【数学】2020届一轮复习人教B版双曲线的标准方程与几何性质学案

【数学】2020届一轮复习人教B版双曲线的标准方程与几何性质学案

考查角度3　双曲线的标准方程与几何性质 ‎　　分类透析一　双曲线的定义与应用 例1 过双曲线x‎2‎‎16‎-y‎2‎‎9‎=1左焦点F1的直线与左支交于A,B两点,且弦AB长为6,则△ABF2(F2为右焦点)的周长是(　　).‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.16 B.19 C.22 D.28‎ 解析 由双曲线的定义知|AF2|-|AF1|=8,|BF2|-|BF1|=8,‎ 两式相加得|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=|AF2|+|BF2|-|AB|=16,‎ 从而有|AF2|+|BF2|=16+6=22,‎ 所以△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=22+6=28.‎ 答案 D 方法技巧 与焦点有关的三角形周长问题,常借助双曲线的定义解决,注意解决问题时的拼凑技巧.‎ ‎　　分类透析二　双曲线的标准方程求解与应用 例2 设A、B分别为双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4‎3‎,焦点到渐近线的距离为‎3‎,则双曲线的标准方程为　　　　. ‎ 解析 由题意知a=2‎3‎.‎ ‎∵双曲线的一条渐近线为bx-ay=0,∴‎|bc|‎b‎2‎‎+‎a‎2‎=b=‎3‎.‎ ‎∴双曲线的标准方程为x‎2‎‎12‎-y‎2‎‎3‎=1.‎ 答案 x‎2‎‎12‎-y‎2‎‎3‎=1‎ 方法技巧 关于双曲线的标准方程的确定问题,常用的方法有待定系数法和几何法等,对于待定系数法,需要建立关于a,b,c的等式,然后确定其焦点位置,从而写出其标准方程.‎ ‎　　分类透析三　双曲线的几何性质及应用 例3 已知双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则该双曲线离心率的取值范围为　　　　. ‎ 解析 因为|PF1|=4|PF2|,点P在双曲线的右支上,所以设|PF2|=m,则|PF1|=4m.‎ 由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=4m-m=2a,所以m=‎2‎‎3‎a.‎ 又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,即4m+m≥2c,所以m≥‎2‎‎5‎c,‎ 即‎2‎‎3‎a≥‎2‎‎5‎c,所以e=ca≤‎5‎‎3‎.‎ 又e>1,所以双曲线离心率的取值范围为‎1,‎‎5‎‎3‎.‎ 答案 ‎‎1,‎‎5‎‎3‎ 方法技巧 求解双曲线的离心率问题,是高频考点,建立关于a,b,c的等量关系式,是解决此类问题的关键.本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线基本量a,c的不等关系,使问题得以巧妙地转化、获解.‎ ‎1.(2018年全国Ⅰ卷,理11改编)已知双曲线x‎2‎‎9‎-y‎2‎b‎2‎=1(b>0)的左顶点为A,虚轴长为8,右焦点为F,且以F为圆心的圆与双曲线的渐近线相切,若过点A作该圆F的两条切线,切点分别为M,N,则|MN|=(　　).‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.8 B.4‎2‎ C.2‎3‎ D.4‎‎3‎ 解析 ∵2b=8,∴b=4,c=5,∴A(-3,0),F(5,0),‎ ‎∵点F到双曲线的渐近线的距离为b,‎ ‎∴☉F:(x-5)2+y2=16.‎ 设MN交x轴于点E,‎ 在Rt△AMF中,|FE|=‎|MF‎|‎‎2‎‎|AF|‎=‎4‎‎2‎‎3+5‎=2.‎ ‎∴|AE|=8-2=6.