天津市和平区2020届高三第三次质量调查（三模）数学试题 Word版含答案

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第 1 页，共 13 页 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。 考试时间 120 分钟。祝同学们考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（共 45 分） 注意事项 : 1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。 3. 本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。  如果事件 BA， 互斥,那么  如果事件 BA， 相互独立,那么 )()()( BPAPBAP  )()()( BPAPABP  .  锥体的体积公式 ShV 3 1 .  球体 3 3 4 RV  其中 S 表示锥体的底面积 , 其中 R 为球的半径 . h 表示锥体的高 . 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合 ൌ 0, 1，2，3，4， 5 ， ൌ 1,2 ， ൌ ⸲ ⸲ 2 3⸲ 0 ，则 晦 ൌ 晦 A. ,1, 2， B. ,4,C. ,2, D. , 2. 已知 p： ⸲ ，q： 3 ⸲香1 1 ，如果 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 k 的取值范围 是 晦A. 2, 香 晦 B. 2, 香 晦 C. 1, 香 晦 D. , 1 3. 函数 ⸲晦 ൌ 2 ⸲1香൅⸲ 的图像大致为 晦 学 校 班 级 姓 名 考 号 和 平 区 2 0 1 9 - 2 0 2 0 学 年 度 第 二 学 期 高 三 年 级 第 三 次 质 量 调 查 数 学 学 科 试 卷 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 密 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 封 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 线 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 第 2 页，共 13 页 A. B. C. D. 4. 三棱锥的棱长均为 4 ，顶点在同一球面上，则该球的表面积为 晦A. 3 B. 2 C. 144 D. 2香香 5. 设正实数 a，b，c 分别满足 2 ൌ 1 ， 㤮2 ൌ 1 ， 㤮3 ൌ 1 ，则 a，b，c 的大小 关系为 晦A. ൐ ൐ B. ൐ ൐ C. ൐ ൐ D. ൐ ൐ . 已知双曲线 ⸲ 2 2 2 2 ൌ 1 ൐ 0, ൐ 0晦 的右焦点为 F，虚轴的上端点为 B，P 为左支上的 一个动点，若 䁨 周长的最小值等于实轴长的 3 倍，则该双曲线的离心率为 晦A. 10 2 B. 10 5 C. 10 D. 2 . 若函数 ⸲晦 ൌ 㤮ൌ2⸲ 香 晦 的图象关于点 4 3 ,0 成中心对称，且 2 2 ， 则函数 ൌ ⸲ 香 3 为 晦 A. 奇函数且在 0, 4 上单调递增 B. 偶函数且在 0, 2 上单调递增 C. 偶函数且在 0, 2 上单调递减 D. 奇函数且在 0, 4 上单调递 减 第 3 页，共 13 页 香. 已知直线 l： ⸲ ൌ 1 与圆： ⸲ 2 香 2 2⸲ 香 2 1 ൌ 0 相交于 A，C 两点，点 B， D 分别在圆上运动，且位于直线 l 的两侧，则四边形 ABCD 面积的最大值为 晦A. 30 B. 2 30 C. 51 D. 2 51 9. 