河北省邯郸市永年区第二中学2019-2020学年高一下学期期中考数学试题

河北省邯郸市永年区第二中学2019-2020学年高一下学期期中考数学试题

永年区第二中学2019-2020学年高一下学期期中考 数学试题 ‎（时间：120分钟）‎ 一、选择题（共12题，每题5分，共60分）‎ ‎1．设集合，，则等于（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2.如果两条直线a和b没有公共点,那么a和b(　　)‎ A.共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面 ‎3．在等比数列中，，，则与的等比中项为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎4．若、、为实数，则下列命题正确的是（）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎5．若，则（）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知高为3的棱柱ABC-A1B‎1C1的底面是边长为1的正三角形(如图),则三棱锥B1-ABC的体积为(　　)‎ AC ‎7．函数最小值是（）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎8.若用与球心距离为1的平面去截球,所得截面圆的面积为π,则球的表面积为(　　)‎ A.8π B ‎9．等差数列的前项和为，若，是和的等比中项，则（）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎10．已知不等式在时恒成立，则实数a的取值范围（）‎ A． B．C． D．‎ ‎11．一船沿北偏西方向航行，正东有两个灯塔A,B, 海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东，另一灯塔在船的南偏东，则这艘船的速度是每小时（）‎ A．5海里 B．海里 C．10海里 D．海里 ‎12．已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13.________.‎ ‎14．不等式组，则表示区域的面积为。‎ ‎15.如图,在一个圆柱内挖去一个圆锥,圆锥的顶点是圆柱底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的另一个底面.若圆柱的母线长为6,底面半径为2,则该组合体的表面积等于　　　　　. ‎ ‎16．在△ABC中，角所对的边分别为,且则最大角为_______‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．（满分10分）已知.‎ ‎（1）求的值；（2）求的值.‎ ‎18．（满分12分）已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.‎ ‎(1)若,求的值; (2)若,求b,c的值.‎ ‎19、（满分12分）如图,已知四棱锥P-ABCD,底面四边形ABCD为正方形，AB=2，M,N分别是线段PA、PC的中点.‎ ‎（1）求证:MN∥平面ABCD；‎ ‎（2）求异面直线MN与BC所成角的大小.‎ ‎20．（满分12分）已知的内角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由.‎ ‎21、（满分12分）投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设表示前n年的纯利润总和（前年总收入-前年的总支出 -投资额72万元）‎ ‎（1）该厂从第几年开始盈利？‎ ‎（2）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值.‎ ‎22.（满分12分）设数列前项和为，，且1，，成等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式 ‎（2）求数列的前项和为 数学试题答案 一、选择题（共12题，每题5分，共60分）‎ ‎1．设集合，，则等于（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，。‎ ‎2.如果两条直线a和b没有公共点,那么a和b(　　)‎ A.共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面 ‎【答案】D ‎【答案】当直线a,b没有公共点时,a,b可能平行,也可能异面.‎ ‎3．在等比数列中，，，则与的等比中项为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，，所以与的等比中项为.‎ ‎4．若、、为实数，则下列命题正确的是（）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】D ‎【解析】对于选项A，当a<0，b>0时，不成立；对于选项B，当时，不成立；对于选项C，当c=0时，不成立。‎ ‎5．若，则（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎6.已知高为3的棱柱ABC-A1B‎1C1的底面是边长为1的正三角形(如图),则三棱锥B1-ABC的体积为(　　)‎ AC ‎【答案】D ‎【解析】因为三棱锥B1-ABC的高h=3,底面面积S=S△ABC 所 ‎7．函数最小值是（）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】,即，,‎ 当且仅当,即时取等号,所以函数最小值是4,‎ ‎8.若用与球心距离为1的平面去截球,所得截面圆的面积为π,则球的表面积为(　　)‎ A.8π B ‎【答案】A ‎【解析】作轴截面如图所示,则OO1=1.