河北省承德市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题

河北省承德市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题

承德市2018~2019学年高二第一学期期末考试 数学试卷(文科)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.命题“，”的否定是 A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：根据全称命题的否定是特称命题，且否定结论，故为“”，所以选A.‎ 考点：全程命题的否定.‎ ‎2.在区间（0，1）上随机地取一个数a，则事件“‎2”‎发生的概率为（　 ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据2解出a的范围，再利用几何概型即可。‎ ‎【详解】由题意得，因此。‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了对数不等式以及几何概型，属于基础题。‎ ‎3.已知样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝2，则样本数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的方差为（　　 ）‎ A. 2 B. ‎8 ‎C. 18 D. 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目找出前后平均数的变化，以及前后方差之间的关系即可。‎ ‎【详解】设x1，x2，…，xn的平均数为，则样本3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的平均数 所以样本3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的方差为 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了平均数以及方差，属于中等题。‎ ‎4.某公司新发明了甲、乙两种不同型号的手机，公司统计了消费者对这两种型号手机的评分情况，作出如下的雷达图，则下列说法不正确的是（ ）‎ A. 甲型号手机在外观方面比较好. B. 甲、乙两型号的系统评分相同.‎ C. 甲型号手机在性能方面比较好. D. 乙型号手机在拍照方面比较好.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 评分越高，说明该方面越好；从题中数据可直接得出结果.‎ ‎【详解】‎ 从图中可得：甲型号手机在外观方面评分为90，乙型号手机在外观方面评分为85，故A正确；甲型号手机在系统方面评分为95，乙型号手机在系统方面评分也为95，故B正确；甲型号手机在性能方面评分为85，乙型号手机在外观方面评分为90，故C错误；甲型号手机在拍照方面评分为85，乙型号手机在拍照方面评分为90，故D正确；‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查统计图的分析，会分析统计图即可，属于常考题型.‎ ‎5.已知A＝{x|x＞‎2m2‎﹣4}，B＝{x|﹣2＜x＜6}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（　 　）‎ A. ﹣1＜m＜1 B. m C. ﹣5≤m D. ﹣1≤m≤1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 因为若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，所以,即B是A的真子集。‎ ‎【详解】由题意可得,即B是A的真子集。所以 故选:D ‎【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件，属于基础题。‎ ‎6.若执行如图所示的程序框图，则输出的m＝（　 　）‎ A. 8 B. ‎9 ‎C. 10 D. 11‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别当时代入程序框图计算到即可 ‎【详解】由题意可得：‎ 不满足 不满足 不满足 满足 跳出循环。‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了程序框图，属于基础题.‎ ‎7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一点，，为坐标原点，若，则（ ）‎ A. B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连结，由于，可知是三角形的中位线，得到，然后利用双曲线的性质求出即可得到答案．‎ ‎【详解】因为，所以为的中点，‎ ‎(如下图)连结，则是三角形的中位线，‎ 所以，‎ 由双曲线方程可得，，，‎ 所以，，‎ 而，，‎ 所以或者18，‎ 因为，所以舍去，‎ 故18，则.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的定义及性质，平面向量的线性运算，属于中档题．‎ ‎8.已知函数的图像在点处的切线与直线平行，则 A. 1 B. C. D. -1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出曲线在点处切线的斜率，求出函数的导函数，根据两直线平行的条件，令， ，求出；‎ ‎【详解】，所以，又直线得斜率为，由两直线平行得：，所以 故选D ‎【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了运算能力，属于中档题．