江西省南昌市第二中学2019-2020学年高二下学期月考数学（理）试题

江西省南昌市第二中学2019-2020学年高二下学期月考数学（理）试题

南昌二中 2019—2020 学年度下学期第二次月考 高二数学（理）试卷 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知全集 ， ， ， A. (3,5] B. [4,5] C. {4,5} D. [1,3] 2.若 是非零向量，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.从编号为 1，2，3，…，100（编号为连续整数）的 100 个个体中随机抽取得到编号为 10， 30，50，70，90 的样本，得到这个样本的抽样方法最有可能是( ) A. 系统抽样 B. 分层抽样 C. 简单随机抽样 D. 先分层再简单随机抽样 4.某学生 5 次考试的成绩(单位：分)分别为 85，67，m，80，93，其中 m>0，若该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 80，则得分的平均数不可能为( ) A. 70 B. 75 C. 80 D. 85 5.设 m，n 是两条不同的直线 ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A. 若 m∥a,n∥a, 则 m∥n B. 若 ，m ， ，则 C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， 则 6.某城市关系要好的 ， ， ， 四个家庭各有两个小孩共 人，分别乘甲、乙两辆汽 车出去游玩，每车限坐 名（乘同一辆车的 名小孩不考虑位置），其中 户家庭的孪生姐 妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 名小孩恰有 名来自于同一个家庭的乘坐方式共有 ( ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7.中国武汉于 2019 年 10 月 18 日至 2019 年 10 月 27 日成功举办了第七届世界军人运动会．来 自 109 个国家的 9300 余名运动员同台竞技．经过激烈的角逐，奖牌榜的前 3 名如下： 国家 金牌 银牌 铜牌 奖牌总数 中国 133 64 42 239 俄罗斯 51 53 57 161 巴西 21 31 36 88 某数学爱好者采用分层抽样的方式，从中国和巴西获得金牌选手中抽取了 22 名获奖代 表．从这 22 名中随机抽取 3 人，则这 3 人中中国选手恰好 1 人的概率为( ) A. B. C. D. 8. 则 a3=( ) A. －40 B. 40 C. -80 D.80 9.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何 体的三视图，其中俯视图是等边三角形，则该几何体的外接球 的表面积为( ) A. 10 B. C. 9 D. 10.篮子里装有 2 个红球，3 个白球和 4 个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件 A 为“取 出的两个球颜色不同”，事件 B 为“取出一个红球，一个白球”，则 P(B|A)等于( ) A. B. C. D. α β βα // A B C D 8 4 4 A 4 2 18 24 36 48 57 22 1540 19 1540 57 1540 171 π π 3 28 π π 3 25 6 1 13 3 9 5 3 2 11.总体由编号为 01，02， ，19，20 的 20 个个体组成 利用下面的随机数表选取 7 个个体， 选取方法是从随机数表第 1 行的第 3 列和第 4 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则 选出来的第 6 个个体的编号为( ) A. 07 B. 06 C. 02 D. 01 12.定义在 R 上的函数 满足 ，且当 时， ， 对 任 意 ， 存 在 ， 使 得 ，则正实数 a 的取值范围为( ) A.[ ,+∞) B. (0,8] C.(0, ] D. [8,+ ∞) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分. 13.已知 ，则 的展开式中 的系数为________． 14.函数 的值域为________． 15.若命题“ ，使得 成立．”为假命题，则实数 a 的最大值为________． 16.正方体 的棱长为 ， 为 的中点， 为线段 的动点，过 的平面截该正方体所得的截面记为 ，则下列命题正确的序号是________． ①当 时， 的面积为 ； ②当 时， 为六边形； ③当 时， 与 的交点 满足 ； ④当 时， 为等腰梯形； ⑤当 时， 为四边形. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(10 分)设命题 对任意 ，不等式 恒成立；命题 q：存在 ， 使得不等式 成立． (1)若 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； (2)若命题 p、q 有且只有一个是真命题，求实数 m 的取值范围． 18.(12 分)已知函数 (1)解不等式 ； (2)若函数 最小值为 a，且 ，求 的最小值． 