高中数学选修2-2课时练习第一章 4

高中数学选修2-2课时练习第一章 4

‎§4　数学归纳法(一)‎ ‎[学习目标]‎ ‎1．了解数学归纳法的原理．‎ ‎2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．‎ ‎[知识链接]‎ 问题1.对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？‎ 答　a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.猜想数列的通项公式为an＝.不能保证猜想一定正确，需要严密的证明．‎ 问题2.多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？‎ 答　(1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．条件(2)事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块倒下，则相邻的第K＋1块也倒下．‎ 问题3.类比问题2中的多米诺骨牌游戏的原理，想一想如何证明问题1中的猜想？‎ 答　(1)当n＝1时，猜想成立；(2)若当n＝k时猜想成立，证明当n＝k＋1时猜想也成立．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．‎ ‎2．数学归纳法证明步骤 基本步骤：‎ ‎(1)验证：n＝1时，命题成立；‎ ‎(2)在假设n＝k(k≥1)时命题成立的前提下，推出n＝k＋1时，命题成立．‎ 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 要点一　命题从n＝k到n＝k＋1项的变化 例1　已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是________．‎ 答案　2k 解析　观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，‎ f(2k)＝1＋＋＋…＋，而f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋.‎ 因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．‎ 规律方法　在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k＋1)中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．‎ 跟踪演练1　设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于________．‎ 答案　＋＋ 解析　∵f(n)＝1＋＋＋…＋，‎ ‎∴f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋.‎ 要点二　证明与自然数n有关的等式 例2　已知n∈N＋，证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.‎ 证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，‎ 等式成立；‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥1，且k∈N＋)时等式成立，即：‎ ‎1－＋－＋…＋－ ‎＝＋＋…＋.‎ 则当n＝k＋1时，‎ 左边＝1－＋－＋…＋－＋ ‎－＝＋＋…＋＋－ ‎＝＋＋…＋＋＋ ‎＝＋＋…＋＋‎ ＝右边；‎ 所以当n＝k＋1时等式也成立．‎ 由(1)(2)知对一切n∈N＋等式都成立．‎ 规律方法　(1)用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且书写必须规范；‎ ‎(2)用数学归纳法证题时，要把n＝k时的命题当作条件，在证n＝k＋1命题成立时须用上假设．要注意当n＝k＋1时，等式两边的式子与n＝k时等式两边的式子的联系，弄清楚增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决．‎ 跟踪演练2　用数学归纳法证明：‎ 当n≥2，n∈N＋时，·…·＝.‎ 证明　(1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝，∴n＝2时等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，‎ 即…＝，‎ 那么当n＝k＋1时，‎ …＝·＝＝ ‎＝.‎ ‎∴当n＝k＋1时，等式也成立．‎ 根据(1)和(2)知，对任意n≥2，n∈N＋，等式都成立．‎ 要点三　证明与数列有关的问题 例3　某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2.‎ ‎(1)写出这个数列的前五项；‎ ‎(2)写出这个数列的通项公式，并加以证明．‎ 解　(1)已知a1＝1，由题意得a1·a2＝22，‎ ‎∴a2＝22，∵a1·a2·a3＝32，∴a3＝.‎ 同理可得a4＝，a5＝.‎ 因此这个数列的前五项为1,4，，，.‎ ‎(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为：‎ an＝ 下面用数学归纳法证明当n≥2时，an＝.‎ ‎①当n＝2时，a2＝＝22，‎ 所以等式成立．‎ ‎②假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，结论成立，‎ 即ak＝，‎ 则当n＝k＋1时，∵a1·a2·…·ak－1＝(k－1)2，‎ ‎∴a1·a2·…·ak＋1＝(k＋1)2.‎ ‎∴ak＋1＝ ‎＝·＝，‎ 所以当n＝k＋1时，结论也成立．‎ 根据①②可知，当n≥2时，这个数列的通项公式是 an＝，∴an＝ 规律方法　(1)数列{an}既不是等差数列，又不是等比数列，要求其通项公式，只能根据给出的递推式和初始值，分别计算出前几项，然后归纳猜想出通项公式an，并用数学归纳法加以证明．‎ ‎(2)数学归纳法是重要的证明方法，常与其他知识结合，尤其是数学中的归纳、猜想并证明或与数列中的不等式问题相结合综合考查，证明中要灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用，不考虑假设而进行的证明不是数学归纳法．