2020届二轮复习数列求和及其应用教案（全国通用）

2020届二轮复习数列求和及其应用教案（全国通用）

‎2020届二轮复习 数列求和及其应用 教案（全国通用）‎ ‎1．数列求和的方法技巧 ‎(1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和．‎ ‎(2)错位相减法 这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列．‎ ‎(3)倒序相加法 这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．‎ ‎(4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．‎ ‎(5)分组转化求和法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．‎ ‎2．数列的综合问题 ‎(1)等差数列与等比数列的综合．‎ ‎(2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合．‎ ‎(3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题．‎ 数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决.‎ ‎【误区警示】‎ ‎1．应用错位相减法求和时，注意项的对应．‎ ‎2．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n项和．‎ 高频考点一 数列求和 例1、（2018年天津卷）设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.‎ ‎（I）求和的通项公式；‎ ‎（II）设数列的前n项和为，‎ ‎（i）求；‎ ‎（ii）证明.‎ ‎【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析.‎ ‎（II）（i）由（I），有，‎ 故.‎ ‎（ii）因为，‎ 所以 ‎【变式探究】【2017江苏，19】 对于给定的正整数,若数列满足 ‎ 对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.‎ ‎（1）证明：等差数列是“数列”;‎ ‎（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，‎ 从而，当时， ‎ ‎， ‎ 所以，‎ 因此等差数列是“数列”.‎ ‎（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，‎ 当时，，①‎ 当时，.②‎ 由①知， ，③‎ ‎，④‎ 将③④代入②，得，其中，‎ 所以是等差数列，设其公差为.‎ 在①中，取，则，所以，‎ 在①中，取，则，所以，‎ 所以数列是等差数列.‎ ‎【变式探究】设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.‎ ‎(1)求通项公式an；‎ ‎(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．‎ 解：(1)由题意得则 又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.‎ ‎(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，‎ 则b1＝2，b2＝1.‎ 当n≥3时，由于3n－1>n＋2，‎ 故bn＝3n－1－n－2，n≥3.‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn，‎ 则T1＝2，T2＝3，‎ 当n≥3时，Tn＝3＋－＝‎ ，‎ ‎∴Tn＝ ‎【举一反三】若An和Bn分别表示数列{an}和{bn}的前n项的和，对任意正整数n，an＝2(n＋1)，3An－Bn＝4n. ‎ ‎（Ⅱ）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（I）.‎ ‎（II），（或）‎ ‎ 【解析】 (I）因为，‎ ‎，‎ 由题意，得，‎ 解得，‎ 所以.‎ ‎（II）‎ 当n为偶数时， ‎ 当n为奇数时， ‎ 所以，（或）‎ ‎【考点定位】等差数列的前项和、等比数列及其性质 ‎ ‎6. 【2014高考上海理科第23题】已知数列满足.‎ （1） 若，求的取值范围；‎ （2） 若是公比为等比数列，，求的取值范围；‎ ‎（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差. ‎ ‎ 【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为1999，此时公差为.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题得，‎ ‎（2）由题得，∵，且数列是等比数列，，‎ ‎∴，∴，∴.‎ 又∵，∴当时，对恒成立，满足题意.‎ 当时，‎ ‎∴①当时，，由单调性可得，，解得，‎ ‎②当时，，由单调性可得，，解得，‎ ‎（3）由题得，∵，且数列成等差数列，，‎ ‎∴，∴，,‎ 所以时，，时，，所以．‎ ‎∴‎ 又∵，∴‎ ‎∴，∴，解得，，‎ ‎∴的最大值为1999，此时公差为．‎ ‎【考点定位】解不等式（组）、数列的单调性、分类讨论、等差（比）数列的前项和.‎ ‎7. 【2014高考上海理科第8题】设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，即，∵，∴.‎ ‎【考点定位】无穷递缩等比数列的和.‎ ‎8. 【2014高考四川第16题】设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）.‎ ‎（1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；‎ ‎（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前 项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】.（1），所以.‎ ‎（2）将求导得，所以在处的切线为，令得，‎ 所以，.所以，‎ 其前项和 ①‎ 两边乘以2得： ②‎ ‎②－①得：，所以.‎ ‎【考点定位】等差数列与等比数列.‎ ‎9．【2014高考天津第19题】已知和均为给定的大于1的自然数．设集合，集合．‎ ‎（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；‎ ‎（Ⅱ）设，，，其中证明：若，则．‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析 ‎【解析】（1）当时，可得，．‎ ‎（2）由及，可得 ‎．‎ ‎【考点定位】等比数列的前项和公式 ‎10. 【2014高考浙江理第19题】已知数列和满足.若为等比数列，且 （1） 求与；‎ （2） 设。记数列的前项和为.‎ ‎（i）求；‎ ‎（ii）求正整数，使得对任意，均有．‎ ‎【答案】（1），；（2）（i）；（ii）．‎ ‎【解析】（1）求与得通项公式，由已知得，再由已知得，，又因为数列为等比数列，即可写出数列的通项公式为，由数列的通项公式及，可得数列的通项公式为，；（2）（i）求数列的前项和，首先求数列的通项公式，由，将，代入整理得，利用等比数列求和公式，即可得数列的前项和；（ii）求正整数，使得对任意，均有，即求数列 的最大项，即求数列得正数项，由数列的通项公式，可判断出，当时，，从而可得对任意恒有，即．‎ ‎（1）由题意，，，知，又有，得公比（舍去），所以数列的通项公式为，所以，故数列的通项公式为，；‎ ‎（2）（i）由（1）知，，所以；‎ ‎（ii）因为；当时，，而，得，所以当时，，综上对任意恒有，故．‎ ‎【考点定位】等差数列与等比的列得概念、通项公式、求和公式 ‎11. 【2014高考重庆理科第22题】设 ‎（Ⅰ）若，求及数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，‎ 解法二：‎ 可写为.因此猜想.‎ 下用数学归纳法证明上式：‎ 当时结论显然成立.‎ 假设时结论成立，即.则 这就是说，当时结论成立.‎ 所以 ‎（2）解法一：设，则.‎ 令，即，解得.‎ 下用数学归纳法证明加强命：‎ 当时，，所以，结论成立.‎ 假设时结论成立，即 易知在上为减函数，从而 即 再由在上为减函数得.‎ 故，因此，这就是说，当时结论成立.‎ 综上，符合条件的存在，其中一个值为.‎ 解法二：设，则 先证： ①‎ 当时，结论明显成立.‎ 假设时结论成立，即 易知在上为减函数，从而 即这就是说，当时结论成立，故①成立.‎ 再证： ②‎ 当时，，有，即当时结论②成立 假设时，结论成立，即 由①及在上为减函数，得 这就是说，当时②成立，所以②对一切成立.‎ 由②得 即 因此 又由①、②及在上为减函数得 即 所以解得.‎ 综上，由②③④知存在使对一切成立.‎ ‎【考点定位】数列通项公式的求法、等差数列 ‎