2018-2019学年安徽省巢湖市柘皋中学高二上学期期中考试数学试题 解析版

2018-2019学年安徽省巢湖市柘皋中学高二上学期期中考试数学试题 解析版

巢湖市柘皋中学2018-2019-1期中考试试卷 高二数学（文，理）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 过点且倾斜角为的直线方程为　　‎ A. ． B. ． C. D. ．‎ 2. 如图所示，在长方体中，，，点E是棱AB的中点，则点E到平面的距离为　　 ‎ ‎  ‎ A. B. C. D. ‎ 3. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为　　 ‎ A. B. C. D. ‎ 4. 半径为R的半圆卷成底面最大的圆锥，所得圆锥的高为　　‎ A. B. C. D. ‎ 5. 两条平行直线与间的距离为　　‎ A. B. C. D. ‎ 6. 下列命题中正确的是        ‎ A. 空间任三点可以确定一个平面 B. 垂直于同一条直线的两条直线必互相平行 ‎ C. 空间不平行的两条直线必相交 D. 既不相交也不平行的两条直线是异面直线 1. 在正方体中，直线与平面所成角的余弦值为　　‎ A. B. C. D. ‎ 2. 圆心在直线上，并且经过点和的圆的半径为　　‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ 3. 已知圆经过原点，则实数m等于　　‎ A. B. C. 1 D. ‎ 4. 已知点P在圆C：上运动，则点P到直线l：的距离的最小值是   ‎ A. 4 B. C. D. ‎ 5. 设l、m是两条不同的直线，a是一个平面，则下列命题正确的是  ‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 若直线：与直线l2 ：互相垂直，则a的值为(    )‎ A. B. C. 0或 D. 1或 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 7. 已知直线l与直线关于直线对称，则直线l的方程为______．‎ 8. 长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______．‎ 9. 如果实数x，y满足等式，那么的最小值为______．‎ 10. 如图所示，是棱长为1的正方体，M、N分别是下底面的棱、的中点，P是上底面的棱AD上的一点，，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则______．‎ ‎              ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）‎ 1. 已知关于x，y的方程C：． 若方程C表示圆，求实数m的取值范围； 若圆C与直线l：相交于M，N两点，且，求m的值． ‎ 2. 如图，在直三棱柱中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱上，且，求证： 直线平面； 平面平面F. ‎ 1. 已知圆心在x轴上且通过点的圆C与直线相切．Ⅰ求圆C的方程；Ⅱ已知直线l经过点，并且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程． ‎ 2. 如图，在直三棱柱侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱中，，．Ⅰ求证：平面；Ⅱ求直线和平面所成的角的正切值． ‎ ‎ ‎ 1. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，M是PB的中点． ‎ Ⅰ证明：面面PCD；‎ Ⅱ求AC与PB所成角的余弦值；‎ Ⅲ求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值。 ‎ 2. 已知的顶点分别为，，， 求BC边上的中线的所在的直线方程； 求BC边上的高线的所在的直线方程； 求的面积． ‎ 巢湖市柘皋中学期中数学考试试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 过点且倾斜角为的直线方程为　　‎ A. ． B. ． C. D. ．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：直线的倾斜角为，其斜率为， 由直线过点， 直线方程为， 即，， 故选：C． 由直线的倾斜角求出直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案． 本题考查待定系数法求直线方程，考查了直线方程的点斜式，是基础题． ‎ 2. 如图所示，在长方体中，，，点E是棱AB的中点，则点E到平面的距离为　　 ‎ ‎  ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】【分析】 以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E到平面 的距离本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． 【解答】 解：如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则0，，1，，0，，2，． 1，，2，，0，， 设平面的法向量为b，， 则，取，得1，， 点E到平面的距离为： ． 故选：C． ‎ 1. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为　　 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：由三视图可知：该几何体上面是一个圆锥，下面是一个圆柱． 它的表面积 ． 故选：C． 由三视图可知：该几何体上面是一个圆锥，下面是一个圆柱． 本题考查了圆柱与圆锥的三视图及其表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ‎ 1. 