【数学】2018届一轮复习人教A版第7章第4节直线、平面平行的判定及其性质学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第7章第4节直线、平面平行的判定及其性质学案

第四节　直线、平面平行的判定及其性质 ‎1．直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅‎ a⊂α，b⊄α，a∥b a∥α a∥α，a⊂β，α∩β＝b 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅‎ a∥b ‎2.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 α∩β＝∅‎ a⊂β，b⊂β，‎ a∩b＝P，‎ a∥α，b∥α α∥β，‎ α∩γ＝a，‎ β∩γ＝b α∥β，a⊂β，‎ 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α ‎3.与垂直相关的平行的判定 ‎(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.‎ ‎(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(　　)‎ ‎(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(　　)‎ ‎(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．(　　)‎ ‎(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)下列命题中，正确的是(　　)‎ A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α D　[根据线面平行的判定与性质定理知，选D.]‎ ‎3．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是(　　)‎ A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥l2‎ C．m∥β且n∥β D．m∥l1且n∥l2‎ D　[m∥l1且n∥l2⇒α∥β，但α∥βD/⇒m∥l1且n∥l2，∴“m∥l1且n∥l‎2”‎是“α∥β”的一个充分不必要条件．]‎ ‎4．在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．‎ 平行　[如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，‎ ‎∴EF∥BD1，‎ 又EF⊂平面ACE，‎ BD1⊄平面ACE，‎ ‎∴BD1∥平面ACE.]‎ ‎5．(2017·杭州二中质检)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若m⊂α，n∥α，则m∥n；‎ ‎②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；‎ ‎③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；‎ ‎④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.‎ 其中是真命题的是________(填上序号)．‎ ‎②　[①，m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③，m∥β或m⊂β，故③错误；④，α∥β或α与β相交，故④错误．]‎ 与线、面平行相关命题真假的判断 ‎　已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(　　)‎ A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 D　[A项，α，β可能相交，故错误；‎ B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；‎ C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；‎ D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．]‎ ‎[规律方法]　1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．‎ ‎2．(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．‎ ‎(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．‎ ‎[变式训练1]　(2017·宁波中学模拟)若m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是(　　)‎ A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β C．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥n D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β D　[在A中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故A错误．在B中，若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故B错误．在C中，若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误．在D中，若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则由线面平行的判定定理得n∥β，故D正确．]‎ 直线与平面平行的判定与性质 ‎　(2017·南通模拟)如图741所示，斜三棱柱ABCA1B‎1C1中，点D，D1分别为AC，A‎1C1上的点．‎ 图741‎ ‎(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?‎ ‎(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值. 【导学号：51062232】‎ ‎[解]　(1)如图所示，取D1为线段A‎1C1的中点，此时＝1.2分 连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.‎ 由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，‎ ‎∴点O为A1B的中点．‎ 在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，‎ ‎∴OD1∥BC1.4分 又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，‎ ‎∴BC1∥平面AB1D1.‎ ‎∴当＝1时，BC1∥平面AB1D1.6分 ‎(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得 BC1∥D1O，8分 ‎∴＝，‎ 又由题(1)可知＝，＝1，‎ ‎∴＝1，即＝1.15分 ‎[规律方法]　1.判断或证明线面平行的常用方法有：‎ ‎(1)利用反证法(线面平行的定义)；‎ ‎(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；‎ ‎(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；‎ ‎(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．‎ ‎2．利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．‎ ‎[变式训练2]　如图742，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．