又|ME|2=|AE|·|EF|=12,‎ ‎∴|MN|=2|ME|=4‎3‎,选D.‎ 答案 D ‎2.(2018年全国Ⅱ卷,文6改编)若双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为　　　　. ‎ 解析 双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1的渐近线方程为y=±bax,由渐近线过点(3,-4),可得-4=-‎3ba,即b=‎4‎‎3‎a.又c=a‎2‎‎+‎b‎2‎=a‎2‎‎+‎‎16‎‎9‎a‎2‎=‎5‎‎3‎a,所以双曲线的离心率e=ca=‎5‎‎3‎.‎ 答案 ‎‎5‎‎3‎ ‎3.(2016年全国Ⅱ卷,理11改编)已知F1、F2是双曲线E:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直且交双曲线于点N,△MF2N为等边三角形,则E的离心率为(　　).‎ A.‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C.‎3‎ D.2‎ 解析 由题意知,|MN|=2|MF1|=‎2‎b‎2‎a.因为△MF2N为等边三角形,所以‎3‎‎2‎×‎2‎b‎2‎a=2c,解得‎3‎e2-2e-‎3‎=0,即e=‎3‎或e=-‎3‎‎3‎(舍去),故选C.‎ 答案 C ‎4.(2018年江苏卷,8改编)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右顶点A(a,0)到一条渐近线的距离为‎3‎‎2‎b,则双曲线离心率为　　　　. ‎ 解析 由题意知,双曲线的一条渐近线方程为y=bax,即bx-ay=0,则点A到该直线的距离d=abb‎2‎‎+(-a‎)‎‎2‎=‎3‎‎2‎b,即abc=‎3‎‎2‎b,所以e=ca=‎2‎‎3‎‎3‎.‎ 答案 ‎‎2‎‎3‎‎3‎ ‎1.(河南省郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测)中心在原点,焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(-2,4),则它的离心率为(　　).‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎5‎‎2‎ B.‎3‎ C.2 D.‎‎5‎ 解析 由题意可知,双曲线的渐近线方程为y=±abx,则渐近线y=-abx过点(-2,4),即a=2b.又c=a‎2‎‎+‎b‎2‎=‎5‎b,所以e=ca=‎5‎b‎2b=‎5‎‎2‎.故选A.‎ 答案 A ‎2.(辽宁省凌源市2018届高三毕业班一模考试试题)已知双曲线C的中点在原点O,焦点F(-2‎5‎,0),点A为左支上一点,满足|OA|=|OF|且|AF|=4,则双曲线C的方程为(　　).‎ A.x‎2‎‎16‎-y‎2‎‎4‎=1 B.x‎2‎‎36‎-y‎2‎‎16‎=1‎ C.x‎2‎‎4‎-y‎2‎‎16‎=1 D.x‎2‎‎16‎-y‎2‎‎36‎=1‎ 解析 设双曲线的方程为x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0),A(x0,y0),因为左焦点坐标为F(-2‎5‎,0),所以OF=c=2‎5‎.‎ 因为|OA|=|OF|,|AF|=4,‎ 所以x‎0‎‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎‎=2‎5‎,‎‎(x‎0‎+2‎5‎‎)‎‎2‎+‎y‎0‎‎2‎‎=4,‎ 解得x‎0‎‎=-‎6‎‎5‎‎5‎,‎y‎0‎‎=‎‎8‎‎5‎‎5‎或x‎0‎‎=-‎6‎‎5‎‎5‎,‎y‎0‎‎=-‎8‎‎5‎‎5‎.‎结合题意可得‎36‎‎5‎a‎2‎‎-‎64‎‎5‎b‎2‎=1,‎a‎2‎‎+b‎2‎=20,‎解得a‎2‎‎=4,‎b‎2‎‎=16,‎所以双曲线C的方程为x‎2‎‎4‎-y‎2‎‎16‎=1.