半径为R的半圆卷成底面最大的圆锥，所得圆锥的高为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：半径为R的半圆弧长为， 圆锥的底面圆的周长为， 圆锥的底面半径为：， 所以圆锥的高：． 故选：B． 半径为R的半圆弧长为，圆锥的底面圆的周长为，圆锥的底面半径为：，由此能求出圆锥的高． 本题考查圆锥的高的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆锥的性质的合理运用． ‎ 2. 两条平行直线与间的距离为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】【分析】‎ 本题主要考查两平行线间的距离公式的应用，要注意先把两直线的方程中x，y的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式，属于基础题先把两直线的方程中x，y的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式，求得结果． 【解答】‎ 解：直线，即直线， 根据直线与平行，可得， 故两条平行直线与间的距离为， 故选C．‎ ‎ ‎ 1. 下列命题中正确的是        ‎ A. 空间任三点可以确定一个平面 B. 垂直于同一条直线的两条直线必互相平行 C. 空间不平行的两条直线必相交 D. 既不相交也不平行的两条直线是异面直线 ‎【答案】D ‎【解析】解：对于A，空间不共线的三点可以确定一个平面，所以A错； 对于B，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、异面都有可能，所以B错； 对于C，空间不平行的两条直线，平行、相交、异面都有可能，故C错； 对于 既不相交也不平行的两条直线是异面直线，是异面直线的定义，故D对． 故选D． 根据空间不共线的三点可以确定一个平面，得到A错；根据在空间中，垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、异面都有可能，得到B错；空间不平行的两条直线，平行、相交、异面都有可能，得到C错；根据既不相交也不平行的两条直线是异面直线，是异面直线的定义，得到D对． 本题主要考查了平面的基本性质及推论、确定平面的条件及空间想象的能力，属于基础题． ‎ 2. 在正方体中，直线与平面所成角的余弦值为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：如图， 连接BD交AC于O，则， 底面ABCD，则， ，平面． 而平面，平面平面， 又平面平面， 为直线与平面所成角， 即为直线与平面 所成角． 设正方体棱长为a，则，， ． 在中，． 故选：A． 由题意画出图形，找出直线与平面所成角，求解三角形得答案． 本题考查直线与平面所成角，考查空间想象能力和思维能力，是中档题． ‎ 1. 圆心在直线上，并且经过点和的圆的半径为　　‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：设圆心坐标为， 则， 解得，， 该圆的半径． 故选：C． 设圆心坐标为，利用两点间距离公式和圆心在直线上，列出方程组，能求出圆心坐标，从而能求出圆的方程． 本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质、待定系数法、两点间距离公式的合理运用． ‎ 2. 已知圆经过原点，则实数m等于　　‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：圆经过原点，， 则实数， 故选：B ‎． 把原点的坐标代入圆的方程，即可求得实数m的值． 本题主要考查圆的一般方程，属于基础题． ‎ 1. 已知点P在圆C：上运动，则点P到直线l：的距离的最小值是   ‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】【分析】‎ 本题主要考查与圆有关的最值，以及点到直线的距离公式．‎ ‎【解答】‎ 解：因为圆C：，圆心为，半径为，‎ 所以圆心到直线的距离为，‎ 所以点P到直线的距离的最小值为；‎ 故选D．‎ ‎ ‎ 2. 设l、m是两条不同的直线，a是一个平面，则下列命题正确的是  ‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】 本题主要考查线面平行和线面垂直的位置关系的判断和应用，要求熟练掌握相应的定义和判断定理． 分别根据线面平行和线面垂直的性质和定义进行判断即可． 【解答】 解：A、根据线面平行的性质可知，若，，则或者l与m是异面直线，所以A错误； B、平行于同一个平面的两条直线，可能平行，可能相交，可能是异面直线，所以B错误； C、根据线面垂直和直线平行的性质可知，若，，则，所以C正确； D、根据线面垂直的判定定理可知，要使直线，则必须有l垂直平面内的两条相交直线，所以D错误． 故选C． ‎ 1. 若直线：与直线l2 ：互相垂直，则a的值为(    )‎ A. B. C. 0或 D. 1或 ‎【答案】D ‎【解析】【分析】 本题利用两条直线垂直的充要条件列出方程，求出a的值，是高考中常见的题型，属于中档题．‎ ‎【解答】 解：， ， 即． 解得或． 故选D．‎ ‎ ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 2. 已知直线l与直线关于直线对称，则直线l的方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：设直线l的方程上的点，则P关于直线对称的点为， 在直线上， ‎ ‎，即， 故答案为． 利用待定系数法，设直线l的方程上的点，则P关于直线对称的点为，在直线上，带入可得直线l的方程 本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，是基础题． ‎ 1. 长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上， 球半径， 该球的表面积为． 故答案为：． 先求出球半径R，由此能求出该球的表面积． 本题考查球的表面积的求法，考查长方体、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． ‎ 2. 