2017-2018学年吉林省梅河口市第五中学高二4月考数学（理）试题 Word版

2017-2018学年吉林省梅河口市第五中学高二4月考数学（理）试题 Word版

梅河口市第五中学 2018 年下学期高二 4 月 数学试题（理科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟.‎ 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）‎ 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数（是虚数单位），则 的虚部为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.某工厂生产三种不同型号的产品，产品数量之比为，现用分层抽样的方法 抽取容量为的样本，样本中型号产品有件，则样本容量为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应假设（ ） A.三个内角都大于 B. 三个内角都不大于 C. 三个内角至多有一个大于 D. 三个内角至多有两个大于 ‎4.某程序框图如右图所示，该程序执行后输出的等于（ ） A.7 B.15 C.31 D.63‎ ‎5.已知 ‎若 ，则 （ ）‎ ‎,‎ A. B. C. D.‎ ‎6．12 名同学合影，站成前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，‎ 若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）‎ A．168 B．560 C．840 D．1680‎ ‎7．在区间内随机取两个实数 ， ，则满足的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知为等差数列， 为正项等比数列，公比，若， ，则（ ） A． B． C． D．或 ‎9.假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用（万元），有如下的统计资料：‎ 由资料可知 对呈线性相关关系，且线性回归方程为 ，请估计使用年限为 20‎ 年时，维修费用约为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.边长为的等边中， 为边 的中点，若 为线段的中点，则 的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知数列 的前 项和为 ，且满足，则 =‎ ‎（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数当 时，关于 的方程 的所有解 的和为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）‎ 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.‎ ‎13.已知数集,，则建立从集合 到集合 的不同函数的 个数为 .‎ ‎14.若二项式 的展开式的常数项为 240，则正实数 .‎ ‎15.下列说法中：‎ ‎①终边落在 轴上的角的集合是；②函数图象的一 个对称中心是 ；③函数 在其定义域内是增函数；④为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象向右平移个单位长度. 其中正确说法的序号是 .‎ ‎16.已知定义在上的函数满足：，，则关于 的不等式 的解集为 .‎ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分 10 分） 已知直线过定点，且与圆相交于 两点.‎ ‎（Ⅰ）若直线 的倾斜角为，求线段 中点 的坐标；‎ ‎（Ⅱ）当的面积最大时，求直线的方程.‎ ‎18.（本小题满分 12 分）‎ 在一次数学测试中，某班 40 名学生的成绩频率分布直方图如右图所示（学生成绩都在 之间）.‎ ‎（Ⅰ）求频率分布直方图中的值，并估算该班数学成绩的平均值；‎ ‎（Ⅱ）若规定成绩达到 90 分及以上为优秀，从该班 40 名学生中任选 2 人，求至少有一人成 绩为优秀的概率.‎ ‎19.（本小题满分 12 分）‎ 已知数列的前 项和为，对任意的，点在二次函数的图象 上．‎ ‎（Ⅰ）求通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，且 ，求数列 的前 项和 .‎ ‎20.（本小题满分 12 分） 已知函数的周期为 .‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数 的值域；‎ ‎（Ⅱ）已知 的内角 对应的边分别为 ，若，且 ， 求的面积.‎ ‎21.（本小题满分 12 分）‎ 已知椭圆的一个顶点 ，离心率为，过左焦点 的直线 交 椭圆于两点，右焦点为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若成等差数列，求直线 的方程.‎ ‎22.