故选C.‎ 答案 C ‎3.(东北三省三校2018届高三第二次模拟考试试题)双曲线C:x2-y‎2‎‎3‎=1的左顶点为A,右焦点为F,过点F作一条直线与双曲线C的右支交于点P,Q,连接PA,QA,分别与直线l:x=‎1‎‎2‎交于点M,N,则∠MFN=(　　).‎ A.π‎6‎ B.π‎3‎ C.π‎2‎ D.‎‎2π‎3‎ 解析 由双曲线的方程可知双曲线的焦点坐标为F(2,0),‎ 设过焦点的直线方程为x=my+2,点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),‎ 联立直线方程与双曲线方程消去x可得(3m2-1)y2+12my+9=0,由题意可知3m2-1≠0,‎ 则y1+y2=‎-12m‎3m‎2‎-1‎,y1y2=‎9‎‎3m‎2‎-1‎.‎ 由A(-1,0),P(x1,y1)可得直线AP的方程为y=y‎1‎x‎1‎‎+1‎(x+1).‎ 令x=‎1‎‎2‎,可得y=‎3‎y‎1‎‎2(x‎1‎+1)‎,即M‎1‎‎2‎‎,‎‎3‎y‎1‎‎2(x‎1‎+1)‎,同理可得N‎1‎‎2‎‎,‎‎3‎y‎2‎‎2(x‎2‎+1)‎,‎ 结合点F的坐标F(2,0)可得MF=‎3‎‎2‎‎,-‎‎3‎y‎1‎‎2(x‎1‎+1)‎,NF=‎3‎‎2‎‎,-‎‎3‎y‎2‎‎2(x‎2‎+1)‎,‎ 则MF·NF=‎9‎‎4‎+‎9‎‎4‎·y‎1‎y‎2‎‎(x‎1‎+1)(x‎2‎+1)‎,‎ 其中(x1+1)(x2+1)‎ ‎=(my1+3)(my2+3)‎ ‎=m2y1y2+3m(y1+y2)+9‎ ‎=‎9‎m‎2‎‎3m‎2‎-1‎-‎36‎m‎2‎‎3m‎2‎-1‎+9‎ ‎=‎-9‎‎3m‎2‎-1‎,‎ 据此可得MF·NF=‎9‎‎4‎+‎9‎‎4‎·‎9‎‎3m‎2‎-1‎·‎3m‎2‎-1‎‎-9‎=0,‎ 故MF⊥NF,MF⊥NF,故∠MFN=π‎2‎,‎ 故选C.‎ 答案 C ‎4.(四川省绵阳市南山中学2018届高三二诊热身考试)如图,F1、F2分别是双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1(-‎7‎,0)的直线l与双曲线分别交于点A,B,若△ABF2为等边三角形,则双曲线的方程为(　　).‎ A.‎5‎x‎2‎‎7‎-‎5‎y‎2‎‎28‎=1 B.x‎2‎‎6‎-y2=1‎ C.x2-y‎2‎‎6‎=1 D.‎5‎x‎2‎‎28‎-‎5‎y‎2‎‎7‎=1‎ 解析 由双曲线的定义,可得|AF1|-|AF2|=2a.‎ ‎∵△ABF2是等边三角形,即|AF2|=|AB|,∴|BF1|=2a.‎ 又|BF2|-|BF1|=2a,∴|BF2|=|BF1|+2a=4a,‎ ‎∵在△BF1F2中,|BF1|=2a,|BF2|=4a,∠F1BF2=120°,‎ ‎∴|F1F2‎|‎‎ ‎‎2‎=|BF1‎|‎‎ ‎‎2‎+|BF2‎|‎‎ ‎‎2‎-2|BF1|·|BF2|·cos 120°,即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×‎-‎‎1‎‎2‎=28a2,解得c2=7a2.又c=‎7‎,∴a2=1,b2=6,∴双曲线的方程为x2-y‎2‎‎6‎=1,故选C.‎ 答案 C ‎5.(河南省2018届高三4月普通高中毕业班高考适应性考试)设F1,F2是双曲线C:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角的大小为30°,则双曲线的渐近线方程是(　　).‎ A.x±‎2‎y=0 B.‎2‎x±y=0‎ C.x±2y=0 D.2x±y=0‎ 解析 假设点P在双曲线的右支上,由题意得‎|PF‎1‎|+|PF‎2‎|=6a,‎‎|PF‎1‎|-|PF‎2‎|=2a,‎∴|PF1|=4a,|PF2|=2a.‎ ‎∵|F1F2|=2c>2a,‎ ‎∴最短边是PF2,最小角为∠PF1F2.