已知函数 ⸲晦 ൌ 㤮 1 2⸲,⸲ ൐ 0 ⸲ 香 1 2 15 4 ,⸲ 0 ，函数 ⸲晦 ൌ ⸲ 3 ，若方程 ⸲晦 ൌ ⸲⸲晦 有 4 个不同实根，则实数 a 的取值范围为 晦A. 3, 15 2 B. 5, 15 2 C. 3,5晦 D. 3,5晦 第Ⅱ卷 非选择题（共 105 分） 注意事项: 1 . 用黑色水笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效。 2 . 本卷共 11 小题，共 105 分。 二、填空题：本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷上. 10. 若复数 2 香 ൌ 1 香 晦 香 晦, 晦, 其中 i 是虚数单位，则 ൌ ． 11. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日 的产量数据 单位：件 晦. 若这两组数据的中位数相等， 且平均值也相等，则 ⸲ 香 的值为_______． 12. 若 3 ⸲ 3 ⸲晦 ൅ 的展开式中所有项系数的绝对值之和为 1024，则该展开式中的常数项 是______． 第 4 页，共 13 页 13. 已知一个袋子中装有 4 个红球和 2 个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的， 若从袋子中摸出 3 个球，记摸到的白球的个数为 ，则 的概率是__________； 随机变量 期望是__________． 14. 已知正数 x，y 满足 ⸲ 2 香 4⸲ 2 香 ⸲ ൌ ⸲ 香 4 ，则当 ______时， ⸲ ⸲香4 的最大值 为________． 15. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ൌ 2 ，CD 与以 AB 为直径的半圆 O 相切于点 D，且 ，若 ൌ 1 ，则 BD=__________;此时 ൌ __________． 三、解答题：本大题共 5 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 14 分) 在 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2 ൌ 2㤮ൌ ． （Ⅰ）求 sin 香 2 香 晦 的值； （Ⅱ）若 ൌ 3 ，求 的取值范围． 17．(本小题满分 14 分) 如图甲的平面五边形 PABCD 中， ൌ ， ൌ ൌ ൌ 5 ， ൌ 1 ， ൌ 2 ， ，现将图甲中的△PAD 沿 AD 边折起，使平面 平面 ABCD 得图乙的四棱 锥 . 在图乙中 （Ⅰ）求证： 平面 PAB； （Ⅱ）求二面角 的大小； （Ⅲ）在棱 PA 上是否存在点 M 使得 BM 与平面 PCB 所成的角的正弦值为 1 3 ？并说 明理由． 和 平 区 2 0 1 9 - 2 0 2 0 学 年 度 第 二 学 期 高 三 年 级 第 三 次 质 量 调 查 数 学 学 科 试 卷 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 密 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 封 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 线 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯  y x 1  和平区 2019-2020 学年度第二学期高三年级第三次质量调查 。 2 ⸲晦 ⸲晦 香 ⸲ 时，求证： ൌ 1 求实数 a 的取值范围；（Ⅲ）当 ， 1 ⸲2 ൐ 1 ，且 x ⸲1晦 ൌ ⸲2晦 ൌ 0 ，使 ⸲2 , 香 晦 ， ⸲1 0, 香 晦 （Ⅱ）若存在 的图象相切，求实数 a 的值； ⸲晦 与函数 ൌ 2⸲ （Ⅰ）若直线 。 ⸲晦 ⸲ ⸲晦 ൌ ⸲ ， ⸲晦 ൌ ൅⸲ ⸲ 香 1 已知函数 20．(本小题满分 16 分) 若存在，求出实数 m 的取值范围；若不存在，说明理由． ൌ 2. ܯ 且 ൌ ܯ 使得 ， 0,ꀀ晦 与椭圆 C 交于 M、N 两点，在 y 轴上是否存在点 ൌ ⸲ 香 ݔ 0晦 （Ⅱ）已知直线 l： （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； ． 2 香 1 最大值为 的距离的 䁨1 ，椭圆上的点到左焦点 2 2 ൌ 的离心率 ൌ 1 ൐ ൐ 0晦 2 2 香 2 2 ⸲ 已知椭圆 C： 19．(本小题满分 16 分) ． ൅ 的前 n 项和 ൅ ，求数列 ൅ ൌ 2൅1 2൅ （Ⅱ）设 的通项公式； ൅ 的值及数列 ， 5 ， 4 ， 3 （Ⅰ）求 ． ൅ ， 1 ൌ 0 ൅ ൅香2 2൅ 香 2 1晦 ൅ 3 香 1晦 ，且 2 1 2 ൌ ， 1 ൌ 1 满足： ൅ 已知数列 18．(本小题满分 15 分) 页 13 页，共 5 第 第 页，共 13 页 数学学科参考答案 一、选择题：（45 分）. 1.D 2.B 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D 8.A 9.B 二、填空题：（30 分） 10. 1 2 11. 8 12. 9013. 3 5 ；1 14.4； 1 香 15.1； 3 2三、解答题： 16.(本小题满分 14 分) 解：（Ⅰ）因为 2 ൌ 2㤮ൌ ，所以 2ൌ൅ ൌ൅ ൌ 2ൌ൅㤮ൌ ， 所以 2ൌ൅ 香 晦 ൌ൅ ൌ 2ൌ൅㤮ൌ ，整理得 sin ൌ 2㤮ൌൌ൅ ．………… 3 分 因为 sin 0 ，所以 cos ൌ 1 2 ， 所以 ൌ 3 ，从而 香 2 香 ൌ 2 3 ，………… 5 分 故 sin 香 2 香 晦 ൌ ൌ൅ 2 3 ൌ 3 2 ．…………………… 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 sin ൌ 3 2 ，…………………… 分 所以 sin ൌ sin ൌ sin ൌ 2 ，从而 ൌ 2ൌ൅ ， ൌ 2ൌ൅ ．……………… 9 分 所以 ൌ 2ൌ൅ 2ൌ൅ ൌ 2ൌ൅ 2 3 晦 2ൌ൅ ൌ 3㤮ൌ ൌ൅ ൌ 2ൌ൅ 3 晦 ．……………… 11 分 第 页，共 13 页 因为 香 ൌ 2 3 ，所以 0 2 3 ，从而 3 3 3 ，……………… 12 分 所以 3 2ൌ൅ 3 晦 3 ， 故 的取值范围为 3, 3晦 ．…………………… 14 分 17.(本小题满分 14 分) （Ⅰ）证明： ൌ 1 ， ൌ 2 ， ൌ 5 2 香 2 ൌ 2 ， ， 平面 平面 ABCD，平面 平面 ൌ ， 平面 PAD，又 平面 PAD， ，又 ， ൌ 平面 PAB．………… 4 分 （Ⅱ）解:取 AD 的中点 O，连结 OP，OC， 由平面 平面 ABCD 知 平面 ABCD， 由 ൌ 知 ， 以 O 为坐标原点，OC 所在的直线为 x 轴，OA 所在的直 线为 y 轴建立空间直角坐标系如图示， 则易得 2, 0， 0晦 ， 0, 0， 1晦 ， 0, 1,0晦 ， 0, 1， 0晦 ， 1, 1， 0晦 ൌ 1,1, 1晦 ， ൌ 2,0, 1晦 ， ൌ 0, 1, 1晦 ， 设平面 PBC 的法向量为 ꀀ ൌ ,,晦 ， 由 ꀀ ൌ 0 ꀀ ൌ 0 ，得 香 ൌ 0 2 ൌ 0 ，令 ൌ 1 得 ൌ 1 ， ൌ 2 ， ꀀ ൌ 1,1,2晦设二面角 大小为 ， 则 㤮ൌ ൌ ꀀ ꀀ ൌ 12 2 ൌ 3 2 ， 0 ， 二面角 的大小 ൌ 2 3 ．