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文档介绍
【数学】2019届一轮复习人教B版第51讲古典概型学案
第51讲 古典概型 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.理解古典概型及其概率计算公式. 2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 2017·全国卷Ⅱ,11 2017·山东卷,16 2017·天津卷,3 古典概型主要考查实际背景的等可能事件,通常与互斥事件、对立事件等知识相结合进行考查. 分值:5分 1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件都是__互斥__的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成__基本事件__的和. 2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. (1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件__只有有限个__; (2)等可能性:每个基本事件出现的可能性__相等__. 3.古典概型的概率公式 P(A)=. 1.思维辨析(在括号内打“√”或“”). (1)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球,那么每种颜色的球被摸到的可能性相同.( × ) (2)从-3,-2,-1,0,1,2中任取一数,取到的数小于0与不小于0的可能性相同.( √ ) (3)分别从3名男同学、4名女同学中各选一名作代表,那么每个同学当选的可能性相同.( × ) (4)利用古典概型的概率公式求“在边长为2的正方形内任取一点,这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.( × ) (5)“从长为1的线段AB上任取一点C,求满足AC≤的概率是多少”是古典概型.( × ) 解析 (1)错误.摸到红球的概率为,摸到黑球的概率为,摸到白球的概率为. (2)正确.取到小于0的数的概率为,取到不小于0的数的概率也为. (3)错误.男同学当选的概率为,女同学当选的概率为. (4)错误.由于正方形内点的个数具有无限性,与古典概型不符. (5)错误.线段上的点及所取的点不具有古典概型所满足的有限性,所以(5)错误. 2.从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为( C ) A. B. C. D.1 解析 基本事件总数为(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种,甲被选中共2种,则P=. 3.从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数,则取出的两个数不是连续自然数的概率是( D ) A. B. C. D. 解析 从六个数中任取2个数有15种取法,取出的两个数是连续自然数有5种情况,则取出的两个数不是连续自然数的概率P=1-=. 4.将甲、乙两球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中,每个盒子的放球数量不限,则在1,2号盒子中各有一个球的概率为( B ) A. B. C. D. 解析 依题意得,甲、乙两球各有3种不同的放法,共9种放法,其中1,2号盒子中各有一个球的放法有2种,故1,2号盒子中各有一个球的概率为. 5.(2018·湖南五市十校联考)齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马, 田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为( A ) A. B. C. D. 解析 设齐王的三匹马按上等、中等、下等分别记为a1,a2,a3,田忌的三匹马按上等、中等、下等分别记为b1,b2,b3.齐王与田忌赛马,其情况有(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3),共9种;其中田忌的马获胜的有(a2,b1),(a3,b1),(a3,b2),共3种,则田忌获胜的概率为=.故选A. 一 简单的古典概型问题 求古典概型概率的基本步骤 (1)算出所有基本事件的个数n. (2)算出事件A包含的所有基本事件的个数m. (3)代入公式P(A)=,求出P(A). 【例1】 现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答.试求: (1)所取的2道题都是甲类题的概率; (2)所取的2道题不是同一类题的概率. 解析 (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4;2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题,基本事件为{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6},共15个,而且这些基本事件的出现是等可能的. 用A表示“都是甲类题”这一事件,则A包含的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共6个, 所以P(A)==. (2)基本事件同(1).用B表示“不是同一类题”这一事件,则B包含的基本事件有{1,5},{1,6},{2,5},{2,6},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},共8个,所以P(B)=. 二 复杂的古典概型问题 复杂事件的概率问题的求法 (1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件,再利用互斥事件的概率加法公式求解. (2)先求其对立事件的概率,再利用对立事件的概率公式求解. 【例2】 一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3, 这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率. 解析 (1)由题意,(a,b,c)所有的可能为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种. 设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.所以P(A)==. 因此“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为. (2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种. 所以P(B)=1-P()=1-=. 因此“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为. 三 古典概型的知识交汇问题 古典概型可以出现在很多问题背景下,关键是理解题目的实际含义,找出基本事件的总数及目标事件的数目. 【例3】 已知向量a=(x,-1),b=(3,y),其中x随机选自集合{-1,1,3},y随机选自集合{1,3,9}. (1)求a∥b的概率; (2)求a⊥b的概率. 解析 由题意,得(x,y)所有的基本事件为(-1,1),(-1,3),(-1,9),(1,1),(1,3),(1,9),(3,1),(3,3),(3,9),共9个. (1)设“a∥b”为事件A,则xy=-3.事件A包含的基本事件有(-1,3),共1个.故a∥b的概率为P(A)=. (2)设“a⊥b”为事件B,则y=3x.事件B包含的基本事件有(1,3),(3,9),共2个.故a⊥b的概率为P(B)=. 1.