‎ 跟踪演练3　数列{an}满足：a1＝，前n项和Sn＝an，‎ ‎(1)写出a2，a3，a4；‎ ‎(2)猜出an的表达式，并用数学归纳法证明．‎ 解　(1)令n＝2，得S2＝a2，‎ 即a1＋a2＝‎3a2，解得a2＝.‎ 令n＝3，得S3＝a3，‎ 即a1＋a2＋a3＝‎6a3，解得a3＝.‎ 令n＝4，得S4＝a4，‎ 即a1＋a2＋a3＋a4＝‎10a4，解得a4＝.‎ ‎(2)由(1)的结果猜想an＝，下面用数学归纳法给予证明：‎ ‎①当n＝1时，a1＝＝，结论成立．‎ ‎②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，结论成立，即ak＝，‎ 则当n＝k＋1时，Sk＝ak，①‎ Sk＋1＝ak＋1，②‎ ‎②与①相减得ak＋1＝ak＋1－ak，‎ 整理得ak＋1＝ak＝·＝＝，‎ 即当n＝k＋1时结论也成立．‎ 由①、②知对于n∈N＋，上述结论都成立.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．若命题A(n)(n∈N＋)在n＝k(k∈N＋)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N＋)时命题成立，则有(　　)‎ A．命题对所有正整数都成立 B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立 C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D．以上说法都不正确 答案　C 解析　由已知得n＝n0(n0∈N＋)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.‎ ‎2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝ ‎(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为(　　)‎ A．1＋a B．1＋a＋a2‎ C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a4‎ 答案　C 解析　将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.‎ ‎3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下：‎ ‎(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋‎ ‎1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N＋，等式都成立．上述证明的错误是________．‎ 答案　未用归纳假设 解析　本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．‎ ‎4．当n∈N＋时，Sn＝1－＋－＋…＋－，‎ Tn＝＋＋＋…＋，‎ ‎(1)求S1，S2，T1，T2；‎ ‎(2)猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．‎ 解　(1)∵当n∈N＋时，Sn＝1－＋－＋…＋－，Tn＝＋＋＋…＋.‎ ‎∴S1＝1－＝，S2＝1－＋－＝，‎ T1＝＝，T2＝＋＝.‎ ‎(2)猜想Sn＝Tn(n∈N*)，即1－＋－＋…＋－＝＋＋＋…＋(n∈N*)．‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝1时，已证S1＝T1，‎ ‎②假设n＝k时，Sk＝Tk(k≥1，k∈N＋)，‎ 即1－＋－＋…＋－＝＋＋＋…＋，‎ 则Sk＋1＝Sk＋－＝Tk＋－ ‎＝＋＋＋…＋＋－ ‎＝＋＋…＋＋＋ ‎＝＋＋…＋＋ ‎＝Tk＋1.‎ 由①，②可知，对任意n∈N＋，Sn＝Tn都成立．‎ 在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：‎ ‎(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；‎ ‎(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；‎ ‎(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、基础达标 ‎1．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N＋)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时，该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题成立，那么可推导出(　　)‎ A．当n＝6时命题不成立 B．当n＝6时命题成立 C．当n＝4时命题不成立 D．当n＝4时命题成立 答案　B ‎2．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　)‎ A．该命题对于n>2的自然数n都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与k取值无关 D．以上答案都不对 答案　B 解析　由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立．且n＝2‎ 时命题成立，故对所有的正偶数都成立．‎ ‎3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．0‎ 答案　C 解析　因为是证凸n边形，所以应先验证三角形，故选C.‎ ‎4．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则n＝1时f(n)是(　　)‎ A．1 B. C．1＋＋ D．以上答案均不正确 答案　C ‎5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．‎ 答案　1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k 解析　由n＝k到n＝k＋1等式的左边增加了一项．‎ ‎6．已知f(n)＝＋＋…＋(n∈N＋)，则f(k＋1)＝________.‎ 答案　f(k)＋＋＋－ ‎7．用数学归纳法证明…＝(n∈N＋)．