高中数学北师大版新教材必修一同步课件：5-2-1　实际问题的函数刻画

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§2 　实际问题中的函数模型 2.1 　实际问题的函数刻画 必备知识 · 自主学习 实际问题的函数刻画 (1) 实际问题的函数刻画 : 在现实世界里 , 事物之间存在着广泛的联系 , 许多联系可以用函数刻画 . 用函数的观点刻画实际问题 , 是学习函数的重要内容 . 而函数模型是应用最广泛的数学模型之一 , 许多实际问题一旦认定是函数关系 , 就可以通过研究函数的性质来解决 . (2) 本质 : 利用函数模型解决实际问题 . (3) 应用 : 广泛应用于人们日常生活中遇到的许多问题 . 导思 1. 怎样利用函数刻画实际问题 ? 2. 利用函数刻画实际问题时该注意什么问题 ? 【 思考 】 利用函数刻画实际问题的一般步骤有哪些 ? 提示 : (1) 首先建立直角坐标系 , 画出散点图 ; (2) 根据散点图设想比较接近的可能的函数模型 ; (3) 通过研究函数的性质 , 解决实际问题 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”). (1) 函数 y=kx+8(k≠0) 在 R 上是增函数 . ( 　　 ) (2) 二次函数 f(x)=ax 2 +bx+c(a≠0) 的最大值是 .( 　　 ) (3) 分段函数中每一段的模型可以是一次函数或二次函数 .( 　　 ) 提示 : (1)×. 当 k<0 时 , 函数 y=kx+8 在 R 上是减函数 . (2)×. 当 a<0 时 , 二次函数 f(x)=ax 2 +bx+c 才有最大值 . (3)√. 分段函数的每一段 , 都可以是任意函数 . 2. 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药 . 对用一定量的水清洗一次的效果作如下假 定 : 用 1 单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的 , 用水越多洗掉的农药量也越 多 , 但总还有农药残留在蔬菜上 . 设用 x 单位量的水清洗一次以后 , 蔬菜上残留的 农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数 f(x). 试规定 f(0) 的值 , 并解释 f(0) 的实际意义 . 【 解析 】 f(0)=1. 表示没用清水清洗时蔬菜上的农药将保持原样 . 关键能力 · 合作学习 类型一　图象信息题 ( 数学抽象、逻辑推理 ) 【 典例 】 如图 1 是某公共汽车线路收支差额 y( 元 ) 与乘客量 x( 人 ) 的图象 . (1) 试说明图 1 上点 A 、点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义 ; (2) 由于目前本条线路亏损 , 公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议 , 如图 2,3 所示 . 你能根据图象 , 说明这两种建议的意义吗 ? (3) 此问题中直线斜率的实际意义是什么 ? (4) 图 1 、图 2 、图 3 中的票价分别是多少元 ? 【 思路导引 】 y 是收入与支出的差 ; 图 1:0 人时支出 20 元 , 无收入 ,10 人时收支平衡 , 票价 2 元 / 人 ; 同理 : 图 2,0 人时支出 10 元 ,5 人就收支平衡 , 票价 2 元 / 人 ; 图 3: 票价为 4 元 / 人 . 【 解析 】 (1) 点 A 表示无人乘车时收支差额为 -20 元 , 点 B 表示有 10 人乘车时收支差额为 0 元 , 线段 AB 上 ( 不包括 B 点 ) 的点表示亏损 , 线段 AB 延长线上的点表示盈利 . (2) 图 2 的建议是降低成本 , 票价不变 , 图 3 的建议是提高票价 . (3) 斜率表示票价 . (4) 图 1 、 2 中的票价是 2 元 , 图 3 中的票价是 4 元 . 【 解题策略 】 解决图象信息题的关键 (1) 这类问题应结合图象的特征 , 观察坐标轴所代表的含义 , 紧扣题目的语言描述 , 并把它转化为数学特征 ( 单调性、最值、解析式等 ) 即可解决 ; (2) 挖掘图象中的信息是关键 . 【 跟踪训练 】 甲、乙两人连续 6 年对某县农村甲鱼养殖业的规模 ( 产量 ) 进行调查 , 提供了两个方面的信息 , 如图 . 甲调查表明 : 每个甲鱼池平均产量从第 1 年 1 万只甲鱼上升到第 6 年 2 万只 . 乙调查表明 : 甲鱼池个数由第 1 年 30 个减少到第 6 年 10 个 . 请你根据提供的信息说明 : (1) 第 2 年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数 ; (2) 到第 6 年这个县的甲鱼养殖业的规模比第 1 年是扩大了还是缩小了 ? 说明理由 . 【 解析 】 (1) 由题图可知 , 直线 y 甲 =kx+b 经过 (1,1) 和 (6,2), 可求得 k=0.2,b=0.8, 所以 y 甲 =0.2(x+4). 