‎ 图742‎ ‎(1)证明：PB∥平面AEC；‎ ‎(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥PABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．‎ ‎[解]　(1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO.‎ 因为四边形ABCD为矩形，‎ 所以O为BD的中点，‎ 又E为PD的中点，‎ 所以EO∥PB.4分 因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，‎ 所以PB∥平面AEC.6分 ‎(2)由V＝PA·AB·AD＝AB，‎ 又V＝，可得AB＝.‎ 作AH⊥PB交PB于点H.10分 由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，‎ 故AH⊥平面PBC.‎ 在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝，所以AH＝＝.‎ 所以A到平面PBC的距离为.15分 平面与平面平行的判定与性质 ‎　如图743所示，在三棱柱ABCA1B‎1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A‎1C1的中点，求证：‎ 图743‎ ‎(1)B，C，H，G四点共面；‎ ‎(2)平面EFA1∥平面BCHG.‎ ‎[证明]　(1)∵G，H分别是A1B1，A‎1C1的中点，‎ ‎∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1.4分 又∵B1C1∥BC，‎ ‎∴GH∥BC，‎ ‎∴B，C，H，G四点共面.6分 ‎(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，‎ ‎∴EF∥BC.‎ ‎∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，‎ ‎∴EF∥平面BCHG.8分 ‎∵A1G綊EB，‎ ‎∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB.‎ ‎∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，‎ ‎∴A1E∥平面BCHG.12分 ‎∵A1E∩EF＝E，‎ ‎∴平面EFA1∥平面BCHG.15分 ‎[迁移探究]　在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.‎ ‎[证明]　如图所示，连接HD，A1B，‎ ‎∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，‎ ‎∴HD∥A1B.8分 又HD⊄平面A1B1BA，‎ A1B⊂平面A1B1BA，‎ ‎∴HD∥平面A1B1BA.15分 ‎[规律方法]　1.判定面面平行的主要方法：‎ ‎(1)面面平行的判定定理．‎ ‎(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．‎ ‎2．面面平行的性质定理的作用：‎ ‎(1)判定线面平行；(2)判断线线平行，线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想．解题时要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向．‎ 易错警示：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行．‎ ‎[变式训练3]　如图744所示，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：‎ 图744‎ ‎(1)直线EG∥平面BDD1B1；‎ ‎(2)平面EFG∥平面BDD1B1.‎ ‎【证明】　(1)如图所示，连接SB，‎ ‎∵E，G分别是BC，SC的中点，‎ ‎∴EG∥SB.3分 又∵SB⊂平面BDD1B1，‎ EG⊄平面BDD1B1，‎ ‎∴直线EG∥平面BDD1B1.7分 ‎(2)连接SD，‎ ‎∵F，G分别是DC，SC的中点，‎ ‎∴FG∥SD.10分 又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，‎ ‎∴FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，‎ FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，‎ ‎∴平面EFG∥平面BDD1B1.15分 ‎[思想与方法]‎ ‎1．线线、线面、面面平行的相互转化 其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．‎ ‎2．直线与平面平行的主要判定方法 ‎(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质．‎ ‎3．平面与平面平行的主要判定方法 ‎(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．‎ ‎2．(1)在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件．‎ ‎(2)如要一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．‎ ‎3．在应用性质定理时，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”，另外要注意符号语言的规范应用．‎ 课时分层训练(三十九)　‎ 直线、平面平行的判定及其性质 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β ‎，且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．]‎ ‎2.正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B‎1C1的中点，则正确的命题是(　　)‎ 图745‎ A．AE⊥CG B．AE与CG是异面直线 C．四边形AEC‎1F是正方形 D．AE∥平面BC‎1F D　[由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG不成立；由于EG∥A‎1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC‎1F中，AE＝EC1＝C‎1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC‎1F是正方形错误；由于AE∥C‎1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC‎1F.]‎ ‎3．(2017·湖州模拟)如图746所示的三棱柱ABCA1B‎1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　)‎ 图746‎ A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 B　[在三棱柱ABCA1B‎1C1中，AB∥A1B1.‎ ‎∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，‎ ‎∴A1B1∥平面ABC.‎ ‎∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，‎ ‎∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.]‎ ‎4．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是(　　)‎ ‎ 【导学号：51062233】‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α B　[若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错．]‎ ‎5．