设截面圆的半径为r,球的半径为R.‎ 由已知可得πr2=π,所以r=1,RS球=4πR2=8π.‎ ‎9．等差数列的前项和为，若，是和的等比中项，则（）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知可得，，∴，∴或， 由等差数列的前项和公式可得或.‎ ‎10．已知不等式在时恒成立，则实数a的取值范围（）‎ A． B．C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，则对成立.当时，，显然成立；当时，要使恒成立，需函数开口向上，且与x轴没有交点，即解得.综上知，实数a的取值范围为.‎ ‎11．一船沿北偏西方向航行，正东有两个灯塔A,B, 海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东，另一灯塔在船的南偏东，则这艘船的速度是每小时（）‎ A．5海里 B．海里 C．10海里 D．海里 ‎【答案】D ‎【解析】如图所示,∠COA=135°,∠ACO=∠ACB=∠ABC=15°,∠‎ OAC=30°，AB=10，‎ ‎∴AC=10.△AOC中,由正弦定理可得，∴，∴，‎ ‎∴这艘船的速度是每小时海里，故选D.‎ ‎12．已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】是等比数列，，即，也是等比数列，且，，可得 ‎，当且仅当时取等号，的最小值为。‎ 二、填空题 ‎13.________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ ‎14．不等式组，则表示区域的面积为。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出不等式组表示的区域，如图，‎ 求得，，，所以.‎ ‎15.如图,在一个圆柱内挖去一个圆锥,圆锥的顶点是圆柱底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的另一个底面.若圆柱的母线长为6,底面半径为2,则该组合体的表面积等于　　　　　. ‎ ‎【答案】( ‎【解析】挖去的圆锥的母线长圆柱的侧面积为2π×2×6=24π,圆柱的一个底面面积为π×22=4π,所以组合体的表面积 ‎16．在△ABC中，角所对的边分别为,且则最大角为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，由正弦定理可得设，，‎ 最大，为最大角，‎ ‎，。‎ 三、解答题 ‎17．（满分10分）已知.‎ ‎（1）求的值；（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为.则，‎ 所以．‎ ‎（2）由（1）得，，‎ 所以．‎ ‎18．（满分12分）已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.‎ ‎(1)若,求的值; (2)若,求b,c的值.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】 (1)∵,且，∴，‎ 由正弦定理得∴；‎ ‎(2)∵，∴，∴，‎ 由余弦定理得，∴.‎ ‎19、（满分12分）如图,已知四棱锥P-ABCD,底面四边形ABCD为正方形，AB=2，M,N分别是线段PA、PC的中点.‎ ‎（1）求证:MN∥平面ABCD；‎ ‎（2）求异面直线MN与BC所成角的大小.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）连接，在三角形中，分别是的中点，所以是三角形的中位线，所以，由于平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）由于，与相交，所以与为异面直线，且是异面直线与所成角，由于四边形是正方形，所以.‎ ‎20．（满分12分）已知的内角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）有最大值，最大值为3.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由得 再由正弦定理得，因此，‎ 又因为，所以.‎ ‎（2）当时，的周长有最大值，且最大值为3，理由如下：‎ 由正弦定理得，所以，‎ 所以.‎ 因为，所以，所以当即时，取到最大值2，‎ 所以的周长有最大值，最大值为3.‎ ‎21、（满分12分）投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设表示前n年的纯利润总和（前年总收入-前年的总支出 -投资额72万元）‎ ‎（1）该厂从第几年开始盈利？‎ ‎（2）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值.‎ ‎【答案】（I）从第三年开始盈利；‎ ‎（II）第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值16万元 ‎【解析】 (Ⅰ)依题意前年总收入-前年的总支出-投资额72万元,可得 由得,解得，‎ 由于,所以从第3年开始盈利. ‎ ‎(Ⅱ)年平均利润 当且仅当,即时等号成立，‎ 即第6年, 投资商平均年平均纯利润最大,最大值为16万元 ‎22.（满分12分）设数列前项和为，，且1，，成等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式 ‎（2）求数列的前项和为 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）因为1，，成等差数列，‎ 所以，①；所以，②；‎ ‎①减②得：，所以，，又，‎ 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以 ‎（2）‎ 所以③‎ ‎④，由③④错位相减得：‎ ‎，所以。‎