2019-2020学年湖南省张家界市高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年湖南省张家界市高二上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年湖南省张家界市高二上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知复数，则的虚部为（ ）．‎ A． B．3 C．1 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 的虚部为1．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．‎ ‎2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙下成平局的概率为（ ）‎ A．50% B．30% C．10% D．60%‎ ‎【答案】A ‎【解析】甲不输的概率等于甲获胜或者平局的概率相加，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 甲不输的概率等于甲获胜或者平局的概率相加 甲、乙下成平局的概率为： ‎ 故答案选A ‎【点睛】‎ 本题考查了互斥事件的概率，意在考查学生对于概率的理解.‎ ‎3．“”是“”成立的（ ）．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】根据不等式的性质求出等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由“”得，‎ 由得，‎ 由“”得不到“”故充分性不成立，‎ 由“”可以得到“”故必要性成立.‎ 则“”是“”成立的必要不充分条件，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．属于基础题．‎ ‎4．已知直线的一个方向向量，且直线过和两点，则（ ）‎ A．0 B．1 C． D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据，即可得出.‎ ‎【详解】‎ 解：和 ‎， ‎ 因为直线的一个方向向量为 故设．‎ ‎，，．‎ 解得，．‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的方向向量、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎5．福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03，…，32,33这33个二位号码中选取，小明利用如图所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字，则第四个被选中的红色球号码为（ ）‎ A．12 B．33 C．06 D．16‎ ‎【答案】C ‎【解析】第1行第9列和第10列的数字为63，所以选择的数为17，12 ，33， 06，32，22，10．第四个数为06，选C.‎ ‎6．函数的极大值是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出函数的导数，令，解得，2，利用导数研究其单调性、极值即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：，．‎ ‎．‎ 令，解得，．‎ 令，解得，或．‎ 令，解得．‎ 函数在，上单调递增，在上单调递减．‎ 时，函数取得极大值，．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究其单调性极值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎7．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】基本事件总数，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率．‎ ‎【详解】‎ 解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，‎ 基本事件总数，‎ 其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4个，‎ 其和等于的概率．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎8．已知抛物线的焦点为，与抛物线在第一象限的交点为，且是（ ）．‎ A．6 B．4 C．2 D．1‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据抛物线的定义与简单几何性质，求出抛物线的准线方程以及与抛物线的交点横坐标，再求的值．‎ ‎【详解】‎ 解：抛物线的准线方程是，焦点为，‎ 由，解得，‎ 所以抛物线与抛物线在第一象限的交点，‎ 则，‎ 解得．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的定义与简单几何性质应用问题，属于基础题．‎ ‎9．十七世纪，法国数学家费马提出猜想；“当整数时，关于、、的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年英国数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则下面命题正确的是（ ）‎ ‎①对任意正整数，关于、、的方程都没有正整数解；‎ ‎②当整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解；‎ ‎③当正整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解；‎ ‎④若关于、、的方程至少存在一组正整数解，则正整数；‎ A．①② B．①③ C．②④ D．③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意分析①②③④与原命题的关系,依据命题之间的关系及用特殊值法来判断真假即可 ‎【详解】‎ 由题,将费马大定理写为“若,则”的形式为“若当整数时,则关于、、的方程没有正整数解”,为真命题；‎ 则其命题的否定为：当整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解,应为假命题,故②错误；‎ 其逆否命题为：若关于、、的方程至少存在一组正整数解，则正整数,应为真命题,故④正确；‎ 其否命题为：当正整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解,但时,若、、分别为3、4、5,显然成立,命题为真,故③正确；‎ 由③正确可得到,①显然错误；‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查命题的四种关系,考查命题真假的判定,考查全称命题,考查特殊值法解决问题 ‎10．