给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：‎ ‎①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；‎ ‎②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；‎ ‎③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.‎ 其中真命题的个数为(　　)‎ A．3　　　 B．2‎ C．1 D．0‎ C　[①中，当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l，m；②中，l与m也可能异面；③中，⇒l∥n，同理，l∥m，则m∥n，正确．]‎ 二、填空题 ‎6．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：‎ ‎①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.‎ 其中能推出α∥β的条件是________(填上所有正确的序号)．‎ ‎②④　[在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交．‎ 由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足．‎ 在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，从而α∥β，④满足．]‎ ‎7．如图747所示，正方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB‎1C，则线段EF的长度等于________．‎ 图747‎ 　[在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB＝2，‎ ‎∴AC＝2.‎ 又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，‎ 平面ADC∩平面AB1C＝AC，‎ ‎∴EF∥AC，∴F为DC中点，‎ ‎∴EF＝AC＝.]‎ ‎8．(2017·衡水模拟)如图748，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．‎ 图748‎ 平面ABC，平面ABD　[连接AM并延长交CD于E，则E为CD的中点．‎ 由于N为△BCD的重心，‎ 所以B，N，E三点共线，‎ 且＝＝，所以MN∥AB.‎ 于是MN∥平面ABD且MN∥平面ABC.]‎ 三、解答题 ‎9．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图749所示．‎ ‎(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；‎ ‎(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论. ‎ ‎【导学号：51062234】‎ 图749‎ ‎[解]　(1)点F，G，H的位置如图所示.6分 ‎(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：‎ 因为ABCDEFGH为正方体，‎ 所以BC∥FG，BC＝FG.9分 又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，‎ 于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.12分 又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，‎ 所以BE∥平面ACH.‎ 同理BG∥平面ACH.‎ 又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.15分 ‎10．(2017·绍兴质检)如图7410，在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B‎1C∩BC1＝E.‎ 图7410‎ 求证：(1)DE∥平面AA1C1C；‎ ‎(2)BC1⊥AB1.‎ ‎[证明]　(1)由题意知，E为B‎1C的中点，‎ 又D为AB1的中点，因此DE∥AC.2分 又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，‎ 所以DE∥平面AA1C1C.6分 ‎(2)因为棱柱ABCA1B‎1C1是直三棱柱，‎ 所以CC1⊥平面ABC.‎ 因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.8分 因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，‎ 所以AC⊥平面BCC1B1.‎ 又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.12分 因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，‎ 因此BC1⊥B1C.‎ 因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，‎ 所以BC1⊥平面B1AC.‎ 又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.15分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是 ‎(　　)‎ 图7411‎ A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN C．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45°‎ C　[因为截面PQMN是正方形，‎ 所以MN∥PQ，则MN∥平面ABC，‎ 由线面平行的性质知MN∥AC，则AC∥截面PQMN，‎ 同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，‎ 则AC⊥BD，故A、B正确．‎ 又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确．]‎ ‎2．如图7412所示，棱柱ABCA1B‎1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A‎1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________. 【导学号：51062235】‎ 图7412‎ ‎1　[设BC1∩B‎1C＝O，连接OD.‎ ‎∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，‎ ‎∴A1B∥OD.‎ ‎∵四边形BCC1B1是菱形，‎ ‎∴O为BC1的中点，‎ ‎∴D为A1C1的中点，‎ 则A1D∶DC1＝1.]‎ ‎3．如图7413所示，在三棱锥PABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC，设D，E分别为PA，AC的中点．‎ 图7413‎ ‎(1)求证：DE∥平面PBC.‎ ‎(2)在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F 的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)证明：∵点E是AC中点，点D是PA的中点，∴DE∥PC.2分 又∵DE⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC.6分 ‎(2)当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行.8分 证明如下：‎ 取AB的中点F，连接EF，DF.‎ 由(1)可知DE∥平面PBC.‎ ‎∵点E是AC中点，点F是AB的中点，‎ ‎∴EF∥BC.12分 又∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，‎ ‎∴EF∥平面PBC.‎ 又∵DE∩EF＝E，‎ ‎∴平面DEF∥平面PBC，‎ ‎∴平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．‎ 故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行.15分