同理可得 y 乙 =4 . 故第 2 年甲鱼池的个数为 26 个 , 全县 出产甲鱼的总数为 26×1.2=31.2( 万只 ); (2) 规模缩小 , 原因是 : 第一年出产甲鱼总数 30 万只 , 而第 6 年出产甲鱼总数为 20 万只 . 类型二　图表信息题 ( 逻辑推理、数学运算 ) 【 典例 】 我国 1999 年至 2002 年国内生产总值 ( 单位 : 万亿元 ) 如表所示 : 年份 1999 2000 2001 2002 x 0 1 2 3 生产总值 8.206 7 8.944 2 9.593 3 10.239 8 画出函数图形 , 猜想它们之间的函数关系 , 近似地写出一个函数解析式 . 【 思路导引 】 年份代号用 x 表示 , 对应的年生产总值用 y 表示 , 数对 (x,y) 用直角坐标系中的点表示后 , 得出一次函数关系 :y=kx+b. 【 解析 】 画出散点图 , 可以看出 , 画出的点近似地落在一条直线上 , 不妨设这条直线表示的函数为 y=kx+b. 把直线通过的两点 (0,8.206 7) 和 (3,10.239 8) 代入上式 , 解方程组 , 得 k=0.677 7,b=8.206 7. 因此 , 所求的函数解析式为 y=0.677 7x+8.206 7. 【 解题策略 】 解决图表信息题的步骤 (1) 根据题目提供的图表 , 画出函数的散点图 ; (2) 根据散点图的形状 , 判断函数模型 ; (3) 根据选定的函数模型 , 利用待定系数法求出函数解析式 . 【 跟踪训练 】 某农贸市场出售西红柿 , 当价格上涨时 , 供给量相应增加 , 而需求量相应减少 , 具体调查结果如表 : 表 1 　市场供给表 单价 ( 元 / 千克 ) 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 供给量 (1 000 千克 ) 50 60 70 75 80 90 表 2 　市场需求表 单价 ( 元 / 千克 ) 4 3.4 2.9 2.6 2.4 2 需求量 (1 000 千克 ) 50 60 65 70 75 80 根据上面提供的信息 , 市场供需平衡点 ( 即供给量和需求量相等时的单价 ) 应在下列哪个区间内 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(2.3,2.4) B.(2.4,2.6) C.(2.6,2.8) D.(2.8,2.9) 【 解析 】 选 C. 当供给量与需求量均为 70 时 , 供给单价和需求单价相差最小为 0.2, 其他的均大于 0.2, 所以价格在 (2.6,2.8) 时最有可能达到供需平衡 . 课堂检测 · 素养达标 1. 一根蜡烛长 20 cm, 点燃后每小时燃烧 5 cm, 燃烧时剩下的高度 h(cm) 与燃烧时间 t(h) 的函数关系用图象表示为图中的 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 根据题意知 , 蜡烛的长度随时间的增加而减少且蜡烛的长度不可能小于 0. 2. 端午节期间 , 某商场为吸引顾客 , 实行买 100 送 20 活动 , 即顾客购物每满 100 元 , 就可以获赠商场购物券 20 元 , 可以当作现金继续购物 . 如果你有 1 460 元现金 , 在活动期间到该商场购物 , 最多可以获赠购物券累计 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.280 元 B.320 元 C.340 元 D.360 元 【 解析 】 选 D. 由题意可知 ,1 460=1 400+20+40,1 400 元现金可送 280 元购物券 , 把 280 元购物券当作现金加上 20 元现金可送 60 元购物券 , 再把 60 元购物券当作现金加上 40 元现金可获送 20 元购物券 , 所以最多可以获赠购物券 280+60+20= 360( 元 ). 3. 在股票买卖过程中 , 经常用两种曲线来描述价格变化情况 : 一种是即时价格曲线 y=f(x), 另一种是平均价格曲线 y=g(x), 如 f(2)=3 表示股票开始买卖后 2 小时的即时价格为 3 元 ;g(2)=3 表示 2 小时内的平均价格为 3 元 . 下面给出了四个图象 , 实线表示 y=f(x), 虚线表示 y=g(x), 其中可能正确的是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 根据即时价格与平均价格的相互依赖关系 , 可知 , 当即时价格升高时 , 对应平均价格也升高 ; 反之 , 当即时价格降低时 , 对应平均价格也降低 , 故选项 C 中的图象可能正确 . 4.( 教材二次开发 : 练习改编 ) 用一根长为 12 m 的铁丝弯成一个矩形的铁框架 , 则 铁框架的最大面积是 　　　　 m 2 .  【 解析 】 设铁框架的一边长为 x m, 则其面积 S= =-x 2 +6x=-(x-3) 2 +9. 由 得 0

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