数学卷·2018届四川省宜宾三中高二上学期12月月考数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届四川省宜宾三中高二上学期12月月考数学试卷（文科）（解析版）

‎2016-2017学年四川省宜宾三中高二（上）12月月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题直线x+3y+a=0的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．150° D．120°‎ ‎2．椭圆的焦距是（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎3．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎4．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为M1，众数为M2，平均值为，则（　　）‎ A．M1=M2= B．M1=M2＜ C．M1＜M2＜ D．M2＜M1＜‎ ‎5．两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+‎ ‎1=0的公切线有且仅有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎6．已知点A（1，2，2）、B（1，﹣3，1），点C在yOz平面上，且点C到点A、B的距离相等，则点C的坐示可以为（　　）‎ A．（0，1，﹣1） B．（0，﹣1，6） C．（0，1，﹣6） D．（0，1，6）‎ ‎7．原点在圆C：x2+y2+2y+a﹣2=0外，则a的取值范围是（　　）‎ A．a＞2 B．2＜a＜3 C．a＜2 D．0＜a＜2‎ ‎8．已知椭圆+=1，则以点M（﹣1，1）为中点的弦所在直线方程为（　　）‎ A．3x﹣4y+7=0 B．3x+4y﹣1=0 C．4x﹣3y+7=0 D．4x+3y+1=0‎ ‎9．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图所示，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（　　）‎ A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．‎ ‎11．在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y≤”的概率，P2为事件“xy≤”的概率，则（　　）‎ A．p1＜p2＜ B． C．p2＜ D．‎ ‎12．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎　‎ 二、填空.‎ ‎13．直线l1：y=kx﹣1与直线l2：x+y﹣1=0的交点位于第一象限的充要条件是　　．‎ ‎14．甲、乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是：‎ 甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4；‎ 乙：2、3、1、1、0、2、1、1、0、1；‎ 则机床性能较好的为　　．‎ ‎15．如图程序输出的结果是　　．‎ ‎16．若椭圆，和椭圆的焦点相同，且a1＞a2；给出如下四个结论：其中，所有正确结论的序号为　　‎ ‎①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点； ‎ ‎②；‎ ‎③‎ ‎④a1﹣a2＜b1﹣b2．‎ ‎　‎ 三.解答题 ‎17．（10分）已知两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+‎ ‎1=0，求满足下列条件的a值：‎ ‎（1）l1∥l2‎ ‎（2）l1⊥l2．‎ ‎18．（12分）已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[50，100]之内）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60]，[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]的分组作出频率分布直方图（图1），并作出样本分数的茎叶图（图2）（茎叶图中仅列出了得分在[50，60]，[90，100]的数据）．‎ ‎（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；‎ ‎（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90，100]内的概率．‎ ‎19．（12分）已知集合A={（x，y）|x2+（y+1）2≤1}，B={（x，y）|x+y=4m}，命题p：A∩B=∅，命题q：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆．‎ ‎（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．‎ ‎20．（12分）假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如表的统计资料：‎ 使用年限x（年）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 维修费用y（万元）‎ ‎2.2‎ ‎3.8‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ 若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：‎ ‎（1）线性回归方程；‎ ‎（2）根据回归直线方程，估计使用年限为12年时，维修费用是多少？‎ 参考公式： =， =﹣， =x+．‎ ‎21．（12分）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1•k2=1．‎ ‎22．（12分）已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a）．‎ ‎（Ⅰ）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程．