‎ 证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝ ‎＝，等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即 …＝，‎ 当n＝k＋1时，‎ …· ‎＝＝＝＝，‎ 所以当n＝k＋1时等式也成立．‎ 由(1)(2)可知，对于任意n∈N＋等式都成立．‎ 二、能力提升 ‎8．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)，从k到k＋1左端需要增乘的代数式为(　　)‎ A．2k＋1 B．2(2k＋1)‎ C. D. 答案　B 解析　n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)]·[(k＋1)＋k]·(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·(2k＋1)·2，∴应增乘2(2k＋1)．‎ ‎9．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)‎ A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 答案　D 解析　观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，‎ ‎∴项数为n2－n＋1.‎ ‎10．以下用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N＋)”的过程中的错误为________．‎ 证明：假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N＋等式都成立．‎ 答案　缺少步骤(1)，没有递推的基础 ‎11．用数学归纳法证明：‎ ‎12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.‎ 证明　(1)当n＝1时，左边＝1，‎ 右边＝(－1)1－1×＝1，结论成立．‎ ‎(2)假设当n＝k时，结论成立．‎ 即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·，‎ 那么当n＝k＋1时，‎ ‎12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2‎ ‎＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2‎ ‎＝(－1)k·(k＋1) ‎＝(－1)k· ‎＝(－1)(k＋1)－1·.‎ 即n＝k＋1时结论也成立．‎ 由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立．‎ ‎12．已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N＋)，Sn为数列{an}的前n项和．‎ ‎(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；‎ ‎(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．‎ ‎(1)解　a2＝S1＝a1＝5，‎ a3＝S2＝a1＋a2＝10，‎ a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，‎ 猜想an＝.‎ ‎(2)证明　①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时成立，‎ 即ak＝5×2k－2，‎ 当n＝k＋1时，由已知条件和假设有 ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak ‎＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2.‎ ‎＝5＋＝5×2k－1‎ ‎＝5×2(k＋1)－2.‎ 故n＝k＋1时公式也成立．‎ 由①②可知，对n≥2，n∈N＋，有an＝5×2n－2.‎ 所以数列{an}的通项公式为 an＝ 三、探究与创新 ‎13．已知数列{an}的前n项和Sn＝1－nan(n∈N＋)．‎ ‎(1)计算a1，a2，a3，a4；‎ ‎(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．‎ 解　(1)计算得a1＝；a2＝；a3＝；a4＝.‎ ‎(2)猜想an＝.下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝1时，猜想显然成立．‎ ‎②假设n＝k(k∈N＋)时，猜想成立，即ak＝.‎ 那么，当n＝k＋1时，Sk＋1＝1－(k＋1)ak＋1，‎ 即Sk＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1.‎ 又Sk＝1－kak＝，‎ 所以＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1，‎ 从而ak＋1＝＝.‎ 即n＝k＋1时，猜想也成立．故由①和②可知，猜想成立．‎ ‎§4　数学归纳法(二)‎ ‎[学习目标]‎ ‎1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．‎ ‎2．掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．‎ ‎[知识链接]‎ ‎1．数学归纳法的两个步骤有何关系？‎ 答　使用数学归纳法时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是递推的基础，步骤(2)是递推的依据．‎ ‎2．用数学归纳法证明的问题通常具备怎样的特点？‎ 答　与正整数n有关的命题 ‎[预习导引]‎ ‎1．归纳法 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明．‎ ‎2．数学归纳法 ‎(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数有关的数学命题；‎ ‎(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；‎ ‎(3)注意点：在第二步递推归纳时，从n＝k到n＝k＋1必须用上归纳假设．