吉林省扶余市第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

吉林省扶余市第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

扶余一中2018~2019学年度下学期期末考试 高二数学（文科）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数不等式求得集合，再由集合的交、并、补运算求解.‎ ‎【详解】∵集合，，‎ ‎∴，，，．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查指数不等式和集合的交、并、补运算，属于基础题.‎ ‎2.命题“，”的否定为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题与特称命题之间的关系求解.‎ ‎【详解】因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以命题“，”的否定为“，”．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查全称命题和特称命题否定，属于基础题.‎ ‎3.在等比数列中，若，，则（ ）‎ A. 或 B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的通项公式求解，注意此题解的唯一性.‎ ‎【详解】是和的等比中项，则，‎ 解得，由等比数列的符号特征知．选B.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式，属于基础题.‎ ‎4.在直角坐标系中，若直线：（为参数）过椭圆：（为参数）的左顶点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线和椭圆的参数方程转化为普通方程求解.‎ ‎【详解】直线的普通方程为，椭圆的普通方程为，‎ 左顶点为．因为直线过椭圆的左顶点，所以，即．选D.‎ ‎【点睛】本题考查直线和椭圆的参数方程转化为普通方程，属于基础题.‎ ‎5.在等差数列中，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质求解.‎ ‎【详解】因为，且，‎ 则，所以．选B.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题.‎ ‎6.下列命题中正确命题的个数是（ ）‎ ‎①“若，则”的逆否命题为“若，则”；‎ ‎②“”是“”的必要不充分条件；‎ ‎③若“”为假命题，则，均为假命题；‎ ‎④若命题：，，则：，．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由四种命题之间的转化、复合命题的真假判断和充要条件的推导求解.‎ ‎【详解】①正确；‎ 由解得且，“”是“”的必要不充分条件，故②正确；‎ ‎③若“”为假命题，则，至少有一个为假命题，故③错误；‎ ‎④正确．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查四种命题、复合命题和充要条件，属于基础题.‎ ‎7.将曲线按照伸缩变换后得到的曲线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据伸缩变换的关系表示已知函数的坐标，代入已知函数的表示式得解.‎ ‎【详解】由伸缩变换，得， 代入， 得，‎ 即 ．选B ‎【点睛】本题考查函数图像的伸缩变换，属于基础题.‎ ‎8.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.‎ ‎【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，‎ 在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值．‎ 因为，解得，，解得．故选B．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.‎ ‎9.已知命题：存在，，若是真命题，那么实数的取值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据非命题是真命题，得原命题是假命题，从而对实行参变分离，求新函数的最值得解.‎ ‎【详解】∵是真命题，∴对任意，，∴，‎ 令，函数在上单调递增，∴当时，，‎ ‎∴．∴实数的取值范围是．故选C．‎ ‎【点睛】本题的关键在于运用参变分离思想求解恒成立问题，属于中档题.‎ ‎10.在极坐标系中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，则圆的极坐标方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆C的圆心坐标为（2，0），由圆C经过点得到圆C过极点，由此能求出圆C的极坐标方程．‎ ‎【详解】在中，令，得，‎ 所以圆的圆心坐标为（2，0）.‎ 因为圆经过点，‎ 所以圆的半径，‎ 于是圆过极点，‎ 所以圆的极坐标方程为.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．‎ ‎11.设为数列的前项和，，，则数列的前20项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎， 相减得 由得出 ‎ ‎ ，= = ‎ 故选D 点睛：已知数列的与的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注意n的范围，有的时候要检验n=1的时候，本题就是检验n=1,不符合，通项是分段的.‎ ‎12.对于一个给定的数列，定义：若，称数列为数列的一阶差分数列；若，称数列为数列的二阶差分数列．若数列的二阶差分数列的所有项都等于，且，则（ ）‎ A. 2018 B. 1009 C. 1000 D. 500‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目给出的定义，分析出其数列的特点为等差数列，利用等差数列求解.‎ ‎【详解】依题意知是公差为的等差数列，设其首项为，‎ 则，即，‎ 利用累加法可得，‎ 由于，即 解得，，故．选C ‎【点睛】本题考查新定义数列和等差数列，属于难度题.‎ 二、填空题。‎ ‎13.已知“”是“”的充分不必要条件，且，则的最小值是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求解指数不等式，再运用充分不必要条件求解范围.‎ ‎【详解】，则由题意得，所以能取的最小整数是．‎ ‎【点睛】本题考查指数不等式和充分不必要条件，属于基础题.‎ ‎14.已知集合，集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为，，所以或，则图中阴影部分所表示的集合为，应填答案。