‎ ‎（Ⅱ）a=，过点M作圆O的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|+|BD|的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省宜宾三中高二（上）12月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（2016秋•翠屏区校级月考）直线x+3y+a=0的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．150° D．120°‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】利用直线倾斜角与斜率的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：设直线的倾斜角为α，α∈[0°，180°）．‎ ‎∴tanα=﹣，∴α=150°．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了直线倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．椭圆的焦距是（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用椭圆的标准方程，求出c，由此能求出椭圆的焦距．‎ ‎【解答】解：椭圆中，‎ ‎∵c==1，‎ ‎∴焦距|F1F2|=2c=2．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的焦距的求法，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质．‎ ‎　‎ ‎3．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．‎ ‎【解答】解：该程序框图是循环结构 经第一次循环得到i=1，a=2；‎ 经第二次循环得到i=2，a=5；‎ 经第三次循环得到i=3，a=16；‎ 经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4‎ 故选B ‎【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律．‎ ‎　‎ ‎4．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为M1，众数为M2，平均值为，则（　　）‎ A．M1=M2= B．M1=M2＜ C．M1＜M2＜ D．M2＜M1＜‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】由频率图求出众数、中位数和平均数，比较即可．‎ ‎【解答】解：由图知，众数是M2=5；‎ 中位数是第15个数与第16个数的平均值，‎ 由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6，‎ 所以中位数是M1==5.5；‎ 平均数是=×（2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10）≈6；‎ ‎∴M2＜M1＜．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了求出一组数据的众数、中位数、平均值的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．‎ ‎【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，2‎ 两圆圆心距离：，说明两圆相交，‎ 因而公切线只有两条．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查圆的切线方程，两圆的位置关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎6．已知点A（1，2，2）、B（1，﹣3，1），点C在yOz平面上，且点C到点A、B的距离相等，则点C的坐示可以为（　　）‎ A．（0，1，﹣1） B．（0，﹣1，6） C．（0，1，﹣6） D．（0，1，6）‎ ‎【考点】空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标．‎ ‎【分析】直接利用空间距离公式验证即可．‎ ‎【解答】解：点A（1，2，2）、B（1，﹣3，1），点C在yOz平面上，且点C到点A、B的距离相等，‎ 如果C（0，1，﹣1），可得|AC|==；|BC|==，选项A不满足题意．‎ 对于B：可得|AC|==；|BC|==，选项B不满足题意；‎ 对于C，可得|AC|==；|BC|==，选项C不满足题意；‎ 对于D，可得|AC|==；|BC|==，选项D不满足题意；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查空间距离公式的应用，点的坐标的判断，是基础题．‎ ‎　‎ ‎7．原点在圆C：x2+y2+2y+a﹣2=0外，则a的取值范围是（　　）‎ A．a＞2 B．2＜a＜3 C．a＜2 D．0＜a＜2‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】根据二次方程表示圆的条件，以及圆心到原点的距离大于半径，列出不等式组，综合可得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵圆x2+y2+2y+a﹣2=0，即x2+（y+1）2=3﹣a，‎ ‎∴3﹣a＞0，即a＜3．‎ ‎∵原点（0，0）在圆x2+y2+2y+a﹣2=0的外部，∴a﹣2＞0，∴a＞2．‎ 综上可得，2＜a＜3，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查圆的标准方程、点和圆的位置关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．已知椭圆+=1，则以点M（﹣1，1）为中点的弦所在直线方程为（　　）‎ A．3x﹣4y+7=0 B．3x+4y﹣1=0 C．4x﹣3y+7=0 D．4x+3y+1=0‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】因为是一个选择题，可采用“点差法”，即先设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），分别代入椭圆方程后作差，可求出直线的斜率，再结合过点M，写出点斜式方程．