＜0，‎ 所以g'（x）在（3，4）上有且只有一个零点x2．‎ 又在（3，x2）上g'（x）＞0，g（x）在（3，x2）上单调递增；‎ 在（x2，4）上g'（x）＜0，g（x）在（x2，4）上单调递减．‎ 所以x2为极值点，此时m＝3．‎ 综上所述，m＝0或m＝3．‎ ‎20．已知直线l：x＝t与椭圆C：x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎=‎1相交于A，B两点，M是椭圆C上一点 ‎（Ⅰ）当t＝1时，求△MAB面积的最大值；‎ ‎（Ⅱ）设直线MA和MB与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）将x＝1代入x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎，求得‎|AB|=‎‎6‎，当M为椭圆C的顶点（﹣2，0）时，M到直线x＝1的距离取得最大值3，即可求得△MAB面积的最大值；‎ ‎（Ⅱ）由题意可知：设M（x0，y0），则有x‎0‎‎2‎‎+2y‎0‎‎2‎=4‎，则直线MA的方程为y-n=y‎0‎‎-nx‎0‎‎-t(x-t)‎，令y＝0，得x=‎ty‎0‎-nx‎0‎y‎0‎‎-n，从而‎|OE|=|ty‎0‎-nx‎0‎y‎0‎‎-n|‎，同理即可求得‎|OF|=|ty‎0‎+nx‎0‎y‎0‎‎+n|‎，则‎|OE|⋅|OF|=|ty‎0‎-nx‎0‎y‎0‎‎-n|⋅|ty‎0‎+nx‎0‎y‎0‎‎+n|=|t‎2‎y‎0‎‎2‎‎-‎n‎2‎x‎0‎‎2‎y‎0‎‎2‎‎-‎n‎2‎|=|‎4y‎0‎‎2‎-4‎n‎2‎y‎0‎‎2‎‎-‎n‎2‎|=‎4．‎ 解：（Ⅰ）当t＝1时，将x＝1代入x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎，‎ 解得：y=±‎‎6‎‎2‎，‎ ‎∴‎|AB|=‎‎6‎．[]‎ 当M为椭圆C的顶点（﹣2，0）时，M到直线x＝1的距离取得最大值3，[]‎ ‎∴△MAB面积的最大值是‎3‎‎6‎‎2‎．[]‎ ‎（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为A（t，n），B（t，﹣n），从而t2+2n2＝4．[]‎ 设M（x0，y0），则有x‎0‎‎2‎‎+2y‎0‎‎2‎=4‎，x0≠t，y0≠±n．[]‎ 直线MA的方程为y-n=y‎0‎‎-nx‎0‎‎-t(x-t)‎，[]‎ 令y＝0，得x=‎ty‎0‎-nx‎0‎y‎0‎‎-n，从而‎|OE|=|ty‎0‎-nx‎0‎y‎0‎‎-n|‎．[]‎ 直线MB的方程为y+n=y‎0‎‎+nx‎0‎‎-t(x-t)‎，[]‎ 令y＝0，得x=‎ty‎0‎+nx‎0‎y‎0‎‎+n，从而‎|OF|=|ty‎0‎+nx‎0‎y‎0‎‎+n|‎．[]‎ 所以‎|OE|⋅|OF|=|ty‎0‎-nx‎0‎y‎0‎‎-n|⋅|ty‎0‎+nx‎0‎y‎0‎‎+n|=|t‎2‎y‎0‎‎2‎‎-‎n‎2‎x‎0‎‎2‎y‎0‎‎2‎‎-‎n‎2‎|‎，‎ ‎=|‎(4-2n‎2‎)y‎0‎‎2‎-n‎2‎(4-2y‎0‎‎2‎)‎y‎0‎‎2‎‎-‎n‎2‎|‎‎，[]‎ ‎=|‎4y‎0‎‎2‎-4‎n‎2‎y‎0‎‎2‎‎-‎n‎2‎|=‎‎4．‎ ‎∴|OE|•|OF|为定值．[]‎ ‎21．数字1，2，3，…，n（n≥2）的任意一个排列记作（a1，a2，…，an），设Sn为所有这样的排列构成的集合．集合An＝{（a1，a2，…，an）∈Sn|任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有ai+i≤aj﹣j}；集合Bn＝{（a1，a2，…，an}∈Sn|任意整数i，j，1≤i＜n，都有ai+i≤aj+j}．‎ ‎（Ⅰ）用列举法表示集合A3，B3‎ ‎（Ⅱ）求集合An∩Bn的元素个数；‎ ‎（Ⅲ）记集合Bn的元素个数为bn．