2018-2019学年甘肃省兰州市第一中学高二下学期期末数学（文)试题 解析版

2018-2019学年甘肃省兰州市第一中学高二下学期期末数学（文)试题 解析版

绝密★启用前 甘肃省兰州市第一中学2018-2019学年高二下学期期末数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合， ，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵集合，集合 ‎∴‎ 故选D ‎2．已知两向量，，则在方向上的投影为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可以先根据向量计算出的值以及的值，再通过向量的投影定义即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为向量，‎ 所以 所以在方向上的投影为故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量坐标表示及平面向量数量积公式、平面向量的投影，考查计算能力，属于中档题。平面向量数量积公式有两种形式，一种是，另一种是 ‎。‎ ‎3．已知，，，则的大小关系为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用利用等中间值区分各个数值的大小。‎ ‎【详解】‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎。‎ 故。‎ 故选A。‎ ‎【点睛】‎ 利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待。‎ ‎4．设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断.‎ ‎【详解】‎ ‎ 时，, 为偶函数；‎ 为偶函数时，对任意的恒成立，‎ ‎ ‎ ‎ ，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.‎ ‎5．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.‎ ‎【详解】‎ 当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.‎ ‎【点睛】‎ 易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.‎ ‎6．‎ ‎《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，输出的s值为 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图中的条件逐次运算即可.‎ ‎【详解】‎ 运行第一次， ， ，‎ 运行第二次， ， ，‎ 运行第三次， ， ，‎ 结束循环，输出 ，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.‎ ‎8．如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（ ）‎ A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线 C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．‎ ‎【详解】‎ 如图所示， 作于，连接，过作于．‎ 连，平面平面．‎ 平面，平面，平面，‎ 与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知 ‎，‎ ‎．，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性。‎ ‎9．若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ A． B．1‎ C．10 D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.‎ ‎【详解】‎ 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.‎ ‎【点睛】‎ 解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.‎ ‎10．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.‎ ‎【详解】‎ 两颗星的星等与亮度满足,令,‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.‎ ‎11．已知点、、、均在球上，，，若三棱锥 体积的最大值为，则球的表面积为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设的外接圆的半径为，，，，，，三棱锥的体积的最大值为，到平面的最大距离为，设球的半径为，则，，球的表面积为，故选B．‎ 考点：球内接多面体．‎ ‎【思路点睛】本题考查球的半径，考查球的体积的计算，首先要从题目中分析出主要信息，进而求出球的半径．确定到平面的最大距离是关键．确定，，利用三棱锥的体积的最大值为，可得到平面的最大距离，再利用勾股定理，即可求出球的半径，即可求出球的表面积．‎ ‎12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：‎ ‎①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；‎ ‎②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；‎ ‎③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.‎ 其中，所有正确结论的序号是 A．① B．② C．①② D．①②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.‎ ‎【详解】‎ 由得,,,‎ 所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.‎ 由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.‎ 如图所示,易知,‎ 四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．函数在的零点个数为 _________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数化简为，判断或 的解的个数得到答案.‎ ‎【详解】‎ 函数 函数零点为：或 ‎ ‎ 故答案为3‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的零点，三角函数的化简，意在考查学生的计算能力.‎ ‎14．中，是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列的公差，是以为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是 ___________.‎ ‎【答案】锐角三角形 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列，等比数列公式，分别计算，，再计算，最后判断三角形形状.‎ ‎【详解】‎ 是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列的公差 是以为第三项，4为第六项的等比数列的公比 均为锐角 故答案为：锐角三角形 ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列，等比数列公式，三角函数和差公式，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎15．