‎ ‎【解答】解：设弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∴=1，，两式相减得 ‎，‎ ‎∴，①‎ 又∵M（﹣1，1）为AB的中点，‎ ‎∴x1+x2=﹣2，y1+y2=2代入①式得 ‎，即kAB=，‎ ‎∴直线AB方程为，即3x﹣4y+7=0．‎ 故选A ‎【点评】本题还可采用常规法，先设弦所在直线方程为y﹣1=k（x+1），代入椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到x1+x2的值，又AB中点为（﹣1，1），则有x1+x2=﹣2，可解出k的值．注意验证斜率不存在的情况．‎ ‎　‎ ‎9．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线的渐近线的方程可得=，再利用抛物线的准线x=﹣6=﹣c及c2=a2+b2即可得出．‎ ‎【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，‎ ‎∴=，‎ ‎∵双曲线的一个焦点在抛物线y2=24x的准线x=﹣6上，‎ ‎∴c=6．‎ 联立，‎ 解得．‎ ‎∴此双曲线的方程为，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质和双曲线的简单性质，熟练掌握圆锥曲线的图象和性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．如图所示，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（　　）‎ A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．‎ ‎【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，‎ 在直角三角形ACE中，∵|AE|=3，|AC|=3+3a，‎ ‎∴2|AE|=|AC|‎ ‎∴3+3a=6，‎ 从而得a=1，‎ ‎∵BD∥FG，‎ ‎∴=求得p=，‎ 因此抛物线方程为y2=3x．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握．‎ ‎　‎ ‎11．在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y≤”的概率，P2为事件“xy≤”的概率，则（　　）‎ A．p1＜p2＜ B． C．p2＜ D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】分别求出事件“x+y≤”和事件“xy≤‎ ‎”对应的区域，然后求出面积，利用几何概型公式求出概率，比较大小．‎ ‎【解答】解：由题意，事件“x+y≤”表示的区域如图阴影三角形，‎ p1=；‎ 满足事件“xy≤”的区域如图阴影部分 所以p2===＞；‎ 所以；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了几何概型的公式运用；关键是分别求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答．‎ ‎　‎ ‎12．已知抛物线C：y2‎ ‎=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．‎ ‎【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），‎ 由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），‎ 代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ ‎∴x1+x2=4+，x1x2=4．‎ ‎∴y1+y2=，y1y2=﹣16，‎ 又=0，‎ ‎∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0‎ ‎∴k=2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空.‎ ‎13．直线l1：y=kx﹣1与直线l2：x+y﹣1=0的交点位于第一象限的充要条件是　k＞1　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】求出两直线交点，由直线l1：y=kx+1与l2：x﹣y﹣1=0的交点在第一象限内，得到交点的横、纵坐标都大于0，由此能求出k的取值范围，再根据充要条件的定义判断即可 ‎【解答】解：∵直线l1：y=kx﹣1与l2：x+y﹣1=0的交点在第一象限内，‎ 联立，得x=，y=，‎ ‎∴，解得k＞1．‎ ‎∴k直线l1：y=kx﹣1与直线l2：x+y﹣1=0的交点位于第一象限的充要条件是k＞1．‎ 故答案为：k＞1‎ ‎【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的交点坐标的求法及性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎14．甲、乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是：‎ 甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4；‎ 乙：2、3、1、1、0、2、1、1、0、1；‎ 则机床性能较好的为　乙　．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】分别求出甲、乙两机床每天出次品数的平均数和方差，由此能求出机床性能较好的为乙．‎ ‎【解答】解：甲机床每天出次品数的平均数为：‎ ‎=（0+1+0+2+2+0+3+1+2+4）=1.5，‎ 方差= [（0﹣1.5）2×3+（1﹣1.5）2×2+（2﹣2.5）2×3+（3﹣1.5）2+（4﹣1.5）2]=1.625．‎ 乙机床每天出次品数的平均数为：‎ ‎=（2+3+1+1+0+2+1+1+0+1）=1.2，‎ 方差= [（2﹣1.2）2×2+（3﹣1.2）2+（1﹣1.2）2×5+（0﹣1.2）2×2]=0.76，‎ ‎∵＞，＞，‎ ‎∴机床性能较好的为乙．‎ 故答案为：乙．