‎ 要点一　用数学归纳法证明不等式问题 例1　用数学归纳法证明：‎ ＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N＋)．‎ 证明　(1)当n＝2时，左式＝＝，右式＝1－＝.‎ 因为<，所以不等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式成立，‎ 即＋＋＋…＋<1－，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ＋＋＋…＋＋<1－＋ ‎＝1－＝1－<1－ ‎＝1－，‎ 所以当n＝k＋1时，不等式也成立．‎ 综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．‎ 规律方法　用数学归纳法证明不等式时常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等式．‎ 跟踪演练1　用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式…>成立．‎ 证明　(1)当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝，‎ >，‎ ‎∴不等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k≥2且k∈N＋)时，不等式成立，即 …>，‎ 那么当n＝k＋1时，‎ …>‎ ·＝＝>‎ ＝＝，‎ ‎∴n＝k＋1时，不等式也成立．‎ 由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．‎ 要点二　用数学归纳法证明整除性问题 例2　用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除．‎ 证明　①当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．‎ ‎②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，f(k)能被36整除，‎ 即(2k＋7)·3k＋9能被36整除，‎ 则当n＝k＋1时，‎ f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9‎ ‎＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，‎ 由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，‎ 而3k－1－1是偶数，所以18(3k－1－1)能被36整除，‎ 所以f(k＋1)能被36整除．‎ 由①②可知，对任意的n∈N＋，f(n)能被36整除．‎ 规律方法　应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将n＝k时的项从n＝k＋1时的项中“硬提出来”，构成n＝k的项，后面的式子相对变形，使之与n＝k＋1时的项相同，从而达到利用假设的目的．‎ 跟踪演练2　用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N＋)能被7整除．‎ 证明　(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时，62k－1＋1能被7整除．‎ 那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1‎ ‎＝36(62k－1＋1)－35.‎ ‎∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，‎ ‎∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．‎ 由(1)，(2)知命题成立．‎ 要点三　用数学归纳法证明几何问题 例3　用数学归纳法证明凸n边形的对角线有n(n－3)条．‎ 证明　①当n＝3时，n(n－3)＝0，这就说明三角形没有对角线，故结论正确．‎ ‎②假设当n＝k(k≥3，k∈N＋)时结论正确，‎ 即凸k边形的对角线有k(k－3)条，‎ 当n＝k＋1时，凸(k＋1)边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为Ak＋1，增加的对角线是顶点Ak＋1与不相邻顶点的连线再加上原k边形一边A1Ak，共增加了对角线的条数为k－2＋1＝k－1.‎ ‎∴f(k＋1)＝f(k)＋k－1＝k(k－3)＋k－1‎ ‎＝(k2－k－2)‎ ‎＝(k＋1)(k－2)‎ ‎＝(k＋1)[(k＋1)－3]，‎ 故当n＝k＋1时命题成立．‎ 由(1)(2)知，对任意n≥3，n∈N＋，命题成立．‎ 规律方法　用数学归纳法证明几何问题，关键在于分析由n＝k到n＝k＋1的变化情况，即分点(或顶点)增加了多少，直线的条数(或划分区域)增加了几部分等，或先用f(k＋1)－f(k)得出结果，再结合图形给予严谨的说明，几何问题的证明：一要注意数形结合；二要注意要有必要的文字说明．‎ 跟踪演练3　平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f(n)＝.‎ 证明　(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝×2×(2－1)＝1，‎ ‎∴当n＝2时，命题成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)＝k(k－1)，‎ 那么，当n＝k＋1时，‎ 任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为 f(k)＝k(k－1)，‎ l与其他k条直线交点个数为k，‎ 从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，‎ 即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k ‎＝k(k－1＋2)＝k(k＋1)‎ ‎＝(k＋1)[(k＋1)－1]，‎ ‎∴当n＝k＋1时，命题成立．‎ 由(1)，(2)可知，对任意n∈N＋(n≥2)命题都成立．‎ 要点四　归纳—猜想—证明 例4　在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)．‎ ‎(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；‎ ‎(2)证明：＋＋…＋＜.