已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则 __________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算代入，通过变换得到，通过计算，最后得到答案.‎ ‎【详解】‎ 函数是奇函数 ‎ 的最小正周期为 ‎ 将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性，周期，伸缩变换，函数求值，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.‎ ‎16．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式，其中是柱体的底面积，是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是_________.‎ ‎【答案】162‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算俯视图的面积：分为上下两个梯形，再利用祖暅原理计算体积.‎ ‎【详解】‎ 俯视图的面积分为上下两个梯形：‎ ‎ ‎ 故答案为162‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了祖暅原理的理解和柱体的体积，意在考查学生的理解能力.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数的定义域为；求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将定义域为转化为恒成立，计算函数的最小值得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知恒成立，令.，‎ 去绝对值可得： ，‎ 依次判断可知的最小值为-3，所以实数 的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的定义域，去绝对值符号，将定义域转化为恒成立问题是解题的关键.‎ ‎18．已知公差不为零的等差数列的前4项和为10，且成等比数列．‎ ‎（1）求通项公式；‎ ‎（2）设,求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）an=3n－5；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得到关于首项和公差的方程组，解出首项和公差，即可得到通项公式；（2），根据等比数列求和公式得到结果即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知 解得 所以an=3n－5.‎ ‎（2）∵‎ ‎∴数列{bn}是首项为，公比为8的等比数列， ‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了等差数列的基本量的计算，等比数列的前n项和的计算，题型较为基础。求数列的和的方法，常见的有：按照等差等比公式求解，倒序相加法，错位相减法，分组求和等.‎ ‎19．某高中三年级的甲、乙两个同学同时参加某大学的自主招生，在申请的材料中提交了某学科10次的考试成绩，记录如下：‎ 甲：78 86 95 97 88 82 76 89 92 95‎ 乙：73 83 69 82 93 86 79 75 84 99‎ ‎（1）根据两组数据，作出两人成绩的茎叶图，并通过茎叶图比较两人本学科成绩平均值的大小关系及方差的大小关系（不要求计算具体值，直接写出结论即可）‎ ‎（2）现将两人的名次分为三个等级：‎ 成绩分数 等级 合格 良好 优秀 根据所给数据，从甲、乙获得“优秀”的成绩组合中随机选取一组，求选中甲同学成绩高于乙同学成绩的组合的概率.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以十位为茎，个位数为叶，即可作出茎叶图，由茎叶图的特征即可比较两人的平均成绩以及方差；‎ ‎（2）用列举法分别列举出从甲、乙均获得“优秀”的成绩组合的基本事件，以及甲同学成绩高于乙同学成绩组合的基本事件，结合古典概型的概率计算公式即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）画出甲、乙两人成绩的茎叶图如图：‎ 通过茎叶图可以看出，甲成绩的平均值高于乙成绩的平均值，‎ 故甲成绩的方差小于乙成绩的方差。‎ ‎（2）由表中的数据，甲优秀的数据为：95，97，92，95；‎ 乙优秀的数据为：93，99，　 ‎ 从甲、乙均获得“优秀”的成绩组合的基本事件有：‎ ‎（95，93），（95，99），（97，93），（97，99），（92，93），（92，99），（95，93），（95，99）共8种不同的取法，　　　‎ 甲同学成绩高于乙同学成绩组合的基本事件是：（95，93），（97，93），（95，93）共3种不同的取法，所以，选中甲同学优秀成绩高于乙同学优秀成绩的组合的概率为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查茎叶图的特征以及古典概型的问题，需要考生熟记概念以及古典概型的概率计算公式，属于基础题型.‎ ‎20．如图，四棱锥的底面为正方形，是四棱锥的高，与平面所成角为，是的中点，是上的动点．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若是上的中点，求与平面的所成角的正切值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过证明得到平面，从而.‎ ‎（2）连接，则与平面的所成角为，在三角形中利用边角关系计算正切值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）四棱锥的底面为正方形，是四棱锥的高，与平面 所成角为，是的中点，则 平面 ‎ 所以平面，从而.‎ ‎（2）连接，由(1)知：平面，则与平面的所成角为 设底面正方形边长为1，则 ‎ 满足勾股定理，为直角三角形.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了动点问题，线线垂直，线面夹角，将线线垂直转化为线面垂直是解题的关键.‎ ‎21．在平面直角坐标系中,已知圆C经过点,且圆心在直线.‎ ‎(1)求圆C的方程; ‎ ‎(2)设P是圆上任意一点,过点P作圆C的两条切线,为切点,试求四边形面积的最小值.‎ ‎【答案】(1) ；(2)10.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 设圆的方程为，将条件代入方程得到方程组解得答案.‎ ‎(2)将面积转化为，求最小值，再转化为圆心距减半径得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设圆的方程为 ,其圆心为 ,‎ ‎∵圆经过点,且圆心在直线上,‎ ‎ ,解得 .‎ ‎∴所求圆的方程为 ;‎ ‎(2)由(1)知,圆的方程为 .‎ 依题意, ,‎ ‎∴当 最小时, 最小.‎ ‎∵圆,∴ ,半径为 .‎ ‎∵,∴两个圆的圆心距 .‎ ‎∵点在圆 上,且圆 的半径为 ,∴ ,‎ ‎∴ .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的一般方程，四边形面积的最小值，将面积用表示再转化为圆心距减半径是解题的关键.‎ ‎22．在中，角对应的三边长分别为，若，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用平面向量的数量积的运算，化简 ‎，再利用余弦定理列出关系式，将化简结果及的值代入计算即可求出的值；（2）由基本不等式求出的范围，根据，得出，进而利用余弦函数的性质求出角的范围，再化简，即可求出的值域．‎ 试题解析：（1）因为，所以，‎ 由余弦定理得．‎ 因为，所以．‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 因为，‎ 由于，所以．‎ 所以的值域为．‎ 考点：正弦定理；余弦定理．‎