‎ ‎9.双曲线C：（a＞0，b＞0）的焦点到其渐近线的距离为2，且C的焦距与椭圆的焦距相等，则双曲线C的渐近线方程是（　 　）‎ A. y＝±2x B. y＝±x C. y＝±4x D. y＝±x ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由焦点到渐近线的距离为2，可以得出，由焦距相等可以得双曲线中，‎ 根据即可解出，根据渐近线方程公式，即可得出答案 ‎【详解】由焦点到渐近线的距离为2，可以得出，再由焦距相等可以得双曲线中，又因为，所以，所以双曲线C的渐近线方程 故选:A ‎【点睛】本题主要考查了双曲线，椭圆的基本性质，属于基础题 ‎10.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的两位数．将组成a的2个数字按从小到大排成的两位数记为I（a），按从大到小排成的两位数记为D（a）（例如a＝75，则I（a）＝57，D（a）＝75）．执行如图所示的程序框图，若输人的a＝51，则输出的b＝（　 　）‎ A. 30 B. ‎35 ‎C. 40 D. 45‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图输入a＝51即可。‎ ‎【详解】由题意得: ‎ ‎45为5的倍数，所以输出45‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查了读程序框图，属于基础题。‎ ‎11.设F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，且|PF1|＝|F‎1F2|，则△PF‎1F2的内切圆的半径r＝（　 　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据椭圆的定义以及性质求出三角形的边长，从而求出面积，再根据即可求出△PF‎1F2的内切圆的半径r ‎【详解】因为椭圆C的标准方程为，所以，因为|PF1|＝|F‎1F2|，所以，所以 故选:C ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及性质、三角形面积公式，属于基础题。‎ ‎12.已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），对任意x∈R，f'（x）＞f（x）恒成立，且f（1）＝1，则不等式ef（x）＞ex的解集为（　 　）‎ A. （1，+∞） B. [1，+∞） C. （﹣∞，0） D. （﹣∞，0]‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据ef（x）＞ex，构造函数，对其求导判断单调性即可 ‎【详解】由题意得：令 因为f'（x）＞f（x），所以，即在R上为增函数，因为ef（x）＞ex 即,所以 故选:A ‎【点睛】本题主要考查了利用构造函数判断函数单调性的问题，解决此类问题的关键是构造出新的函数，属于中等题。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上 ‎13.函数f（x）＝x3﹣3lnx的最小值为_____．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先对f（x）求导，并且根据f（x）的导数判断单调性，即可求出函数的最值。‎ ‎【详解】函数f（x）＝x3﹣3lnx，x∈（0，+∞）；‎ 可得f′（x）＝3x2，‎ 所以f（x）在（0，1）上是减函数，（1，+∞）上是增函数，‎ 所以f（x）的最小值为：f（1）＝1．‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据函数的导数判断其单调性，属于基础题。‎ ‎14.命题“若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b”的逆否命题是_____．‎ ‎【答案】若a≠b且a≠﹣b，则|a|≠|b|‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据逆否命题与原命题之间的关系即可。‎ ‎【详解】四种命题之间的关系如下：‎ p或q的否定为：┐p且┐q，‎ 所以：命题“若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b”的逆否命题是若a≠b且a≠﹣b，则|a|≠|b|，‎ 故答案为：若a≠b且a≠﹣b，则|a|≠|b|‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题之间的关系，属于基础题。‎ ‎15.已知直线l：2x﹣y﹣1＝0与抛物线x2＝﹣4y交于A，B两点，则|AB|＝_____．‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把直线代入抛物线，利用韦达定理可得x1+x2＝﹣8，x1x2＝﹣4，再利用弦长公式即可求出|AB|的长。‎ ‎【详解】直线l：2x﹣y﹣1＝0与抛物线x2＝﹣4y联立，可得x2+8x﹣4＝0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝﹣8，x1x2＝﹣4，‎ 则|AB|••20．‎ 故答案为：20‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的弦长公式，解决此类问题主要是把直线代入抛物线利用韦达定理。属于中等题。‎ ‎16.袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到”和””平”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下24个随机数组：‎ ‎232 321 230 023 123 021 132 220 011 203 331 100‎ ‎231 130 133 231 031 320 122 103 233 221 020 132‎ 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目找出符合条件的数组，再除以总的数组即可。‎ ‎【详解】由题意知满足条件的随机数组中，‎ 前两次抽取的数中，含0与1不能同时出现，出现0就不能出现1，出现1就不能出现0，‎ 第三次必须出现前两个数字中没有出现的1或0，‎ 即符合条件的数组只有3组，分别为：021，130，031，‎ ‎∴恰好第三次就停止的概率为p．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了古典概型，属于基础题。‎ 三、解答题：本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.己知p：函数f（x）在R上是增函数，f（m2）＜f（m+2）成立；q：方程1（m∈R）表示双曲线．‎ ‎（1）若p为真命题，求m的取值范围；‎ ‎（2）若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ﹣1＜m＜2．(2) （﹣1，0]∪[2，3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据增函数的定义即可求出m的取值范围 ‎（2）由p∨q为真，p∧q为假可得有两种情况：①p真q假，②p假q真 ‎【详解】（1）己知命题p：函数f（x）在R上是增函数，f（m2）＜f（m+2）成立；‎ 所以m2＜m+2，解得﹣1＜m＜2．‎ ‎（2）已知命题q：方程1（m∈R）表示双曲线．‎ 所以m（m﹣3）＜0，解得0＜m＜3．‎ 由于p∨q为真，p∧q为假，‎ 所以①p真q假，则，解得﹣1＜m≤0．‎ ‎②p假q真，则，解得2≤m＜3，‎ 综上所述：m的取值范围是（﹣1，0]∪[2，3）．‎ ‎【点睛】本题主要考查了p∨q与p∧q真假的判断，即“一真或为真，一假且为假”。属于基础题 ‎18.国家统计局对某市最近十年小麦的需求量进行统计调查发现小麦的需求量逐年上升，如表是部分统计数据：‎ 年份x ‎2009‎ ‎2011‎ ‎2013‎ ‎2015‎ ‎2017‎ 年需求量y（万吨）‎ ‎336‎ ‎346‎ ‎357‎ ‎376‎ ‎385‎ ‎（1）利用所给数据求年需求量y与年份x之间的回归直线方程x；‎ ‎（2）请利用（1）中所求出的回归直线方程预测该市2019年的小麦需求量．‎ ‎（参考公式：，）‎ ‎【答案】(1)；(2)万吨 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接带入，求出即可 ‎（2）当时代入求出结果即可。‎ ‎【详解】（1），．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎∴所求线性回归方程为；‎ ‎（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝2019，‎ 可得（万吨）．‎ ‎【点睛】本题主要考查了线性回归方程，属于基础题。‎ ‎19.设函数.‎ ‎（1）若，求的极值；‎ ‎（2）若，求的单调区间.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，对函数求导，利用导数性质，即可求出极值．（2）当时，对函数求导，利用导数性质求出单调区间即可．‎ ‎【详解】（1）因为，所以 当时，，当，.‎ 所以在处取得极小值，极小值为，无极大值.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 令，得，.‎ 当时，，当时，.‎ 故的单调递增区间为.‎ 的单调递减区间为，.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数极值与单调区间的问题，属于中档题．‎ ‎20.某学校随机抽取100名考生的某次考试成绩，按照[75，80），[80，85），[85，90），[90，‎ ‎95），[95，100]（满分100分）分为5组，制成如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于75分）．已知第3组，第4组，第5组的频数成等差数列；第1组，第5组，第4组的频率成等比数列．‎ ‎（1）求频率分布直方图中a的值，并估计抽取的100名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）若从第3组、第4组、第5组中按分层抽样的方法抽取6人，并从中选出3人，求这3人中至少有1人来自第4组的概率．‎ ‎【答案】(1) a＝0.04，中位数．平均数87.25；(2)．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率之和为1，即可求出的值，再根据频率分布直方图求出平均数，中位数。（2）首先分别按比例从第3组、第4组、第5组中抽出3、2、1人，从6位同学中抽取3位同学有20种可能，找出3人中至少有1人来自第4组的情况。‎ ‎【详解】（1）设第3组，第5组的频率分别为x，y，‎ 由题意可得，‎ 解得x＝0.3，y＝0.1，a＝0.04，‎ ‎∴（）＝87.25，‎ 由频率分布直方图知，中位数在[85，90），设中位数为m，‎ 则0.01×5+0.07×5+0.06×（m﹣85）＝0.5，‎ 解得中位数m．