‎ 由余弦定理得4a2=16a2+4c2-2×4a×2c×cos 30°,‎ ‎∴c2-2‎3‎ac+3a2=0.‎ ‎∴e2-2‎3‎e+3=0,∴e=‎3‎,∴ca=‎3‎,‎ ‎∴c2=3a2,∴a2+b2=3a2,∴b2=2a2.‎ ‎∴ba=‎2‎,故双曲线的渐近线方程为‎2‎x±y=0,故选B.‎ 答案 B ‎6.(安徽省黄山市2018届高三一模检测)若双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)与直线y=3x无交点,则离心率e的取值范围是(　　).‎ A.(1,‎10‎) B.(1,‎10‎]‎ C.(1,‎5‎) D.(1,‎5‎]‎ 解析 双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的渐近线为y=±bax.‎ 若双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)与直线y=3x无交点,则ba≤3.‎ 又离心率e=ca=‎1+‎ba‎2‎≤‎10‎,‎ 所以e∈(1,‎10‎].‎ 故选B.‎ 答案 B ‎7.(广西防城港市2018届高中毕业班1月模拟考试)已知双曲线x2-y‎2‎b‎2‎=1的左、右焦点分别为F1、F2,过点F2的直线交双曲线右支于A、B两点,若△ABF1是等腰三角形,∠A=120°,则△ABF1的周长为(　　).‎ A.2(‎2‎-1) B.‎4‎‎3‎‎3‎+4‎ C.‎8‎‎3‎‎3‎+4 D.‎8‎‎3‎‎3‎+8‎ 解析 由题意知,双曲线的焦点在x轴上,则a=1,2a=2.‎ 设|AF2|=m,由双曲线的定义可知|AF1|=|AF2|+2a=m+2.‎ 由题意可得|AF1|=|AB|=|AF2|+|BF2|=m+|BF2|,‎ 据此可得|BF2|=2.又|BF1|-|BF2|=2,∴|BF1|=4.‎ ‎∴在△ABF1中,由正弦定理得‎|BF‎1‎|‎sin120°‎=‎|AF‎1‎|‎sin30°‎,‎ 则|BF1|=‎3‎|AF1|,即4=‎3‎(2+m),解得m=‎4‎‎3‎‎3‎-2,‎ ‎∴△ABF1的周长为4+2(2+m)=4+‎8‎‎3‎‎3‎.‎ 答案 C ‎8.(广西梧州市2018届高三3月适应性测试(二模))已知双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右顶点为M,离心率为‎3‎,过点M与点(0,-2)的直线与双曲线的一条渐近线平行,则双曲线的方程为(　　).‎ A.x‎2‎‎4‎-y‎2‎‎2‎=1 B.x‎2‎‎4‎-y‎2‎‎3‎=1‎ C.x‎2‎‎2‎-y‎2‎‎4‎=1 D.x‎2‎‎2‎-y2=1‎ 解析 由e=ca=‎3‎,a2+b2=c2,得b=‎2‎a,所以双曲线的渐近线方程为y=±‎2‎x.由‎0-(-2)‎a-0‎=‎2‎,得a=‎2‎,所以双曲线的方程为x‎2‎‎2‎-y‎2‎‎4‎=1,故选C.‎ 答案 C ‎9.(河南省新乡市2018届高三第二次模拟考试试题)设双曲线Ω:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左顶点、右焦点分别为点A、F,以线段AF为底边作一个等腰△AFB,且AF边上的高h=|AF|.若△AFB的垂心恰好在Ω的一条渐近线上,且Ω的离心率为e,则下列判断正确的是(　　).‎ A.存在唯一的e,且e∈‎‎3‎‎2‎‎,2‎ B.存在两个不同的e,且一个在区间‎1,‎‎3‎‎2‎内,另一个在区间‎3‎‎2‎‎,2‎内 C.存在唯一的e,且e∈‎‎1,‎‎3‎‎2‎ D.存在两个不同的e,且一个在区间‎1,‎‎3‎‎2‎内,另一个在区间‎2,‎‎5‎‎2‎内 解析 由题意可设A(-a,0),F(c,0),Bc-a‎2‎‎,c+a,可得△AFB的垂心Hc-a‎2‎‎,‎c+a‎4‎.∵△AFB的垂心恰好在Ω的一条渐近线上,∴c+ac-a=‎2ba,∴4(e-1)3-e-1=0,令f(x)=4(x-1)3-x-1(x>1).