函数的图象大致是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数为偶函数，排除选项.当时，研究函数的导数零点的情况，得到函数极值点的个数，再结合，确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 易知函数是偶函数，故排除A.‎ 当时,,则可得： ,令，作出 的图象如图：可知两个函数图象在[0，π]上有一个交点，就是函数有一个极值点，且，所结合选项可知选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数图像的识别，考查利用函数导数判断函数的图像，属于中档题.‎ ‎11．已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形 的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据双曲线的定义和矩形的面积公式，以及离心率的计算公式，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得，‎ 联立解得，‎ 又为直径，所以四边形为矩形，‎ 所以，即，即，‎ 由，得，即，‎ 即，所以，所以双曲线的渐近线的方程为，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．‎ ‎12．若关于的方程有三个不等的实数解,且,其中,为自然对数的底数,则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据所给的方程的特征,令进行换元,方程转化为 ‎,画出函数 的图象,利用函数的图象和所求的代数式特征,求出所求代数式的值.‎ ‎【详解】‎ 令,所以由可得,‎ 设,,当时, ,所以函数单调递减,‎ 当时, ,所以函数单调递增,而,显然当时, ，当时, 因此函数的图象如下图所示：‎ 要想关于的方程有三个不等的实数解,且,‎ 结合函数图象可知,只需关于的方程有两个不相等的实数根,且,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了函数与方程思想,考查了数形结合思想,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．设，则________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎，则．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．‎ ‎14．某班甲、乙两位同学在高二第一学期的5次物理考试成绩的茎叶图如图所示，则这两位同学中成绩比较稳定的同学的方差是________．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】由茎叶图中的数据判断甲组数据方差较小，再计算它的平均数和方差．‎ ‎【详解】‎ 解：由茎叶图中的数据知，甲组数据分布在之间，乙组数据分布在之间，‎ 所以甲组数据较为稳定，计算，‎ 方差是．‎ 故答案为：10．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用茎叶图中的数据计算平均数和方差的问题，属于基础题．‎ ‎15．在区间上任取一个实数，使得方程表示双曲线的概率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据双曲线的定义先求出的范围，结合几何概型的概率公式进行计算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：若方程表示双曲线，‎ 则满足，‎ 得，‎ 则对应的概率为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何概型的概率的计算，结合双曲线的定义求出的等价条件是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎16．已知是圆上一动点，为圆所在平面内一定点（为圆的圆心），线段的垂直平分线与直线交于点，则点的轨迹可能是________．（写出所有正确结论的序号）①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线；⑤一个点；⑥直线．‎ ‎【答案】①②③⑤‎ ‎【解析】对与圆的位置关系进行讨论，利用圆锥曲线的定义得出结论；‎ ‎【详解】‎ 解：是线段的中垂线上的点，，‎ ‎（1）若在圆外部，则，，‎ 点轨迹是以，为焦点的双曲线；‎ ‎（2）若在圆上，则的中垂线恒过圆心，‎ 即的轨迹为点；‎ ‎（3）若在圆内部，则，，‎ 点轨迹是以，为焦点的椭圆；‎ ‎（4）若为圆的圆心，即与重合时，为半径的中点，‎ 点轨迹是以为圆心，以为半径的圆．‎ 综上，点轨迹可能是①②③⑤四种情况．‎ 故答案为：①②③⑤‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆、椭圆、双曲线的定义，轨迹方程的求法，体现了分类讨论的数学思想，属于难题．‎ 三、解答题 ‎17．为推进农村经济结构调整，某乡村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目．现统计了4月份100名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）若将购买金额不低于80元的游客称为“优质客户”，现用分层抽样的方法从样本的“优质客户”中抽取5人，求这5人中购买金额不低于100元的人数；‎ ‎（2）从（1）中的5人中随机抽取2人作为幸运客户免费参加乡村游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率．‎ ‎【答案】（1）2（2）所有基本事件如下：，，，，，，，，，，‎ ‎【解析】（1）直接求出其对应的比列即可得到其结果；‎ ‎（2）列出所有的基本事件共有10种，其中满足题意的有7种，即可求得其对应的概率．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图易得，消费金额在与的人数比为，‎ ‎∴这人中消费金额不低于元的人数为．‎ ‎（2）由（1）得，抽取的5人中购买金额低于100元的有3人，记为，，，‎ 购买金额不低于100元的有2人，记为，，‎ 所有基本事件如下：‎ ‎，，，，，‎ ‎，，，，，共有10种，‎ 其中满足题意的有7种，所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了频率分布直方图，古典概型，函数等基础知识，考查了数据分析能力，运算求解能力，考查了化归与转化思想等，属于基础题.‎ ‎18．