下列试验中,是古典概型的个数为( B ) ①向上抛一枚质地不均匀的硬币,观察正面向上的概率; ②向正方形ABCD内,任意抛掷一点P,点P恰与点C重合; ③从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率; ④在线段[0,5]上任取一点,求此点小于2的概率. A.0 B.1 C.2 D.3 解析 ①中,硬币质地不均匀,不是等可能事件,所以不是古典概型.②④的基本事件都不是有限个,不是古典概型.③符合古典概型的特点,是古典概型问题. 2.(2017·山东卷)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游. (1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率; (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1,但不包括B1的概率. 解析 (1)由题意知,从6个国家中任选2个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15个. 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个,则所求事件的概率为P==. (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个. 包含A1但不包含B1的事件所包含的基本事件有{A1,B2},{A1,B3},共2个,则所求事件的概率为P=. 3.如图所示茎叶图记录了甲、乙两学习小组各4名同学在某次考试中的数学成绩,乙组记录中有一个数字模糊,无法确认,假设这个数字具有随机性,并在图中用m(m∈N)表示. (1)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率; (2)当m=3时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,求这两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分的概率. 解析 (1)当甲、乙两个小组的数学平均成绩相等时,由×(87+89+91+93)=×[85+90+91+(90+m)],得m=4,设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A,m的取值有0,1,2,…,9,共有10种可能.当m=4时,甲、乙两个小组的数学平均成绩相同, ∴当m=5,6,7,8,9时,乙组平均成绩超过甲组平均成绩,共有5种可能, ∴乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率为P(A)==. (2)设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分”为事件B,当m=3时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,所有可能的成绩结果有16种,分别为(87,85),(87,90),(87,91),(87,93),(89,85),(89,90),(89,91),(89,93),(91,85),(91,90),(91,91),(91,93),(93,85),(93,90),(93,91),(93,93). 事件B的结果有8种,它们为(87,90),(87,91),(87,93),(89,85),(89,93),(91,85),(93,85),(93,90). ∴两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分的概率为 P(B)==. 4.设a∈{2,4},b∈{1,3},函数f(x)=ax2+bx+1. (1)求f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数的概率; (2)在(1)的条件下,从f(x)中随机抽取两个,求它们在(1,f(1))处的切线互相平行的概率. 解析 (1)f′(x)=ax+b,由题意知f′(-1)≤0,即b≤a, 而(a,b)共有(2,1),(2,3),(4,1),(4,3),共4种,满足b≤a的有3种,故概率为. (2)由(1)可知,函数f(x)共有4种可能,从中随机抽取两个,有6种抽法. ∵函数f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=a+b, ∴这两个函数中的a与b之和应该相等,而只有{(2,3),(4,1)}这1组满足,∴满足题意的概率为. 错因分析:误认为题目中所有的基本事件的出现都是等可能的,而有些时候基本事件的出现不是等可能的,从而造成错解,如对于下面的例题会误认为基本事件共有4个:(正正正)(正正反)(正反反)(反反反),其实这四种结果的出现不是等可能的. 【例1】 同时投掷三枚质地均匀的硬币一次,三枚硬币同时正面向上的概率为______. 解析 由题意作出树状图如下: 一共有8种情况,三枚硬币同时正面向上只有1种情况,所以P(三枚硬币同时正面向上)=. 答案 【跟踪训练1】 (2016·全国卷Ⅰ)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( C ) A. B. C. D. 解析 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种,所以所求事件的概率P==.故选C. 课时达标 第51讲 [解密考纲]古典概型在高考中常以选择题或填空题的形式出现,有时与集合、函数、不等式等知识综合,以解答题形式出现. 一、选择题 1.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a,从{1,2,3}中随机选取一个数b,则ab的数组共有10个,分别为(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),因此所求的概率为=.故选D. 二、填空题 7.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为__ __. 解析 设2本数学书分别为A,B,语文书为C,则所有的排放顺序有ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA,共6种情况,其中数学书相邻的有ABC,BAC, CAB,CBA,共4种情况,故2本数学书相邻的概率P==. 8.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为__ __. 解析 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红,白),(白,红),(红,蓝),(蓝,红),(白,蓝),(蓝,白),(红,红),(白,白),(蓝,蓝),共9种,他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红,红),(白,白),(蓝,蓝),共3种.故所求概率为P==. 9.(2018·福建三明一中月考)已知集合A=,若k∈Z,且k∈A,使得过点B(1,1)的任意直线与曲线x2+y2+kx-2y-k=0总有公共点的概率为__ __. 解析 由题意知A=[-1,2),k∈Z且k∈A,可得k有-1,0,1三个值,过点B(1,1)的任意直线与圆x2+y2+kx-2y-k=0总有公共点,即点B(1,1)在圆上或圆内,即2+k-2-k≤0,得k≤0,即k有-1,0两个值,由古典概型的概率公式知,所求概率为. 三、解答题 10.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率; (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求n查看更多
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