8 1 8 1 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 P BC Q 1CC , ,A P Q S 1CQ = S 6 2 3 14 CQ< < S 3 4CQ = S 1 1C D R 1 1 1 3C R = 1 2CQ = S 10 2CQ< < S 19.(12 分)函数 是定义在 上的奇函数，且 ． (1)确定 的解析式； (2)判断 在 上的单调性，并用定义证明； (3)解关于 t 的不等式 20．(12 分)在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机 生成一张如图所示的 3 3 表格，其中 1 格设奖 300 元，4 格各设奖 200 元，其余 4 格各设奖 100 元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击 3 格，记中奖的总金额 为 X 元． （1）求概率 ； （2）求 的概率分布及数学期望 ． 21.(12 分)如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为菱形，且 PA⊥底面 ABCD． (1)证明：平面 PBD⊥平面 PAC． (2)若∠BAD=60°,且平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值为 ，求∠PCA 的大 小． × ( )600P X = X ( )E X 22.(12 分)为促进农业发展，加快农村建设，某地政府扶持兴建了一批“超级蔬菜大棚” 为了解 大棚的面积与年利润之间的关系，随机抽取了其中的 7 个大棚，并对当年的利润进行统计整 理后得到了如下数据对比表： 大棚面积 亩 年利润 万元 6 7 由所给数据的散点图可以看出，各样本点都分布在一条直线附近，并且 y 与 x 有很强的线性相 关关系． (1)求 y 关于 x 的线性回归方程； (2)小明家的“超级蔬菜大棚”面积为 亩，估计小明家的大棚当年的利润为多少； (3)另外调查了近 5 年的不同蔬菜亩平均利润 单位：万元 ，其中无丝豆为：1.5，1.7， 2.1，2.2，2.5；彩椒为：1.8，1.9，1.9，2.2，2.2，请分析种植哪种蔬菜比较好？ 参考数据： ， ． 参考公式： ， ． 高二第二次月考数学(理)试卷参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，满分 20 分． 13． 14. 15. 16. ①③④⑤ 小题详解： 1.C 解： 或 ， ，故选 C． 2. D 解：由向量加法的平行四边形法则知： 平行四边形是菱形， 推不出两条对角线相等，即推不出 ； 平行四边形是矩形，推不 出 ； “ ”是“ ”的既不充分也不必要条件．故选：D． 3.A 解：根据题意，抽取的样本间隔相等，为 20； 则这个样本的抽样方法最有可能是系统抽样．故选：A． 4.D 解： 某学生 5 次考试的成绩 单位：分 分别为 85，67，m，80，93，其中 ， 该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 80， ， 得分的平均数： ， 得分的平均数不可能为 85．故选 D． 5.C 解： 同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面，故 A 错误； B.两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面，故 B 错误； C.一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交，故 C 错误； D.由 ， 得 ，又 ，所以 ，即 ，故 D 正确．故选 D． 6.B 若 A 户家庭的李生姐妹乘坐甲车,即剩下的两个小孩来自其他的 2 个家庭,有 种方法. 若 A 户家庭的李生姐妹乘坐乙车,那来自同一家庭的 2 名小孩来自剩下的 3 个家庭中 的一个,有 . 所以共有 12+12=24 种方法. 7. C 解：中国和巴西获得金牌总数为 154，按照分层抽样方法，22 名获奖代表中有中国选手 19 个，巴西选手 3 个．故从这 22 名中随机抽取 3 人，则这 3 人中中国选手恰好 1 人的概率为 故选：C． 8.D 解： ， 令 ，则 ， 展开式的通项为： ，令 ， ， 所以 ，所以 ．故选：D． 9.B 解：由三视图可知，原几何体为四棱锥 ，其中平面 平面 ACDE， 该几何体可补形为棱长均是 2 的正三棱柱 ， 设等边 的中心为 ，几何体外接球的球心为 O，半径为 R，则 ， 在 等 边 中 ， ， ， 外 接 球 的 表 面 积 ．故选：B． 10.B 解：事件 A 为“取出的两个球颜色不同”，事件 B 为“取出一个红球，一个白球”， 篮子里装有 2 个红球，3 个白球和 4 个黑球， 取出的两个球颜色不同的概率为 ． 题号 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 4 6 7 7 8 8 9 9 1 10 1 11 1 12 答案 C C D D A A B D C C C B B C B D B B D B A D A A 2 2 3 2 12C ⋅ = 1 2 3 2 12C ⋅ = 又 取出两个球的颜色不同，且一个红球、一个白球的概率为 ， ．故选 B． 11.D 解：从第 1 行的第 3 列和第 4 列组成的数 16 开始，由左到右依次选出的数为 16，08， 02，14，07，01，所以第 6 个个体的编号为 01．故选 D． 