………… 9 分 （Ⅲ）解:假设点 M 存在，其坐标为 ⸲, y， 晦 ，BM 与平面 PBC 所成的角为 ， 则存在 ，有 ܯ ൌ ， 1,0 3 1 16 1sin 222      BMm BMm 第 香 页，共 13 页 即 ⸲, 1,晦 ൌ 0, 1,1晦 ， ܯ0,1 ,晦 ， 则 ܯ ൌ 1, ,晦 ，从而 化简得   310,1,0   在棱 PA 上满足题意的点 M 存在．………… 14 分 18．(本小题满分 15 分) 解： Ⅰ 晦1 ൌ 1 ， 2 ൌ 1 2 ，且 3 香 1晦 ൅ ൅香2 2൅ 香 2 1晦 ൅ 1 ൌ 0 ， 则 23 21 4 ൌ 0 ，解得 3 ൌ 3 ，………… 2 分 44 22 ൌ 0 ，解得 4 ൌ 1 4 ， 25 23 4 ൌ 0 ，解得 5 ൌ 5 ， 4 24 ൌ 0 ，解得 ൌ 1 香 ，……………… 5 分 当 n 为奇数时， ൅香2 ൌ ൅ 香 2 ， ൅ ൌ ൅ ； 当 n 为偶数时， ൅香2 ൌ 1 2 ൅ ， ൅ ൌ 1 2 晦 ൅ 2 ． 即有 ൅ ൌ ൅,൅ 为奇数 1 2 晦 ൅ 2 ,൅ 为偶数 ；…………… 分 （Ⅱ）由于 2൅ 1 为奇数，则 2൅1 ൌ 2൅ 1 ， 由于 2n 为偶数，则 2൅ ൌ 1 2 晦 ൅ ． 因此， ൅ ൌ 2൅1 2൅ ൌ 2൅ 1晦 1 2 晦 ൅ ．…………… 10 分 ൅ ൌ 1 1 2 香 3 1 2 晦 2 香 5 1 2 晦 3 香 … 香 2൅ 3晦 1 2 晦 ൅1 香 2൅ 1晦 1 2 晦 ൅ ， 3-10,0162   解得 ， 香1 ൌ 2 2 2 2 2 1香2晦22香1ݔ2晦 22香1 ൌ 2ݔ22 × 4 2 22香1 晦 4ݔ 2 ൌ 1 香 4⸲1⸲2 2 ⸲1 香 ⸲2晦 2 ൌ 1 香 ⸲1 ⸲2 2 ൌ 1 香 ܯ 不 分 12 ①………………… 香1 . 2 2 ݔ ꀀ ൌ ，得 1 22香1 ൌ 2ݔ 22香1 ݔ ꀀ ൌ 直线 PQ 的斜率为 ， ܯ ，则 ൌ ܯ 由于 分 10 ．………………… 香1 晦 2 2 ݔ 香1 , 2 2 2ݔ 所以，点 Q 的坐标为 ， 香1 2 2 ݔ 2 香 ݔ ൌ ⸲1香⸲2 2 ൌ 1香2 ， 香1 2 2 2ݔ 2 ൌ ⸲1香⸲2 则 设线段 MN 的中点为 Q， 分 香 ………………… , 香1 2 2 2 2 2ݔ ⸲1⸲2 ൌ 香1 2 2 4ݔ ⸲1 香 ⸲2 ൌ 由韦达定理得 ， 香 1 2 2 2 ݔ ，得 晦 ൐ 0 2 香 1 ݔ 2 2晦 ൌ 香2 2 香 1晦2ݔ 2 42 2 ݔ 2 ൌ 1 ． 2 ൌ 0 2 香 4ݔ⸲ 香 2ݔ 2 香 1晦⸲ 2 2 ൌ 1 ,消去 y 并整理得 2 2 香 2 ൌ ⸲ 香 ݔ⸲ 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立 ， ⸲2,2晦 、 ⸲1,1晦ܯ （Ⅱ）设点 分 5 ；………………… ൌ 1 2 2 香 2 ⸲ 因此，椭圆 C 的标准方程为 ， ൌ 1 2 2 ൌ ，则 ൌ 1 ൌ 2 所以， 分 2 ，………………… 香 ൌ 2 香 1 椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为 ， 2 2 ൌ ൌ ，则 2 ൐ 0晦 解:（Ⅰ）设椭圆 C 的焦距为 19.(本小题满分 16 分) 分 15 ．……………… ൅ 2 2൅香3 ൅ ൌ 3 化简可得， 分 13 ，………………… ൅香1 2 晦 1 2 2൅ 1晦 1 1 2൅1晦 1 41 1 2 香 2 1 ൌ ， ൅香1 2 晦 1 2൅ 1晦 ൅ 2 晦 1 香 … 香 4 2 晦 1 香 3 2 晦 1 香 2 2 晦 1 2 香 2 1 2 ൅ ൌ 1 1 两式相减得 ， ൅香1 2 晦 1 香 2൅ 1晦 ൅ 2 晦 1 香 2൅ 3晦 … 香 4 2 晦 1 香 5 3 2 晦 1 香 3 2 2 晦 1 2 ൅ ൌ 1 1 页 13 页，共 9 第 ，上单调递减 晦 ∞ , 香 1 ⸲ 上单调递增，在 晦 1 ⸲ 1, 在 ⸲晦 ，可得函数 1 ⸲ ൌ 得 ，解 쳌⸲晦 ൌ 0 时，由 0 1 ，即 ൐ 1 1 无零点，舍去．