2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第一章 2 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
[基础题组练]
1．下列命题是真命题的是( )
A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝ D．若x＜y，则x2＜y2
解析：选A.由＝得x＝y，A正确；由x2＝1得x＝±1，B错误；
由x＝y，，不一定有意义，C错误；由x＜y不一定能得到x2＜y2，如x＝－2，y＝－1，D错误，故选A.
2．命题“若x＞1，则x＞0”的逆否命题是( )
A．若x≤0，则x≤1 B．若x≤0，则x＞1
C．若x＞0，则x≤1 D．若x＜0，则x＜1
解析：选A.依题意，命题“若x＞1，则x＞0”的逆否命题是“若x≤0，则x≤1”，故选A.
3．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选D.特值法：当a＝10，b＝－1时，a＋b＞0，ab＜0，故a＋b＞0 ab＞0；当a＝－2，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0，所以ab＞0 a＋b＞0.故“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．
4．(2020·金华市东阳二中高三调研)若“0
b”，条件q：“2a>2b－1”，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由条件p：“a>b”，再根据函数y＝2x是增函数，可得2a>2b，所以2a>2b－1，故条件q：“2a>2b－1”成立，故充分性成立．
但由条件q：“2a>2b－1”成立，不能推出条件p：“a>b”成立，例如由20>20－1成立，不能推出0>0，故必要性不成立．故p是q的充分不必要条件，故选A.
6．已知a，b∈R，则使|a|＋|b|>4成立的一个充分不必要条件是( )
A．|a|＋|b|≥4
B．|a|≥4
C．|a|≥2且|b|≥2
D．b<－4
解析：选D.由b<－4可得|a|＋|b|>4，但由|a|＋|b|>4得不到b<－4，如a＝1，b＝5.
7．已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不一定成立；当l∥m时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件，故选B.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sin A＞sin B”是“a＞b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.设△ABC外接圆的半径为R，若sin A＞sin B，则2Rsin A＞2Rsin B，即a＞b；若a＞b，则＞，即sin A＞sin B，所以在△ABC中，“sin A＞sin B”是“a＞b”的充要条件，故选C.
9．设向量a＝(1，x－1)，b＝(x＋1，3)，则“x＝2”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.依题意，注意到a∥b的充要条件是1×3＝(x－1)(x＋1)，即x＝±2.因此，由x＝2可得a∥b，“x＝2”是“a∥b”的充分条件；由a∥b不能得到x＝2，“x＝2”不是“a∥b”的必要条件，故“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件，选A.
10．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：x＝1，q：x2＝x
B．p：|a|>|b|，q：a2>b2
C．p：x>a2＋b2，q：x>2ab
D．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d
解析：选D.A中，x＝1⇒x2＝x，x2＝x⇒x＝0或x＝1 x＝1，故p是q的充分不必要条件；B中，因为|a|>|b|，根据不等式的性质可得a2>b2，反之也成立，故p是q的充要条件；C中，因为a2＋b2≥2ab，由x>a2＋b2，得x>2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要条件；D中，取a＝－1，b＝1，c＝0，d＝－3，满足a＋c>b＋d，但是ad，反之，由同向不等式可加性得a>b，c>d⇒a＋c>b＋d，故p是q的必要不充分条件．综上所述，故选D.
11．对于原命题：“已知a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为________．
解析：原命题为真命题，故逆否命题为真；
逆命题：若a＞b，则ac2＞bc2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题个数为2.
答案：2
12．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
解析：已知函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
答案：m＝－2
13已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．
解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，
因为β：|x－1|<1，所以00不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得
解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.
答案：[－3，0]
16．已知p：≤2，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，且﹁p是﹁q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围为________．
解析：法一：由≤2，得－2≤x≤10，
所以﹁p对应的集合为{x|x>10或x<－2}，
设A＝{x|x>10或x<－2}．
1－m≤x≤1＋m(m>0)，
所以﹁q对应的集合为{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}，
设B＝{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}．
因为﹁p是﹁q的必要而不充分条件，所以BA，
所以且不能同时取得等号．
解得m≥9，所以实数m的取值范围为[9，＋∞)．
法二：因为﹁p是﹁q的必要而不充分条件，
所以q是p的必要而不充分条件．
即p是q的充分而不必要条件，
因为q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
又由≤2，得－2≤x≤10，
所以p对应的集合为{x|－2≤x≤10}，
设N＝{x|－2≤x≤10}．
由p是q的充分而不必要条件知NM，
所以且不能同时取等号，解得m≥9.
所以实数m的取值范围为[9，＋∞)．
答案：[9，＋∞)
17．给出下列命题：
①已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件；
②“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件；
③“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的充要条件；
④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b＜0”．其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)
解析：①因为“a＝3”可以推出“A⊆B”，但“A⊆B”不能推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故①正确；②“x＜0”不能推出“ln(x＋1)＜0”，但“ln(x＋1)＜0”可以推出“x＜0”，所以“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件，故②正确；③f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos 2ax，若其最小正周期为π，则＝π⇒a＝±1，因此“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a与b的夹角是钝角”可以推出“a·b＜0”，但由“a·b＜0”，得“平面向量a与b的夹角是钝角或平角”，所以“a·b＜0”是“平面向量a与b的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②.
答案：①②
[综合题组练]
1．设θ∈R，则“<”是“sin θ<”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为＜⇔－＜θ－＜⇔0＜θ＜，
sin θ＜⇔θ∈，k∈Z，
，k∈Z，
所以“＜”是“sin θ＜”的充分而不必要条件．
2．已知集合A＝，B＝{x|－13，即m>2.
答案：m＞2
3．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
解：(1)否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)
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