（本小题满分 12 分）‎ 已知函数其中 是自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）若在上是单调增函数，求 的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，求整数 的所有值，使方程在上有解.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A B A D D C A B C B D B 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)‎ ‎13．64 14．2 15．②④ 16． (-¥,0)‎ 三、解答题（第 17 小题 10 分，第 18、19、20、21、22 小题各 12 分，共 70 分）‎ ‎17.解：（Ⅰ）过点 P(1,0) 且倾斜角为 p 的直线 l 的方程为 y = x -1 .与圆相交，由几何 ‎4‎ 意 义 知 ， CM ^ l ‎， 所 以 CM 所 在 直 线 方 程 为 ‎y = - x + 2 + ‎2 . 解 方 程 组 ì y = x - 1,‎ í ‎æ 3 + 得点 M 的坐标为 ç ‎2 1 + 2 ÷ ö ‎,‎ ÷ ‎‎ ‎（5 分）‎ î y = - x + 2 + 2 ,‎ ‎è 2 2 ø ‎（Ⅱ）当直线 l 有斜离时，设方程为 y = k ( x - 1) .‎ 当 DABC 的面积最大时， CA ^ CB ,所以圆心 C (2,‎ ‎‎ ‎2 )到直线 y = k ( x - 1) 的距离为 1，‎ ‎2k - 所以 ‎2 - k ‎‎ = 1 ，解得 k = ‎‎ ‎2 ， （8 分）‎ k 2 + 1 4‎ 当直线 l 无斜离时，即直线方程为 x = 1 ，经检验也符合题意，‎ 所以直线 l 方程为 y = ‎2 ( x - 1) 和 x = 1 . （10 分）‎ ‎4‎ ‎18.解：（Ⅰ）由题意得， (2a + 2a + 3a + 6a + 7a) ´10 = 1，解得 a = 0.005 .（3 分）‎ 平均成绩约为 55 ´ 2‎ ‎20‎ ‎+ 65 ´ 3‎ ‎20‎ ‎+ 75 ´ 7‎ ‎20‎ ‎+ 85 ´ 6‎ ‎20‎ ‎+ 95 ´ 2‎ ‎20‎ ‎‎ = 76.5‎ ‎‎ ‎（6 分）‎ ‎（Ⅱ）90 分及以上人数为 40 ´ 2‎ ‎20‎ ‎‎ = 4 人. （8 分）‎ C 2 5‎ C 设“至少有一人成绩为优秀”为事件 A ,则 P( A) = 1 - 36 = ‎40 26‎ ‎‎ ‎（12 分）‎ ‎19.解：（Ⅰ）因为点 (n, Sn ) 在二次函数 f ( x) = x ‎‎ ‎2‎ 的图象上，所以 Sn = n ‎‎ ‎，（1 分）‎ 当 n ³ 2 时，有 S ‎‎ n -1‎ ‎= (n - 1)2 ,所以 a ‎= Sn ‎- Sn -1‎ ‎= n2 - (n - 1)2 = 2n -1 ，（3 分）‎ n 又 a1 = S1 = 1,而 a1 = 2 ´1 -1 = 1 ， （4 分）‎ 所以 n ³ 1时， an = 2n - 1成立，数列{an }的通项公式为： an = 2n - 1. （5 分）‎ ‎（Ⅱ）由（1） b ‎‎ = 2n -1 ，T ‎‎ = 1 + ‎‎ ‎3 + 5‎ ‎‎ + L + ‎‎ ‎2n - 1‎ ‎①‎ ‎1 1‎ 所以 Tn = 2‎ ‎2 2‎ ‎n 2n + 3 + 5‎ ‎23 24‎ ‎n + L + ‎2 22‎ ‎2n - 3 + ‎2n ‎23 2n ‎2n - 1‎ ‎②‎ ‎2n +1‎ ‎1 1 æ 1‎ ‎‎ ‎1 1‎ ‎‎ ‎ 1 ö ‎‎ ‎2n - 1 1‎ ‎， T ‎‎ = 1 + ‎‎ - 1 ‎ ‎‎ - 2n - 1‎ ‎①－②，‎ ‎Tn = + 2ç 2 + 3 + 4 + L + n ÷ - n +1 n ‎2 2 2 2 2‎ ‎(1 n -1 )‎ ‎n +1‎ ‎2 è ‎2n + 3‎ ‎ø 2 2 2 2 2‎ 所以Tn ‎= 3 - ‎2n ‎. （12 分）‎ ‎20.解：（Ⅰ） f ( x) = cos 2 wx + ‎3 sin wx coswx = 1 (1 + cos 2wx) + ‎2‎ ‎3 sin 2wx ‎2‎ = sinæ 2wx + ‎pö 1‎ ÷ + . （3 分）‎ è 6 ø 2‎ æ 因为T = p,w> 0 ，所以 2p = p，w= 1 .所以 f ( x) = sinç 2 x + ‎p÷ + 1‎ ‎2w p p p 7p 1‎ ‎è 6 ø 2 ，‎ p 又 0 £ x £ 2 ，所以 6 £ 2 x + 6 £ ‎6 ，所以 - 2 £ sin(2 x + 6 ) £ 1 ，‎ æ pö 1 3‎ ‎‎ é pù ‎‎ é0, 3 ù 所以 0 £ sinç 2 x + 6 ÷ + 2 £ 2 ，当 x Î ê0, 2 ú 时，函数 f ( x) 的值域为 ê ‎2 ú .