当 ⸲晦 ，此时函数 1 0 ⸲晦 1晦 ൌ 上单调递减， 晦 ∞ ⸲ 1, 香 在 ⸲晦 ，函数 쳌⸲晦 0 ， 1 1 0 时， 1 当 分 ，………………… ⸲ 1 ⸲ 쳌⸲晦 ൌ 时， ൐ 0 当 无零点，舍去． ⸲晦 此时函数 ， ⸲晦 ൐ 1晦 ൌ 1 ൐ 0 上单调递增， 晦 ∞ ⸲ 1, 香 在 ⸲晦 ，函数 쳌⸲晦 ൐ 0 时， 0 当 ． ⸲ 1⸲ ⸲ ൌ 1 쳌⸲晦 ൌ 由 上有零点． 晦 ∞ ⸲ 1, 香 在 ⸲晦 ൌ ൅⸲ ⸲ 香 1 由题意可得：函数 分 5 ．………………… ⸲1 ൐ 1 即 ， ⸲1 ⸲2 ൐ 1 ．由 ⸲2 ൌ 0 ，解得 ⸲2晦 ൌ 0 ⸲2 ⸲2晦 ൌ ⸲2 由 ． 0晦 ൌ 1 ൐ 0 ⸲晦 的极小值点，可得 ⸲晦 ，可得 0是函数 1 ⸲ ⸲ .쳌⸲晦 ൌ ， ⸲ ⸲ ⸲晦 ൌ （Ⅱ）设 分 4 ． ………………… ൌ 1 ， ⸲0 ൌ 1 解得 ． ൅⸲0 ൌ 0 ， ⸲0 ൌ 2 1 的图象相切， ⸲晦 与函数 ൌ 2⸲ 直线 分 2 ．………………… ⸲0 晦⸲ 香 ൅⸲0 1 ൌ 即 ， ⸲0 晦⸲ ⸲0晦 1 ൅⸲0 ⸲0 香 1晦 ൌ 切线方程为： ． ⸲0 1 쳌⸲0晦 ൌ ． ⸲ 1 쳌⸲晦 ൌ ，由 ⸲0,⸲0晦晦 解：（Ⅰ）设切点为 20.(本小题满分 16 分) 分 1 ．………………… 2 晦 2 2 ,0晦 0, 2 因此，实数 m 的取值范围为 分 15 ．………………… 2 晦 1 香1晦 0, 2 香2晦2 2 2 1 ൌ 2 香1晦 2 2 2 ݔ ൌ 2 ꀀ ，由①式得 香1晦 2 2 香1 2 2 ൌ 2 ݔ 得 页 13 页，共 10 第 第 11 页，共 13 页 ⸲ ൌ 1 时，函数 ⸲晦 取得极大值即最大值， ， 函数 ⸲晦 在 ⸲ 1, 1 晦 上无零点．………………… 9 分 由 ． 令 ൌ ln4 2ln 4 香 1 ，则 쳌 ൌ 2 香 4 2 ൌ 2 2 2 ൐ 0 ， 函数 晦 在 ⸲ 0,1晦 上单调递增， 晦 1晦 ൌ 3 0 ， 4 2 0 ． 函数 ⸲晦 在 ⸲ 1 , 香 ∞ 晦 上连续不断，存在唯一的零点． ⸲晦 在 ⸲ 1 , 香 ∞ 晦 上有零点． 综上可得： 0,1晦 ．………………… 11 分 （Ⅲ）证明：当 ൌ 1 时， ⸲晦 ൌ ൅⸲ 香 ⸲ 香 1 ， 令 䁨⸲晦 ൌ ⸲ 2 香 ⸲晦 ⸲晦 ൌ ⸲ ⸲ ൅⸲ ⸲ 1 ， 䁨쳌⸲晦 ൌ ⸲ 香 1晦 ⸲ 1 ⸲ 1 ൌ ⸲香1 ⸲ ⸲ ⸲ 1晦 ．………………… 12 分 令 ⸲晦 ൌ ⸲ ⸲ 1 ， ⸲ ൐ 0 ，则 쳌⸲晦 ൌ ⸲ 香 1晦 ⸲ ൐ 0 ． 函数 ⸲晦 在 ⸲ 0, 香 ∞ 晦 上单调递增． 0晦 ൌ 1 ， 1晦 ൌ 1 ൐ 0 ． 函数 ⸲晦 在区间 0,1晦 上存在一个零点，即函数 ⸲晦 在区间 0, 香 ∞ 晦 上存在唯一零点 ⸲0 0,1晦 ． 当 ⸲ 0,⸲0晦 时， ⸲晦 0 ，即 䁨쳌⸲晦 0 ，此时函数 䁨⸲晦 单调递减； 当 ⸲ ⸲0, 香 ∞ 晦 时， ⸲晦 ൐ 0 ，即 䁨쳌⸲晦 ൐ 0 ，此时函数 䁨⸲晦 单调递增．………… 14 分 䁨⸲晦ꀀ൅ ൌ 䁨⸲0晦 ൌ ⸲0 ⸲0 ൅⸲0 ⸲0 1 ， 由 ⸲0晦 ൌ 0 可得： ⸲0 ⸲0 ൌ 1 ． 两边取对数可得： ൅⸲0 香 ⸲0 ൌ 0 ． 故 F ⸲0晦 ൌ 1 ൅⸲0 香 ⸲0晦 1 ൌ 0 ， ⸲ 2 香 ⸲晦 ⸲晦 0 ，即 ⸲晦 ⸲晦 香 ⸲ 2 ．………………… 1 分 第 12 页，共 13 页 第 13 页，共 13 页