如果实数x，y满足等式，那么的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：圆心到原点的距离为， 圆上的点到原点的最小距离为， 的最小值为． 故答案为：． 求出圆上的点到原点的最小距离即可得出答案． 本题考查直线与圆的位置关系、距离公式，属于中档题． ‎ 1. 如图所示，是棱长为1的正方体，M、N分别是下底面的棱、的中点，P是上底面的棱AD上的一点，，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则______．‎ ‎              ‎ ‎【答案】​‎ ‎【解析】【分析】 本题考查平面与平面平行的性质，是立体几何中面面平行的基本题型，本题要求灵活运用定理进行证明由题设PQ在直角三角形PDQ中，故需要求出PD，QD的长度，用勾股定理在直角三角形PDQ中求PQ的长度  【解答】 解：平面平面，平面 平面ABCD，又面平面ABCD， ． 、N分别是、的中点， ，又，是棱长为a的正方体， ，从而， ． 故答案为． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）‎ 2. 已知关于x，y的方程C：． 若方程C表示圆，求实数m的取值范围； 若圆C与直线l：相交于M，N两点，且，求m的值．‎ ‎【答案】解：若方程C：表示圆， 则， 解得． 圆心到直线的距离， 圆的半径， ，解得．‎ ‎【解析】本题考查了圆的一般方程，属于基础题． 根据圆的一般方程的条件列不等式求出m的范围； 利用垂径定理得出圆的半径，从而得出m的值． ‎ 1. 如图，在直三棱柱中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱上，且，求证： 直线平面； 平面平面F.‎ ‎【答案】证明：，E分别为AB，BC的中点， 为的中位线， ， 为棱柱， ， ​， 平面，且平面， ‎ ‎； 在的直棱柱中， 平面， ， 又，且，、平面， 平面， ， 平面， 又平面， ， 又，，且DE、平面， 平面， 又平面， 平面平面F.‎ ‎【解析】本题考查空间直线与平面的位置关系，要熟练掌握线面平行、线面垂直的判定、性质定理． ‎ 1. 已知圆心在x轴上且通过点的圆C与直线相切．Ⅰ求圆C的方程；Ⅱ已知直线l经过点，并且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程．‎ ‎【答案】解：Ⅰ设圆心的坐标为， 则，解得， ，半径， 圆C的方程为．Ⅱ当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时直线l被圆C截得的弦长为，满足条件； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 由题意得，解得， 直线l的方程为 综上所述，直线l的方程为或．‎ ‎【解析】Ⅰ设出圆心的坐标，结合两点间的距离公式求出圆心的坐标以及圆的半径，求出圆的方程即可；Ⅱ通过讨论直线的斜率存在与不存在时的情况，求出直线方程即可． 本题考查直线与圆的位置关系、圆的方程中档题． ‎ 1. 如图，在直三棱柱侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱中，，．Ⅰ求证：平面；Ⅱ求直线和平面所成的角的正切值． ‎ ‎【答案】Ⅰ证明：平面ABC， ， 又，， 且， 平面；分Ⅱ解：平面， 为斜线在平面内的射影， 为求直线和平面所成的角， 在直角中，，， ， 直线和平面所成角的正切值为分 ‎【解析】Ⅰ由平面ABC得， 再由得，证得平面；Ⅱ根据直线与平面所成角的定义判断 为和平面所成的角， 利用直角三角形中的边角关系求出 的正切值． 本题考查了空间中点、直线与平面间的位置关系与应用问题，是中档题． ‎ 1. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，M是PB的中点． ‎ Ⅰ证明：面面PCD；‎ Ⅱ求AC与PB所成角的余弦值；‎ Ⅲ求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值。‎ ‎【答案】证明：四棱锥的底面为直角梯形，，，‎ ‎， 底面ABCD，平面ABCD， ， ， 平面PAD， 平面PCD，‎ 面面PCD； 解：四棱锥的底面为直角梯形，，，‎ 底面ABCD，且，，M是PB的中点， 以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎ 则0，，1，，0，，2，， 1，，2，， 设直线AC与PB所成角为， 则， 直线AC与PB所成角的余弦值为，‎ 所以AC 与PB 所成的角为； 解：0，，1，，1，，2，， 1，，1，，，， 设平面ACM的法向量y，， 则，‎ 取，得， 设平面BCM的法向量b，， 则，‎ 取，得1，‎ ‎， 设二面角的平面角为， 则． 二面角是钝二面角， 二面角的余弦值为．‎ ‎【解析】此题考查面面垂直的证明，考查线线角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 推导出，，从而平面PAD，由此能证明面面PCD； 以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与PB所成角的余弦值； 求出平面ACM的法向量和平面BCM的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值． ‎ 1. 已知的顶点分别为，，， 求BC边上的中线的所在的直线方程； 求BC边上的高线的所在的直线方程； 求的面积．‎ ‎【答案】解：边的中点，可得BC边上的中线的所在的直线方程为：，化为：．    ，可得BC边上的高线的所在的直线方程为：，化为：． 直线BC的方程为：，化为：． 点A到直线BC的距离，． ．‎ ‎【解析】边的中点，利用点斜式可得可得BC边上的中线的所在的直线方程．    ，可得BC边上的高线的所在的直线方程为：． ‎ 直线BC的方程为：，化为：求出点A到直线BC的距离d，即可得出面积． 本题考查了相互垂直的直线方程斜率之间的关系、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题