12.A 解：由题意可知 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上的值域为 ，在 上的值域为 ， 在 上的值域为 ， ， ， 在 上的值域为 ， 为正实数， 为增函数， 在 上的值域为 ， ，解得 ， 故 a 的取值范围是 ．故选 A． 13． 解：因为 则 其中 中 的系数为 其中 不存在 项 其中 中 的系数为 所以展开式中 的系数为 . 14． 解：由 ，得到 即 ， 当 时， ，适合题意； 当 时，方程有解需满足， ，即 ， ， 解得： ；故函数 的值域为 ，故答案为 . 15. 解：由题意，转化为 ，使得 成立为真命题，求实数 a 的最大值， 当 时，显然成立，当 时，分离变量得 成立， 令 ，则 ， 当 时， 恒成立， 单调递减， 在 上的最小值为 ， 实数 a 的最大值为 ． 16.①③④⑤ 如图，当 时，即 Q 为 CC 1 中点，此时可得 PQ∥AD1 ， AP=QD1= ，故可得截面 APQD1 为等腰梯形，故④正确； 由上图当点 Q 向 C 移动时，满足 ，只需在 DD1 上取点 M 满足 AM∥PQ，即 可得截面为四边形 APQM，故⑤正确； ③当 CQ= 时，如图， 延长 DD1 至 N，使 D1N= ，连接 AN 交 A1D1 于 S，连接 NQ 交 C1D1 于 R，连接 SR，可证 AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得 C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2， 故可得 C1R= ，故正确； 1 2CQ = 2 2 1 51 2 2  + =   10 2CQ< < 3 4 1 2 1 3 ②由③可知当 时，只需点 Q 上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的 APQRS， 显然为五边形，故错误； ①当 CQ=1 时，Q 与 C1 重合，取 A1D1 的中点 F，连接 AF，可证 PC1∥AF，且 PC1=AF，可知 截面为 APC1F 为菱形，故其面积为 ，故正确． 故答案为： ①③④⑤． 17.解：对于命题 p：对任意 ，不等式 恒成立成立， 而 ，有 ， ， ， 命题 q：存在 ，使得不等式 成立， 只需 ，而 ， ； ， 若 p 为真，则 ； 若 为假命题，为 真命题，则 p、q 一真一假． 若 p 为假命题，为 q 真命题，则 所以 ； 若 q 为假命题，为 p 真命题，则 所以 综上， 或 18．解： 当 时， ，无解； 当 时， ，得 ； 当 时， ，得 ，所以不等式解集为 ； 当且仅当 时取等号 ．当且仅当 时取等号， 所以当 时， 最小值为 4，即 ，所以 ， 所以 ， 当且仅当 且 即 时取“ ”， 所以 最小值为 19.解： 函数 是定义在 的奇函数， ， ， 经检验，当 时， 是 的奇函数，满足题意． 又 ，解得 ，故 ， ； 是 上的增函数，证明如下：设任意 ， ，且 ， 则 ， ， ， ， ， ， 函数 在 上为增函数； 因为 是 上的奇函数， 所以由 得， ， 又 是 上的增函数，所以 ，解得 ． 3 14 CQ< < 1 1 1 63 22 2 2AC PF⋅ = × × = 所以原不等式的解集为 ． 20．（1）从 3 3 表格中随机不重复地点击 3 格，共有 种不同情形，则事件：“ ”包 含两类情形：第一类是 3 格各得奖 200 元；第二类是 1 格得奖 300 元，一格得奖 200 元，一 格得奖 100 元，其中第一类包含 种情形，第二类包含 种情形． ∴ ． （2） 的所有可能值为 300，400，500，600，700． 则 ， ， ， ． ∴ 的概率分布列为： X 300 400 500 600 700 P ∴ （元）． 21． 证明：因为底面 ABCD 为菱形，所以 ．因为 底面 ABCD， 所以 ．又 ，所以 平面 PAC． 因为 平面 PBD，所以平面 平面 PAC． 解：设 AC 与 BD 交于点 O，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，如图所示，设 ， ， 则 ， 则 ． 设平面 PAB 的法向量为 ，则 令 ，得 ． 设平面 PCD 的法向量为 ，则． 令 ，得 ． 设平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角为 ，则 ， 解得 ，则 ，故 ． 22.解： 1 根据题意， ， ，则 ， ， ， 那么回归方程为： ； × 3 9C 600X = 3 4C 1 1 1 1 4 4C C C⋅ ⋅ ( ) 3 1 1 1 4 1 4 4 3 9 C C C C 5600 C 21P X + ⋅ ⋅= = = X ( ) 3 4 3 9 C 4 1300 C 84 21P X = = = = ( ) 1 2 1 4 3 9 C C 24 2400 C 84 7P X ⋅= = = = ( ) 1 2 1 2 1 4 4 4 3 9 C C C C 30 5500 C 84 14P X ⋅ + ⋅= = = = ( ) 1 2 1 4 3 9 C C 6 3700 C 84 42P X ⋅= = = = X 1 21 2 7 5 14 5 21 3 42 ( ) 1 2 5 5 3300 400 500 600 700 50021 7 14 21 42E X = × + × + × + × + × = 2 将 代入方程得 ， 即小明家的“超级大棚”当年的利润大约为 万元； 3 近 5 年来，无丝豆亩平均利润的平均数为 ， 方差 ， 彩椒亩平均利润的平均数为 ， 方差为 ， 因为 ， ， 种植彩椒比较好．