‎ ‎(1)解　由条件得2bn＝an＋an＋1，‎ a＝bnbn＋1.‎ 由此可以得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.‎ 猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.‎ 用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝1时，由上可得结论成立．‎ ‎②假设当n＝k(k∈N＋)时，结论成立．‎ 即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，‎ 那么当n＝k＋1时，‎ ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)‎ ‎＝(k＋1)(k＋2)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]，‎ bk＋1＝＝(k＋2)2＝[(k＋1)＋1]2，‎ 所以当n＝k＋1时，结论也成立．‎ 由①②，可知an＝n(n＋1)，‎ bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．‎ ‎(2)证明　当n＝1时，＝＜.‎ 当n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.‎ 故＋＋…＋ ‎＜＋ ‎＝＋ ‎＝＋＜＋＝.‎ 综上，原不等式成立．‎ 规律方法　探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证明往往用到数学归纳法．这类题型是高考的热点之一，它对培养创造性思维具有很好的训练作用．‎ 跟踪演练4　已知数列，，，…，，…，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．‎ 解　S1＝＝；S2＝＋＝；‎ S3＝＋＝；S4＝＋＝.‎ 可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.于是可以猜想Sn＝(n∈N＋)．‎ 下面我们用数学归纳法证明这个猜想．‎ ‎(1)当n＝1时，左边＝S1＝，右边＝＝＝，‎ 猜想成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N＋)时猜想成立，即 ＋＋＋…＋＝，那么，n＝k＋1时，‎ ＋＋＋…＋ ‎＋＝＋‎ ‎＝＝＝，‎ 所以，当n＝k＋1时猜想也成立．‎ 根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N＋都成立．‎ ‎1．某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N＋)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得(　　)‎ A．n＝6时该命题不成立 B．n＝6时该命题成立 C．n＝4时该命题不成立 D．n＝4时该命题成立 答案　C 解析　∵n＝k(k∈N＋)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题成立．∴若n＝5时，该命题不成立，则n＝4时该命题不成立．‎ ‎2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第一步验证n＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成(　　)‎ A．假设n＝2k＋1(k∈N＋)时命题正确，再推证n＝2k＋3时命题正确 B．假设n＝2k－1(k∈N＋)时命题正确，再推证n＝2k＋1时命题正确 C．假设n＝k(k∈N＋)时命题正确，再推证n＝k＋2时命题正确 D．假设n≤k(k∈N＋)时命题正确，再推证n＝k＋2时命题正确 答案　B 解析　因n为正奇数，所以否定C、D项；当k＝1时，2k－1＝1,2k＋1＝3，故选B.‎ ‎3．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)第一步应验证________．‎ 答案　n＝3时是否成立 解析　n的最小值为3，所以第一步验证n＝3时是否成立．‎ ‎4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋‎1”‎，左边需增添的代数式是________．‎ 答案　(2k＋2)＋(2k＋3)‎ 解析　当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．‎ ‎1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．‎ ‎2．证明问题的初始值n0不一定是1，可根据题目要求和问题实际确定n0的值．‎ ‎3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子，一定要用到归纳假设．‎ 一、基础达标 ‎1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)，验证n＝1时，左边应取的项是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．1 B．1＋2 ‎ C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4‎ 答案　D 解析　等式左边的数是从1加到n＋3.‎ 当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.‎ ‎2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)‎ A．2 B．‎3 C．5 D．6‎ 答案　C 解析　当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26‎ ‎，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.‎ ‎3．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N＋)成立，其初始值至少应取(　　)‎ A．7 B．‎8 C．9 D．10‎ 答案　B 解析　左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.