2017-2018学年福建省厦门外国语学校高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年福建省厦门外国语学校高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

绝密★启用前 ‎ 厦门外国语学校2017-2018学年第二学期期中考试 理科数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。考试用时120分钟。‎ 一．选择题：（每小题只有一个正确选项，每小题5分，共计60分）‎ ‎ 1．已知为虚数单位，则复数 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ ‎ （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 ‎ 2. 由 ①菱形的对角线互相垂直；②正方形的对角线互相垂直；③正方形是菱形。‎ ‎ 写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提，小前提和结论的分别为（ ）‎ ‎ （A）②③① （B）①③② （C）①②③ （D）③②①‎ ‎ 3．用反证法证明“三角形中至少有两个锐角”，下列假设正确的是（ ）‎ ‎ （A）三角形中至多有两个锐角 （B）三角形中至多只有一个锐角 ‎ （C）三角形中三个角都是锐角 （D）三角形中没有一个角是锐角 ‎ 4. 设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总可推出 ‎ ‎ 成立，那么下列命题总成立的是( )‎ ‎ （A）若成立，则成立；‎ ‎ （B）若成立，则成立；‎ ‎ （C）若成立，则当时，均有成立；‎ ‎ （D）若成立，则当时，均有成立.‎ ‎ 5. 右图阴影部分的面积是（ ）‎ ‎ （A） （B） ‎ ‎ （C） （D）‎ ‎ 6. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎ 7. 已知函数的极小值点是，则（ ）‎ ‎ （A）或 （B）或 （C） （D）‎ ‎ 8. 函数的图象如图，则函数的单调增区间是（ ）‎ O x ‎-2‎ ‎3‎ y ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎9. 将编号为1,2,3,4的四个小球放入A,B,C三个盒子中，若每个盒子至少放一个球，且1号球和2号球 ‎ 不能放在同一个盒子，则不同的放法种数为（ ）‎ ‎ （A）30 （B）24 （C）48 （D）72‎ ‎ 10. 现有个小球，甲、乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球谁赢. 如果甲先抓，那么下列推断正确的是（ ）‎ ‎ （A）若=4，则甲有必赢的策略 （B）若=6，则乙有必赢的策略 ‎ （C）若=9，则甲有必赢的策略 （D）若=11，则乙有必赢的策略 ‎ 11. 设，则的大小关系为（ ） ‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎ 12．设动直线 与函数的图象分别交于点M，N，则最小值所在 ‎ 的区间为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎ 二．填空题：（每小题5分，共计20分）‎ ‎13．定积分________.‎ ‎ 14．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把…这样的数称为“三角形数”，而把…‎ ‎ 这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻 ‎ “三角形数”之和，下列四个等式：①；②；③； ‎ ‎ ④ 中符合这一规律的等式是 ．（填写所有正确结论的编号）‎ ‎ ‎ ‎ ……‎ ‎ ‎ ‎15. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加厦门市华侨博物院志愿者服务活动，每人从事礼仪、导游、翻译、讲解四项工作之一，每项工作至少有一人参加.‎ ‎ 甲、乙不会导游但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 ．（用数字作答）‎ ‎ 16．已知，若函数恰有7个零点，则正数 的取值范围是 ‎ ．‎ 三．解答题：（共70分）‎ ‎17．（本小题10分）已知性质A：“在等差数列中，若，则 ‎．成立” ．‎ ‎ （1）类比性质A，请写出等比数列的类似性质B：‎ ‎ 性质B：“在等比数列中，若， ” ．‎ ‎ （2）证明性质A或性质B．‎ ‎18．