已知命题复数在复平面上对应的点位于第二象限，命题椭圆的离心率,‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题为真命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用条件列出不等式组，求出的范围；‎ ‎（2）通过是真命题，求出的范围，利用复合命题的真假推出是范围即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）复数在复平面上对应的点位于第二象限 ‎，解得．‎ ‎（2）当为真时，即椭圆的离心率,‎ ‎，，，则，‎ 由题意，，解得，即取值范围为，‎ ‎∴或，‎ 由为真命题，故为真命题且为真命题，‎ ‎∴或，故的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假的判断与应用，涉及复数以及椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．‎ ‎19．在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计时，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差．某高二班主任为了了解学生的偏科情况，对学生数学偏差（单位：分）与历史偏差（单位：分）之间的关系进行学科偏差分析，决定从全班52位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下：‎ 学生序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 数学偏差 ‎20‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎3‎ ‎2‎ 历史偏差 ‎（1）已知与之间具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）若这次考试该班数学平均分为118分，历史平均分为，试预测数学成绩126分的同学的历史成绩．‎ 附：参考公式与参考数据 ‎，，，．‎ ‎【答案】（1）（2）93分 ‎【解析】（1）由题意，计算平均数和回归系数，写出线性回归方程；‎ ‎（2）由题意，设出该同学的物理成绩，写出物理偏差和数学偏差，利用回归方程求出这位同学的物理成绩．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎∴线性回归方程为．‎ ‎（2）由题意，设该同学的历史成绩为，则历史偏差为，‎ 又该同学的数学偏差为，‎ 由（1）得，解得，‎ ‎∴预测这位同学的历史成绩为93分．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程的求法和应用问题，属于基础题．‎ ‎20．如图，在四棱锥，为矩形，，，平面平面．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若为中点，直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）推导出平面，，从而平面，由此能证明平面平面．‎ ‎（2）由平面，为在平面内的射影，从而即为直线与平面所成的角，取中点，连结，则，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：∵平面平面，平面平面，‎ 矩形中，，‎ ‎∴平面．‎ ‎∵平面，‎ ‎∴．‎ 又∵，，平面，平面．‎ ‎∴平面．‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎（2）解：由（1）知平面，为在平面内的射影，‎ ‎∴即为直线与平面所成的角，‎ 由题意，，，‎ 取中点，连结，则，‎ 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 则，，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，即，‎ 令，则，，∴．‎ 同理易得，平面的一个法向量为，‎ 由，‎ ‎∴二面角的正弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的求法，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎21．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上顶点，的面积为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于不同两点，，已知，，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用三角形的面积，结合离心率，求出，，即可得到椭圆方程．‎ ‎（2）由，消去整理得：，设，，，，利用韦达定理，又设中点的坐标为，，求出的坐标，通过，说明垂直推出，然后求解的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：由题意，，‎ 又，，解得，，‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）由，消去整理得，‎ 设，，则，‎ 由，‎ 又设中点的坐标为，‎ ‎∴，，‎ 即．‎ ‎∵，∴，即，‎ ‎∴，∴，解得．‎ ‎∴的取值范围．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式，考查转化思想，属于中档题．‎ ‎22．已知函数，．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）设图象在点处的切线与的图象相切，求的值；‎ ‎（3）若函数存在两个极值点，，且，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为（2）或（3）‎ ‎【解析】（1）先对求导，令导数大于0，求出在定义域内的单调递增区间，导数小于0，在定义域内求出函数的单调递减区间；‎ ‎（2）由题意求出在处的切线方程，与函数联立得关于的二次方程，用判别式等于求出的值；‎ ‎（3）求的导数，令，由题意得方程有两个不等的实数根，求出两根之和及两根之积，且求出函数的单调区间，求出的表达式用一个自变量表示，再构造函数，求导求出的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）的定义域为，，‎ 由，有，由，有，‎ ‎∴的单调递减区间为，单调递增区间为．‎ ‎（2）由（1）及题意，易得图象在点处的切线斜率为，‎ 则该切线方程为，‎ 联立，消去整理得：，‎ 由解得或．‎ ‎（3）∵，，，‎ 设，‎ 由（1）知函数的两个极值点，满足，‎ 则，，‎ 不妨设，则在上是减函数，，‎ ‎∴‎ 令，则，‎ 又，即，解得，‎ ‎∴，∴．‎ 设，则，‎ ‎∴在上为增函数，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴的最大值为．‎ ‎【点睛】‎ 考查用导数来研究函数的单调区间及最值问题，属于难题．‎