‎ ‎15.已知点在直线（为参数）上，点为曲线（为参数）上的动点，则的最小值为________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出直线的普通方程，再求出点到直线的距离，再利用三角函数的性质求出|MN|的最小值.‎ ‎【详解】由题得直线方程为，‎ 由题意，点到直线的距离，‎ ‎∴.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查点到直线的距离的最值的求法和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎16.已知单调递减数列的前项和为，，且，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，再写出一个等式：，利用两等式判断并得到等差数列的通项，然后求值.‎ ‎【详解】当时，，∴．‎ 当时，，①‎ ‎，②‎ ‎①②，得，‎ 化简得，或，‎ ‎∵数列是递减数列，且，∴舍去．‎ ‎∴数列是等差数列，且，公差，‎ 故．‎ ‎【点睛】在数列中，其前项和为，则有：，利用此关系，可将与的递推公式转化为关于的等式，从而判断的特点.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.设函数的定义域为集合，集合，‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】解：（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）把代入二次不等式求集合B，根据函数定义域化简集合A，然后根据交集的运算法则直接运算即可．（2）时求出集合B,化简集合A,再求出A、B的补集，根据集合的交集运算即可．‎ 试题解析：（1），得，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，∴，∴，‎ ‎∴.‎ ‎18.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），且直线与曲线交于两点，以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2） 已知点的极坐标为，求的值 ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】‎ 分析：(1)曲线C的参数方程消去参数，得曲线C的普通方程，整理得到，由此，根据极坐标与平面直角坐标之间的关系，可以求得曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)将直线的参数方程与曲线C的普通方程联立，利用直线方程中参数的几何意义，结合韦达定理，求得结果.‎ 详解：（1）的普通方程为，‎ 整理得，‎ 所以曲线极坐标方程为.‎ ‎（2）点的直角坐标为，设，两点对应的参数为，，‎ 将直线的参数方程代入曲线的普通方程中得，‎ 整理得.‎ 所以，且易知，，‎ 由参数的几何意义可知，，，‎ 所以 .‎ 点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的参数方程向普通方程的转化，曲线的平面直角坐标方程向极坐标方程的转化，直线的参数方程中参数的几何意义，在解题的过程中，要认真分析，细心求解.‎ ‎19.已知，函数，，设：若函数在上的值域为，则，：函数的图象不经过第四象限．‎ ‎（1）若，判断，的真假；‎ ‎（2）若为真，为假，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 为真．为真．(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据函数的值域判断命题的真假；‎ ‎(2)根据复合命题的真假判断求解范围.‎ ‎【详解】解：（1）若，，对应的值域为，∴为真． ‎ 若，，当时，，∴为真． ‎ ‎（2）∵，∴若为真，则即 若为真，则当时，，即，‎ ‎∴，又，∴．‎ 因为为真，为假，所以，一真一假．‎ 若真假，则有；若假真，则有．‎ 综上所述，实数取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查函数的值域和复合命题的真假判断，属于中档题.‎ ‎20.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆的参数方程；‎ ‎（2）设为圆上一动点，，若点到直线的距离为，求的大小.‎ ‎【答案】（1）（为参数）；（2）或 ‎【解析】‎ 分析：（1）首先由公式化极坐标方程为直角坐标方程，再利用公式可化直角坐标方程为参数方程，为此可配方后再换元；‎ ‎（2）把直线参数方程化为普通方程，再由点到直线距离公式求出参数，注意到，根据A点位置，结合图形可利用圆的参数方程中参数的几何意义可得结论.‎ 详解：（1）∵，∴，∴，‎ 即，∴圆的参数方程为（为参数）.‎ ‎（2）由（1）可设，，‎ 的直角坐标方程为，‎ 则到直线的距离为 ‎ ，‎ ‎∴，∵，∴或，‎ 故或.‎ 点睛：（1）由公式可进行极坐标方程与直角坐标方程进行互化；‎ ‎（2）一般用消参数法可化参数方程为普通方程，直线的参数方程可用代入法消参，圆或圆锥曲线的参数方程是利用消参.‎ ‎21.已知等比数列的公比，前项和为，且. ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ．(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件列出等式，求解公比后即可求解出通项公式；（2）错位相减法求和，注意对于“错位”的理解.‎ 详解】解：（1）由，得，则 ‎∴，‎ ‎∴数列的通项公式为．‎ ‎（2）由，‎ ‎∴，①‎ ‎，②‎ ‎①②，得 ‎，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项和求和，难度较易.对于等差乘以等比的形式的数列，求和注意选用错位相减法.‎ ‎22.已知数列的前项和为，，. ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）在数列中，，其前项和为，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ．(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知的等式，再写一个关于等式，利用求通项公式；（2）利用裂项相消法求解，再根据单调性以及求解的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）当时，，，‎ 两式相减得 整理得，即，又，‎ ‎，‎ ‎， ‎ 则，当时，，所以．‎ ‎（2），‎ 则，‎ ‎． ‎ 又，‎ 所以数列单调递增，当时，最小值为，又因为， ‎ 所以的取值范围为．‎ ‎【点睛】当，且是等差数列且，则的前项和可用裂项相消法求解： .‎ ‎ ‎