高考圆锥曲线习题含答案

高考圆锥曲线习题含答案

高考圆锥曲线试题精选 一、选择题：（每小题5分，计50分）‎ ‎1、(2008海南、宁夏文)双曲线的焦距为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 3 D. 4‎ ‎2.（2004全国卷Ⅰ文、理）椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的 直线与椭圆相交，一个交点为P，则= （ ）‎ ‎ A． B． C． D．4‎ ‎3．（2006辽宁文）方程的两个根可分别作为（　　）‎ Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 ‎4．（2006四川文、理）直线ｙ＝ｘ－3与抛物线交于A、B两点，过A、B两点向 抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q　，则梯形APQB的面积为（ ）‎ ‎（A）48. （B）56 （C）64 （D）72.‎ ‎5.(2007福建理)以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )‎ A. B. ‎ C . D. ‎ ‎6．（2004全国卷Ⅳ理）已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线 的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（2005湖北文、理）双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. (2008重庆文)若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为 ( )‎ ‎(A)2 (B)3 (C)4 (D)4 ‎ ‎9．（2002北京文）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么 ‎ 双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：（每小题5分，计20分）‎ ‎11. （2005上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程是_________________________‎ ‎12．(2008江西文)已知双曲线的两条渐近线方程为，‎ 若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．‎ ‎13.（2007上海文）以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的 抛物线方程是 ．‎ 三、解答题：（15—18题各13分，19、20题各14分）‎ ‎15.（2006北京文）椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且 （Ⅰ）求椭圆C的方程； ‎ ‎(Ⅱ)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M, 交椭圆C于两点, 且A、B关于点M对称,求直线l的方程..‎ ‎16．（2005重庆文）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为 ‎（1）求双曲线C的方程； （2）若直线与双曲线C恒有两个不同的 交点A和B，且（其中O为原点）. 求k的取值范围.‎ ‎17.(2007安徽文)设F是抛物线G:x2=4y的焦点. ‎ ‎(Ⅰ)过点P（0，-4）作抛物线G的切线,求切线方程:‎ ‎(Ⅱ)设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足,延长AF、BF分别交抛物线G于点 C,D，求四边形ABCD面积的最小值.‎ ‎18．(2008辽宁文) 在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为． （Ⅰ）写出C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与C交于A，B两点．k为何值时？此时的值是多少？‎ ‎19. （2002广东、河南、江苏）A、B是双曲线x2－＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点 ‎(1)求直线AB的方程； (2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？‎ ‎20.（2007福建理)如图，已知点F（1，0），直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且＝。 (1)求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，‎ 已知，，求的值。‎ ‎“圆锥曲线与方程”单元测试（参考答案）‎ 一、选择题：（每小题5分，计50分）‎ 二、填空题：（每小题5分，计20分）‎ ‎11.； 12． ． 13.． ‎ 三、解答题：（15—18题各13分，19、20题各14分）‎ ‎15..解：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.‎ 在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=,‎ 从而b2=a2－c2=4, 所以椭圆C的方程为＝1.‎ ‎(Ⅱ)解法一：设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.‎ ‎ 已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.‎ ‎ 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1,‎ ‎ 代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.‎ ‎ 因为A，B关于点M对称.， 所以 ‎ 解得， 所以直线l的方程为 ‎ 即8x-9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意)‎ ‎ (Ⅱ) 解法二：已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.‎ ‎ 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且 ‎ ① ②‎ 由①－②得 ③‎ 因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,‎ 代入③得＝，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－1＝（x+2），‎ 即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)‎ ‎16．解：（Ⅰ）设双曲线方程为 ‎ 由已知得 故双曲线C的方程为 ‎（Ⅱ）将 ‎ 由直线l与双曲线交于不同的两点得 即 ① ‎ 设，则，‎ 而 于是 ②‎ 由①、②得 ‎ 故k的取值范围为 ‎17.解：（Ⅰ）设切点知抛物线在Q点处的切线斜率为，‎ 故所求切线方程为 即 因为点P（0，-4）在切线上，所以 所以切线方程为y=±2x-4.‎ ‎(Ⅱ)设 由题设知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k＞0.‎ 因直线AC过焦点F（0，1），所以直线AC的方程为y=kx+1.‎ 点A，C的坐标满足方程组 消去y，得 由根与系数的关系知 同理可求得 当k=1时，等号成立.所以，四边形ABCD面积的最小值为32.‎ ‎18．解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，‎ 长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）设，其坐标满足 消去y并整理得， 故． ‎ ‎，即． 而，‎ 于是．‎ 所以时，，故． ‎ 当时，，．‎ ‎，‎ 而，‎ 所以．‎ ‎19.解：(1)依题意，可设直线方程为y＝k(x－1)＋2 代入x2－＝1，整理得 (2－k)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0 ①‎ 记A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2是方程①的两个不同的实数根，所以2－k2≠0,且x1＋x2＝ 由N(1,2)是AB中点得(x1＋x2)＝1‎ ‎∴ k(2－k)＝2－k2，解得k＝1，所易知 AB的方程为y＝x＋1. (2)将k＝1代入方程①得x2－2x－3＝0，解出 x1＝－1,x2＝3，由y＝x＋1得y1＝0,y2＝4 即A、B的坐标分别为(－1,0)和(3，4) 由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y＝－(x－1)＋2，即 y＝3－x ，代入双曲线方程，整理，‎ 得 x2＋6x－11＝0 ②‎ 记C(x3,y3),D(x4,y4)，以及CD中点为M(x0,y0)，则x3、x4是方程②的两个的实数根，所以 ‎ x3＋x4＝－6, x3x4＝－11， 从而 x0＝(x3＋x4)＝－3,y0＝3－x0＝6‎ ‎ |CD|＝ ＝ ∴ |MC|＝|MD|＝|CD|＝2， 又|MA|＝|MB|＝ 即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆.‎ ‎20.（Ⅰ）解法一：设点，则，由＝得：‎ P B Q M F O A x y ‎，化简得．‎ ‎（Ⅰ）解法二：由＝得：，‎ ‎，， ．‎ 所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为：．‎ 设，，又，‎ 联立方程组，消去得：‎ ‎，，故 由，得：，，‎ 整理得：，，‎ ‎∴==-2-=0.‎