证明：数列{bn}是等比数列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）集合A3属于单调递增排列，集合B3属于实数对，利用列举法表示集合A3，B3即可；‎ ‎（Ⅱ）根据题意知An＝{（1，2，3，…，n）}、（1，2，3，…，n）∈Bn，所以An⊆Bn．所以集合An∩Bn的元素个数为1．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，bn≠0．因为B2＝{（1，2），（2，1）}，所以b2＝2．当n≥3时，考虑Bn中的元素（a1，a2，a3，…，an）．‎ 分类讨论：（1）假设ak＝n（1≤k＜n）．由已知，ak+k≤ak+1+（k+1），‎ 依此类推，若ak＝n，则ak+1＝n﹣1，ak+2＝n﹣2，…，an＝k．‎ ‎①若k＝1，则满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，an）有1个．‎ ‎②若k＝2，则a2＝n，a3＝n﹣1，a4＝n﹣2，…，an＝2．‎ ‎③若2＜k＜n，‎ ‎（2）假设an＝n，只需（a1，a2，a3，…an﹣1）是1，2，3，…，n﹣1的满足条件的排列，此时满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，an）有bn﹣1个．‎ 结合等比数列的定义进行证明．‎ 解：（Ⅰ）A3＝{（1，2，3）}，B3＝{（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（3，2，1）}．‎ ‎（Ⅱ）考虑集合An中的元素（a1，a2，a3，…，an）．‎ 由已知，对任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有ai﹣i≤aj﹣j，‎ 所以（ai﹣i）+i＜（aj﹣j）+j，‎ 所以ai＜aj．‎ 由i，j的任意性可知，（a1，a2，a3，…，an）是1，2，3，…，n的单调递增排列，‎ 所以An＝{（1，2，3，…，n）}．‎ 又因为当ak＝k（k∈N*，1≤k≤n）时，对任意整数i，j，1≤i＜j≤n，‎ 都有ai+i≤aj+j．‎ 所以（1，2，3，…，n）∈Bn，所以An⊆Bn．‎ 所以集合An∩Bn的元素个数为1．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，bn≠0．‎ 因为B2＝{（1，2），（2，1）}，所以b2＝2．‎ 当n≥3时，考虑Bn中的元素（a1，a2，a3，…，an）．‎ ‎（1）假设ak＝n（1≤k＜n）．由已知，ak+k≤ak+1+（k+1），‎ 所以ak+1≥ak+k﹣（k+1）＝n﹣1，‎ 又因为ak+1≤n﹣1，所以ak+1＝n﹣1．‎ 依此类推，若ak＝n，则ak+1＝n﹣1，ak+2＝n﹣2，…，an＝k．‎ ‎①若k＝1，则满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，an）有1个．‎ ‎②若k＝2，则a2＝n，a3＝n﹣1，a4＝n﹣2，…，an＝2．‎ 所以a1＝1．‎ 此时满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，an）有1个．‎ ‎③若2＜k＜n，‎ 只要（a1，a2，a3，…ak﹣1）是1，2，3，…，k﹣1的满足条件的一个排列，就可以相应得到1，2，3，…，n的一个满足条件的排列．‎ 此时，满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，an）有bk﹣1个．‎ ‎（2）假设an＝n，只需（a1，a2，a3，…an﹣1）是1，2，3，…，n﹣1的满足条件的排列，此时满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，an）有bn﹣1个．‎ 综上bn＝1+1+b2+b3+…+bn﹣1，n≥3．‎ 因为b3＝1+1+b2＝4＝2b2，‎ 且当n≥4时，bn＝（1+1+b2+b3+…+bn﹣2）+bn﹣1＝2bn﹣1，‎ 所以对任意n∈N*，n≥3，都有bnbn-1‎‎=2‎．‎ 所以{bn}成等比数列．‎ ‎ ‎