‎ ‎∵f(1)<0,f‎3‎‎2‎<0,f(2)>0,当x>‎3‎‎2‎时,f'(x)=12(x-1)2-1>0,∴存在唯一的x,且x∈‎3‎‎2‎‎,2‎,当10)的左、右焦点,过F1的直线l 与双曲线的左支交于点A,与右支交于点B,若|AF1|=2a,∠F1AF2=‎2π‎3‎,则S‎△F‎1‎BF‎2‎=(　　).‎ A.6 B.6‎2‎ C.6‎3‎ D.12‎ 解析 由双曲线的定义,得|AF2|-|AF1|=2a.‎ 又|AF1|=2a,所以|AF2|=4a.‎ 在△AF1F2中,|AF1|=2a,|AF2|=4a,|F1F2|=2c,∠F1AF2=‎2π‎3‎,‎ 由余弦定理得4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×‎1‎‎2‎,‎ 即c2=7a2,即a2+6=7a2,解得a=1.‎ 因为|BF1|-|BF2|=2,且|BF1|-|BA|=2,‎ 所以|BA|=|BF2|.‎ 又∠F2AB=π‎3‎,所以△BAF2为等边三角形.‎ 因为|AF2|=4,|AF1|=2,∠F1AF2=‎2π‎3‎,所以S‎△BF‎1‎F‎2‎=S‎△ABF‎2‎+S‎△AF‎1‎F‎2‎=‎1‎‎2‎×42×‎3‎‎2‎+‎1‎‎2‎×2×4×‎3‎‎2‎=6‎3‎.‎ 答案 C ‎11.(上海市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控(二模))双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎‎9‎=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a=　　　　. ‎ 解析 双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎‎9‎=1(a>0)的渐近线为y=±‎3‎ax,因为y=±‎3‎ax与3x±2y=0重合,所以a=2.‎ 答案 2‎ ‎12.(山西省2018届高三第一次模拟考试)过双曲线E:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右焦点,且斜率为2的直线与E的右支有两个不同的交点,则双曲线离心率的取值范围是　　　　. ‎ 解析 由双曲线及其渐近线可知,当且仅当00,b>0)的左、右焦点,点P在双曲线的右支上,若|PF1|=t|PF2|(t∈(1,3]),则双曲线经过第一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是　　　　. ‎ 解析 由双曲线的定义及题意可得‎|PF‎1‎|-|PF‎2‎|=2a,‎‎|PF‎1‎|=t|PF‎2‎|,‎解得‎|PF‎1‎|=‎2att-1‎,‎‎|PF‎2‎|=‎2at-1‎.‎ 又|PF1|+|PF2|≥2c,故|PF1|+|PF2|=‎2att-1‎+‎2at-1‎≥2c,‎ 整理得e=ca≤t+1‎t-1‎=1+‎2‎t-1‎.‎ ‎∵10,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A,B两点,AF2,BF2分别交y轴于P,Q两点,若△PQF2的周长为16,则ba+1‎的最大值为　　　　. ‎ 解析 由题意知,△ABF2的周长为32,‎ ‎∵|AF2|+|BF2|+|AB|=32,‎ 又|AF2|+|BF2|-|AB|=4a,|AB|=‎2‎b‎2‎a,‎ ‎∴‎4‎b‎2‎a=32-4a,∴b=‎8a-‎a‎2‎,‎ ‎∴ba+1‎=‎8a-‎a‎2‎a+1‎.令t=a+1(t>1),‎ 则ba+1‎=‎8(t-1)-(t-1‎‎)‎‎2‎t‎2‎=‎10t-9-‎t‎2‎t‎2‎=‎-‎9‎t‎2‎+‎10‎t-1‎.‎ 令m=‎1‎t(0

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