（6 分）‎ è ø ë û ë û æ A ö ‎æ pö 1‎ ‎æ pö 1‎ ‎（Ⅱ）因为 f ç ‎÷ = 1，所以 sinç A + ‎÷ + = 1，即 sinç A + ÷ = ‎，由 A Î (0,p) 知 è 2 ø ‎è 6 ø 2‎ ‎è 6 ø 2‎ p < A + p < 7p ，所以 A + p = 5p ，所以 A = 2p . （9 分）‎ ‎6 6 6 6 6 3‎ 由余弦定理 a 2 = b2 + c 2 - 2bc cos A ，即16 = b2 + c 2 + bc ，所以16 = (b + c)2 - bc ，‎ 因为 b + c = 5 ，所以 bc = 9 ，所以 S ‎= 1 bc sin A = 1 ´ 9 ´ sin 2p = 9 3‎ DABC 2‎ ‎2 3 4‎ ‎.（12 分）‎ ‎21.解：（Ⅰ）因为 A(0,1) 为椭圆的一个顶点，所以 b = 1，又离心率为 ‎2 ，即 c = 2 ，‎ ‎2 a 2‎ ìb = 1‎ ï í 所以解方程组 ï c = 2‎ ‎‎ 得 a = ‎‎ ‎2 , b = 1, c = 1 ，所以椭圆方程为 x ‎‎ + y 2 = 1 .（4 分）‎ ï a 2 2‎ î ïa 2 = b2 + c 2‎ ‎（Ⅱ）因为 CF2 , CD , DF2‎ ‎‎ 成等差数列，所以 CF2 + DF2‎ ‎‎ = 2 CD ①, （5 分）‎ 又因为 CF2 + DF2 + CD = 4a = 4‎ ‎‎ ‎2 ②，由①②解得， CD = ‎4 2‎ ‎. （7 分）‎ ‎3‎ ì y = k ( x + 1)‎ í x 当斜率存在时，设直线 l 的方程为 y = k ( x + 1) ，联立方程组 ï 2‎ ï ‎‎ + y 2 = 1‎ ‎得 x 的方程 î 2‎ ‎(2k 2 + 1) x 2 + 4k 2 x + 2k 2 - 2 = 0 ，因为直线过椭圆的左焦点，显然 D > 0 ，‎ 设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ，由韦达定理 x1 + x2 = - ‎4k 2‎ ‎2‎ ‎‎ ‎，x1 x2 = ‎2k 2 - 2‎ ‎2‎ ‎‎ 代入弦长公式，‎ ‎2k + 1‎ ‎2k + 1‎ CD = ‎(1 + k 2 )[( x ‎+ x )2 - 4x x ] = ‎éæ ‎(1 + k 2 )êç - ‎‎ ø ‎4k 2‎ ‎2‎ ÷ ö - 4 ´ 2k ‎- 2 ù 4 2‎ ú = ‎1 2 1 2‎ ‎ç 2k 2‎ è ë ‎+ 1 ÷ ‎2k 2‎ ‎+ 1 úû 3‎ 整理得 7k 4 - 2k 2 - 5 = 0 ，解得 k 2 = 1, k 2 = - 5 （舍）， k = ±1 ，所以直线 l 的方程为 ‎7‎ y = x + 1或 y = - x - 1 .当斜率不存在时，经检验不成立. （12 分）‎ ‎22 解：（Ⅰ） f ¢( x) = [ax 2 + (2a + 1) x + 3]e x ，因为 f ( x) 在 [- 2,2]上是单调增函数，所 以 x Î [- 2,2]时，f ¢( x) ³ 0 恒成立。令 g ( x) = ax 2 + (2a + 1) x + 3 ，对称轴 x = -1 - 1 ，‎ ‎2a 因为 a > ‎1 ，所以 - 2 < -1 - 1‎ ‎2 2a ‎< 0 ，要使 x Î [- 2,2]时，f ¢( x) ³ 0 恒成立，即 g ( x) ³ 0‎ 时 恒 成 立 ， 所 以 D = (2a + 1)2 - 12a £ 0 恒 成 立 ， 解 得 1 - ‎3 £ a £ 1 + ‎2‎ ‎3‎ ‎， 所 以 ‎2‎ ‎1 < a £ 1 + ‎2‎ ‎3‎ ‎. （4 分）‎ ‎2‎ ‎（Ⅱ）因为 a = 1 ，设 h( x) = ( x 2 + x + 2)e x - x - 4 ，则 h¢( x) = ( x 2 + 3x + 3)e x - 1 ，令 j( x) = ( x 2 + 3x + 3)e x - 1 ，则j¢( x) = ( x 2 + 5x + 6)e x ，令j¢( x) = 0 ，解得 x = -2,-3‎ 当j¢( x) > 0 时， x < -3 或 x > -2 ，j( x) 是增函数，‎ 当j¢( x) < 0 时， - 3 < x < -2 ，j( x) 是减函数.‎ 所以 x = -3 是极大值点， x = -2 是极小值点，j( x) 的极大值为j(-3) = 3‎ e2‎ ‎1‎ ‎‎ - 1 < 0 ，极 小值为j(-2) = 2 - 1 < 0 . （8 分）‎ e ‎1‎ 因为j(-1) = ‎e - 1 < 0 ，j(0) = 2 > 0 .‎ 所以存在 x0 Î (-1,0) ，当 x Î (-¥, x0 ) 时，j( x) < 0 ， x Î ( x0 ,+¥) 时，j( x) > 0 ，‎ 所 以 h( x)‎ ‎在 (-¥, x0 )‎ ‎上 单 调 递 减 ， 在 ‎( x0 ,+¥)‎ ‎上 单 调 递 增 . 又 h(-4) = 14 > 0, h(-3) = 8‎ e4 e3‎ ‎‎ - 1 < 0‎ ‎‎ ‎，h(0) = -2 < 0, h(1) = 4e - 5 > 0‎ ‎‎ ‎，由零点存在定理，‎ 可知 h( x) = 0 的根 x1 Î (-4,-3) ， x2 Î (0,1) ，即 t = -4,0‎ ‎‎ ‎（12 分）‎