‎ ‎（2）∵成绩较好的第3组、第4组、第5组中的人数分别为30，20，10，‎ ‎∴按分层抽样的方法在各组抽取的人数分别为3，2，1，‎ 设第3组的3位同学分别为A1，A2，A3，第4组的2位同学分别为B1，B2，第5组的1位同学为C，‎ 则从6位同学中抽取3位同学有20种可能，分别为：‎ ‎（），（A1，A2，B1），（A1，A2，B2），（A1，A2，C），（A1，A3，B1），（A1，A3，B2），（A1，A3，C），（A1，B1，B2），（A1，B1，C），（A1，B2，C），（A2，A3，B1），（A2，A3，B2），（A2，A3，C），（A2，B1，B2），（A2，B1，C），（A2，B2，C），（A3，B1，B2），（A3，B1，C），（A3，B2，C），（B1，B2，C），‎ 这3人中至少有1人来自第4组包含的基本事件有16个，分别为：‎ ‎（A1，A2，B1），（A1，A2，B2），（A1，A3，B1），（A1，A3，B2），（A1，B1，B2），（A1，B1，C），（A1，B2，C），（A2，A3，B1），（A2，A3，B2），（A2，B1，B2），（A2，B1，C），（A2，B2，C），（A3，B1，B2），（A3，B1，C），（A3，B2，C），（B1，B2，C），‎ ‎∴这3人中至少有1人来自第4组的概率为P．‎ ‎【点睛】本题主要考查了频率分布直方图以及概率，属于基础题。‎ ‎21.已知椭圆：的离心率为，且经过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线：与椭圆相交于，两点，若，试用表示.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意列方程组，求解方程组即可得解；‎ ‎（2）由直线和椭圆联立，利用弦长公式结合韦达定理求表示即可.‎ 详解】（1）由题意解得 故椭圆C的方程为．‎ ‎（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由，得(2k2+1)x2+4kmx+‎2m2‎-8＝0，‎ 所以，．‎ 因为|AB|＝4|，所以，‎ 所以，‎ 整理得k2(4-m2)＝m2-2，显然m2≠4，又k＞0，所以．‎ 故．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与椭圆相交的弦长问题，属于基础题.‎ ‎22.已知函数f（x）x2﹣（6+a）x+2alnx（a∈R）．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）函数g（x）x2+（‎2a﹣4）lnx﹣1，若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 当a＞6时，f（x）在（，+∞），（0，2）上单调递增，在（2，）上单调递减．‎ 当a＝6时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ 当0＜a＜6时，f（x）（2，+∞），（0，）上单调递增，f（x）在（，2）上单调递减．‎ 当a≤0时，f（x）在（2，+∞）上单调递增．‎ ‎ (2) （﹣5，+∞）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先对f（x）求导数，令，再讨论当、a＝6、、四种情况对应的单调性。‎ ‎（2）首先由f（x）＜g（x），化简得4lnx+1＜（6+a）x，因为x∈[1，e]，所以a＞[]min，‎ 令h（x），对 h（x）求导判断其单调性即可。求出最小值即可。‎ ‎【详解】（1）f′（x）＝3x﹣（6+a）（x＞0），‎ 令f′（x）＝0，得x1，x2＝2，‎ ‎①当及a＞6时，‎ 若x∈（，+∞）∪（0，2），f′（x）＞0，故f（x）在（，+∞），（0，2）上单调递增，‎ 若x∈（2，），f′（x）＜0，故f（x）在（2，）上单调递减．‎ ‎②当a＝6时，f′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，‎ 故f（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ ‎③当02，即0＜a＜6时，‎ 若x∈（2，+∞）∪（0，），f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞），（0，）上单调递增 若x∈（，2），f′（x）＜0，故f（x）在（，2）上单调递减．‎ ‎④当，即a≤0时，‎ 若x∈（2，+∞），f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上单调递增，‎ 若x∈（0，2），f′（x）＜0，f（x）在（0，2）单调递减．‎ 综上所述：当a＞6时，f（x）在（，+∞），（0，2）上单调递增，在（2，）上单调递减．‎ 当a＝6时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ 当0＜a＜6时，f（x）在（2，+∞），（0，）上单调递增，f（x）在（，2）上单调递减．‎ 当a≤0时，f（x）在（2，+∞）上单调递增．‎ ‎（2）当x∈[1，e]，由f（x）＜g（x），化简得4lnx+1＜（6+a）x，‎ 因为x∈[1，e]，所以a＞[]min，‎ 令h（x），，‎ 令h′（x）＝0，得x＝e，‎ 当x∈[1，e）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．‎ 当x∈（e，e]时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．‎ 所以h（x）min＝{h（1），h（e）}，‎ h（1）＝﹣5＜h（e），‎ 所以a＞﹣5，‎ 故a的取值范围是（﹣5，+∞）．‎ ‎【点睛】本题主要考查了含参数函数单调性的讨论，以及构造新的函数利用导数判断其单调性。属于中等题。‎