（本小题12分）已知关于的方程（为虚数单位），． ‎ ‎ （1）若2i是方程的根，求复数；‎ ‎ （2）若方程有实数根，求的最小值．‎ ‎19．（本小题12分）在△ABC中，内角所对的边分别为a，b，c．‎ ‎ (1) 若a,b,c三边成等比数列，求的取值范围；‎ ‎ (2) 我们知道，若，则．现已知，请猜测是锐角还是钝 ‎ 角，并加以证明．‎ ‎20. （本小题12分）已知函数，（）.‎ ‎（1）若函数在上为增函数，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，求在上的最大值和最小值．‎ ‎21．（本小题12分）某淘宝商家经销某种商品，已知该商品的进价为6元/件，物流费、管理费共为元/件（），根据成本测算及有关部门的规定，每件该商品的售价（单位：元）必须满足．市场调查显示，当每件售价为元（）时，该商品一年的销售量预计为万件．‎ ‎（1） 求商家经销该商品一年所得的利润P（万元）与每件商品的售价的函数关系式；‎ ‎（2） 当为多少元时，该商家一年的利润P最大，并求出P的最大值 ‎ ‎ ‎22． （本小题12分）已知函数（k为常数，e为自然对数的底数），曲线在 点（1, f (1)）处的切线与x轴平行.‎ ‎ （1）求k的值；‎ ‎ （2）求的单调区间；‎ ‎ （3）设其中为的导函数，证明：对任意 DBBDB CDAAC AC ‎ ‎ 13． ; 14．①③④ ; 15. 126 ; 16．．‎ ‎17. 解：（1）在等比数列中，若， ‎ ‎（2）证明：【以性质Ａ为例，性质B相应得分】‎ ‎ 【综合法】 不妨设，由 ‎ ‎ ‎ 【分析法】不妨设 ‎ ‎ 要证 ‎ 即证 ‎ 也就是 ‎ 即证 ‎ 也就是 ‎ 因为已知，所以上式成立。------------ ‎ ‎18.解：（1）若2i是方程的根，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （2）若方程有实数根，设为，令 ‎ ‎ ‎ 整理得，‎ ‎ ‎ ‎ 由（2）式得代入（1）式得 ‎ ‎ ‎ ‎19．(1) 若a,b,c三边成等比数列，即有 ‎ ‎ ‎ 又，从而 ‎(2) （给出正确猜测但没有证明的可以得1分）‎ ‎ 【解法一】若，则为最大边，即有 ‎ ‎ ‎ 从而， ‎ ‎ 所以是锐角—————‎ ‎ 【解法二】若，则 ‎ ‎ ‎ 从而， ‎ ‎ 所以是锐角—————‎ ‎20.解：（1）【解法一】∵ ∴ -----------------1'‎ ‎∵ 函数在上为增函数 ∴ 对恒成立， --------2'‎ ‎∴ 对恒成立，即对恒成立 --------3'‎ ‎∵, ∴ --------4'‎ ‎ ∴ --------5'‎ ‎【解法二】∵ ∴ -----------------1'‎ x ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ -‎ ‎ 0‎ ‎+ ‎ ‎ ‎ ‎ 递减 ‎ 极小值 ‎ 递增 ‎--------4'‎ ‎∵ 函数在上为增函数 ∴ --------5'‎ ‎（2）当时，，∴ 当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增。 --------7'‎ ‎∴ 在区间上有唯一极小值点，故 --------8'‎ 又 ‎ ‎∵ ∴ --------11'‎ ‎ ∴ 在区间上的最大值--------12'‎ 综上可知，函数在上的最大值是，最小值是0. ‎ ‎21． 解：（1）-------3'‎ ‎ （2）-------5'‎ ‎ 令得 ⅰ）当时，，此时在上恒成立 即在上递减，-------8'‎ ⅱ）当时，，‎ 此时即在上递增，在上递减，‎ ‎-------11'‎ 综上，-------12'‎ ‎ 22． 解：（1）由f(x) = 可得，而，‎ 即，解得； -----------2ˊ‎ ‎（2），令可得，‎ 当时，；‎ 当时，。‎ 于是在区间内为增函数；在内为减函数。 --------------------4ˊ‎ ‎（Ⅲ），‎ ‎（1）当时， ，.-------------------6ˊ‎ ‎（2）当时，要证。‎ ‎ 只需证即可-------------------7ˊ‎ 设函数。‎ 则，‎ 则当时，-------------------9ˊ‎ 令解得，‎ 当时；当时，‎ 则当时，且，-------------------11ˊ‎ 则，于是可知当时成立 综合（1）（2）可知对任意x＞0，恒成立. -------------------12ˊ‎ ‎【另证1】设函数，则，‎ 则当时，‎ 于是当时，要证，‎ 只需证即可，‎ 设，，‎ 令解得，‎ 当时；当时，‎ 则当时，‎ 于是可知当时成立 综合（1）（2）可知对任意x＞0，恒成立.‎ ‎【另证2】根据重要不等式当时，即，（要证明）‎ 于是不等式，‎ 设，，‎ 令解得，‎ 当时；当时，‎ 则当时，‎ 于是可知当时成立。‎