‎ ‎【点评】本题考查平均数、方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎15．如图程序输出的结果是　2500　．‎ ‎【考点】伪代码．‎ ‎【分析】分析程序语言，得出该程序是累加并输出S=1+3+…+99的值．‎ ‎【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，‎ 可知：该程序的作用是累加并输出 S=1+3+5+…+99的值，‎ 且S=1+3+5+…+99=2500．‎ 故答案为：2500．‎ ‎【点评】本题考查了根据流程图（或伪代码）写程序运行结果的语言问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎16．若椭圆，和椭圆的焦点相同，且a1＞a2；给出如下四个结论：其中，所有正确结论的序号为　①③　‎ ‎①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点； ‎ ‎②；‎ ‎③‎ ‎④a1﹣a2＜b1﹣b2．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由条件可知两椭圆的焦点均在x轴上，且a12﹣b12=a22﹣b22，由a1＞a2，可得b1＞b2，即可判断①③；‎ 举例若椭圆C1： +=1，椭圆C2： +y2=1．即可判断②④．‎ ‎【解答】解：由题意可得两椭圆的焦点均在x轴上，且a12﹣b12=a22﹣b22，‎ 即有a12﹣a22=b12﹣b22，故③正确；‎ 由a1＞a2，可得b1＞b2，‎ 由椭圆的对称性可得椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点，故①正确；‎ 若椭圆C1： +=1，椭圆C2： +y2=1．‎ 满足题意，但a1﹣a2=6﹣5=1，b1﹣b2=2﹣1=1，‎ 即有a1﹣a2=b1﹣b2．故④错误；‎ 由=， =2，即有＜，故②错误．‎ 故答案为：①③．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及基本量的关系，考查判断能力和运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ 三.解答题 ‎17．（10分）（2016秋•翠屏区校级月考）已知两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+1=0，求满足下列条件的a值：‎ ‎（1）l1∥l2‎ ‎（2）l1⊥l2．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】（1）根据两直线平行关系，得，即可求出a的值．‎ ‎（2）根据两直线垂直的关系，即（a﹣1）+2a=0，即可求出a的值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，，∴a=﹣1；‎ ‎（2）∵（a﹣1）+2a=0，∴a=．‎ ‎【点评】本题考查两直线平行的性质，两直线垂直的性质，比较基础．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016•江西校级一模）已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[50，100]之内）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60]，[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]的分组作出频率分布直方图（图1），并作出样本分数的茎叶图（图2）（茎叶图中仅列出了得分在[50，60]，[90，100]的数据）．‎ ‎（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；‎ ‎（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90，100]内的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由样本容量和频数频率的关系易得答案；‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，列举法易得．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，（2分）‎ ‎，…（4分）‎ x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030．（6分）‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90]内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，‎ 抽取2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．（8分）‎ 其中2名同学的分数恰有一人在[90，100]内的情况有10种，（10分）‎ ‎∴所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90，100]内的概率．（12分）‎ ‎【点评】本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2015秋•江阴市期中）已知集合A={（x，y）|x2+（y+1）2≤1}，B={（x，y）|x+y=4m}，命题p：A∩B=∅，命题q：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆．‎ ‎（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】（1）根据命题p是真命题，结合直线和圆的位置关系，求出m的范围即可；（2）分别求出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，求出m的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）由命题p为真命题，‎ 则d=＞1…（3分）‎ 解得：m＞或m＜﹣ …‎ ‎（2）若命题q为真命题，‎ 则，解得：0＜m＜ …（8分）‎ ‎∵“p∨q”为真，“p∧q”为假∴p，q一真一假…（9分）‎ 若p真q假，则m≥或m＜﹣…（11分）；‎ 若p假q真，则0＜m≤…（13分）‎ 综上：m的取值范围为m≥或m＜﹣，或0＜m≤…（14分）‎ ‎【点评】本题考查了符合命题的判断，考查直线和圆的位置关系以及椭圆的性质，是一道基中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2017春•赫山区校级月考）假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如表的统计资料：‎ 使用年限x（年）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 维修费用y（万元）‎ ‎2.2‎ ‎3.8‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ 若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：‎ ‎（1）线性回归方程；‎ ‎（2）根据回归直线方程，估计使用年限为12年时，维修费用是多少？‎ 参考公式： =， =﹣， =x+．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（1）根据所给的数据，做出变量x，y的平均数，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程；‎ ‎（2）当自变量为20时，代入线性回归方程，求出维修费用，这是一个预报值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知=4， =5， ==1.23，‎ ‎=5﹣4×1.23=0.08，‎ ‎∴=1.23x+0.08‎ ‎（2）当自变量x=12时，预报维修费用是y=1.23×12+0.08=14.84（万元），‎ 即估计使用12年时，维修费用是14.84万元．‎ ‎【点评】本题考查线性回归方程，考查最小二乘法，考查预报值的求法，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•翠屏区校级月考）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1•k2=1．‎ ‎【考点】圆锥曲线的定值问题；圆锥曲线的综合．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为a=c，及椭圆的定义得到又2a+2c=，解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点P（x0，y0），根据斜率公式求得k1、k2，把点P（x0，y0）在双曲线上，即可证明结果．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为e==，则a=c，‎ 又2a+2c=，‎ 解得：a=2，c=2，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=4，‎ ‎∴椭圆的标准方程为，‎ ‎∴椭圆的焦点坐标为（±2，0）．‎ ‎∵双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，‎ ‎∴该双曲线的标准方程为；‎ ‎（Ⅱ）设点P（x0，y0），‎ 则k1=，k2=，‎ ‎∴k1•k2=×=，‎ 又点P（x0，y0）在双曲线上，‎ ‎∴，即y02=x02﹣4，‎ ‎∴k1•k2==1．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，等轴双曲线的求法，考查了学生综合运用知识解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2017春•赫山区校级月考）已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a）．‎ ‎（Ⅰ）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程．‎ ‎（Ⅱ）a=，过点M作圆O的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|+|BD|的最大值．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）要求过点M的切线方程，关键是求出切点坐标，由M点也在圆上，故满足圆的方程，则易求M点坐标，然后代入圆的切线方程，整理即可得到答案．‎ ‎（Ⅱ）由于直线AC、BD均过M点，故可以考虑设两个直线的方程为点斜式方程，但由于点斜式方程不能表示斜率不存在的情况，故要先讨论斜率不存在和斜率为0的情况，然后利用弦长公式，及基本不等式进行求解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由条件知点M在圆O上，‎ ‎∴1+a2=4‎ ‎∴a=±‎ 当a=时，点M为（1，），kOM=，k切线=﹣‎ 此时切线方程为：y﹣=﹣（x﹣1）‎ 即：x+y﹣4=0‎ 当a=﹣时，点M为（1，﹣），kOM=﹣，k切线=‎ 此时切线方程为：y+=（x﹣1）‎ 即：x﹣y﹣4=0‎ ‎∴所求的切线方程为：x+y﹣4=0或x﹣y﹣4=0‎ ‎（Ⅱ）当AC的斜率为0或不存在时，可求得AC+BD=2（+）‎ 当AC的斜率存在且不为0时，‎ 设直线AC的方程为y﹣=k（x﹣1），‎ 直线BD的方程为y﹣=﹣（x﹣1），‎ 由弦长公式l=2‎ 可得：AC=2‎ BD=2‎ ‎∵AC2+BD2=4（+）=20‎ ‎∴（AC+BD）2=AC2+BD2+2AC×BD≤2（AC2+BD2）=40‎ 故AC+BD≤2‎ 即AC+BD的最大值为2‎ ‎【点评】求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上．若在圆上，则该点为切点，若点P（x0，y0）在圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）上，则 过点P的切线方程为（x﹣a）（x0﹣a）+（y﹣b）（y0﹣b）=r2（r＞0）；若在圆外，切线应有两条．一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单．若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线．‎