‎ ‎4．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是(　　)‎ A．增加了一项 B．增加了两项和 C．增加了B中的两项，但又减少了一项 D．增加了A中的一项，但又减少了一项 答案　C 解析　当n＝k时，不等式左边为＋＋…＋，当n＝k＋1时，不等式左边为＋＋…＋＋＋，故选C.‎ ‎5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开________．‎ 答案　(k＋3)3‎ 解析　假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．‎ ‎6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N＋)．依次计算出S1，‎ S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________．‎ 答案　Sn＝ 解析　S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝.‎ ‎7．已知正数数列{an}(n∈N＋)中，前n项和为Sn，且2Sn＝an＋，用数学归纳法证明：an＝－.‎ 证明　(1)当n＝1时．a1＝S1＝，‎ ‎∴a＝1(an>0)，∴a1＝1，又－＝1，‎ ‎∴n＝1时，结论成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k∈N＋)时，结论成立，即ak＝－.‎ 当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk ‎＝－ ‎＝－ ‎＝－ ‎∴a＋2ak＋1－1＝0，‎ 解得ak＋1＝－(an>0)，‎ ‎∴n＝k＋1时，结论成立．‎ 由(1)(2)可知，对n∈N＋都有an＝－.‎ 二、能力提升 ‎8．k(k≥3，k∈N＋)棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(　　)‎ A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1‎ C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2‎ 答案　A 解析　三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面[0＋2＝0＋(3－1)]；五棱柱有5个对角面[2＋3＝2＋(4－1)]；六棱柱有9个对角面[5＋4＝5＋(5－1)]；….猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面．‎ ‎9．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．‎ ‎②假设n＝k(n∈N＋)时，不等式成立，即≤k＋1，则n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法(　　)‎ A．过程全部正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 答案　D 解析　从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．‎ ‎10．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．‎ 答案　＋＋…＋＋＋>－ 解析　观察不等式中的分母变化知，＋＋…＋＋＋>－.‎ ‎11．求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)．‎ 证明　(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>＝右边，不等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即＋＋…＋>.‎ 则当n＝k＋1时，‎ ＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋‎ ＋＞＋‎ ＞＋‎ ＝，‎ 所以当n＝k＋1时不等式也成立．‎ 由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立．‎ ‎12．已知数列{an}中，a1＝－，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．‎ 解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2.‎ ‎∴Sn＝－(n≥2)．‎ 则有：S1＝a1＝－，‎ S2＝－＝－，‎ S3＝－＝－，‎ S4＝－＝－，‎ 由此猜想：Sn＝－(n∈N＋)．‎ 用数学归纳法证明：‎ ‎(1)当n＝1时，S1＝－＝a1，猜想成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k∈N＋)猜想成立，‎ 即Sk＝－成立，‎ 那么n＝k＋1时，Sk＋1＝－ ‎＝－ ‎＝－＝－.‎ 即n＝k＋1时猜想成立．‎ 由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想结论均成立．‎ 三、探究与创新 ‎13．已知递增等差数列{an}满足：a1＝1，且a1，a2，a4成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)若不等式··…·≤对任意n∈N＋，试猜想出实数m的最小值，并证明．‎ 解　(1)设数列{an}公差为d(d＞0)，‎ 由题意可知a1·a4＝a，‎ 即1(1＋3d)＝(1＋d)2，‎ 解得d＝1或d＝0(舍去)．‎ 所以，an＝1＋(n－1)·1＝n.‎ ‎(2)不等式等价于···…·≤，‎ 当n＝1时，m≥；当n＝2时，m≥；‎ 而＞，所以猜想，m的最小值为.‎ 下面证不等式···…·≤对任意n∈N＋恒成立．‎ 下面用数学归纳法证明：‎ 证明　(1)当n＝1时，≤＝，成立．‎ ‎(2)假设当n＝k时，不等式···…·≤成立，‎ 当n＝k＋1时，···…··≤·，‎ 只要证·≤，‎ 只要证≤，只要证≤2k＋2，‎ 只要证4k2＋8k＋3≤4k2＋8k＋4，只要证3≤4，显然成立．‎ 即n＝k＋1时，不等式成立．‎ 所以，对任意n∈N＋，不等式···…·≤恒成立．‎