【数学】2018届一轮复习人教A版用排列组合的思想方法改编高考题学案

【数学】2018届一轮复习人教A版用排列组合的思想方法改编高考题学案

用排列组合的思想方法改编高考题 对于每年都在千变万化的高考题,我们如果仔细研究，不难发现，一些复杂的题设条件，如果用排列组合的思想方法改编就可以编出一组类似的题目，这种解题研究对于提高解题能力很有帮助,下面我们以一道函数导数高考题为例来说明这种研究方法.‎ 原题:已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,讨论的单调性;‎ ‎(Ⅱ)设当时,若对任意,存在使求实数的取值范围.‎ 解:(Ⅰ),其中.‎ ‎(1)当时，，由得单调增区间为，由得单调减区间为.‎ ‎(2)当,,令 得,,,‎ ‎①当=1即时, ,的单调减区间为.‎ ‎②当时, ,由得单调增区间为，由得单调减区间为,.‎ ‎③当时,, 由得单调增区间为，由得单调减区间为.‎ 综上,当时，单调增区间为，单调减区间为;‎ 当时, 的单调减区间为,‎ 当时, 单调增区间为，单调减区间为,.‎ ‎(Ⅱ)由(1)知,当时, 在单调递减,在上单调递增,所以的最小值为.‎ ‎“任意,存在使”等价于“任意某个”,即“的最小值的最小值”.‎ 因此,原题等价于在的最小值小于或等于.‎ ‎,对称轴为,又,‎ ‎①当时, ,解得,与矛盾,舍去.‎ ‎②当时, ,解得,与矛盾,舍去.‎ ‎③当时, ,解得.‎ 综上, 的取值范围是 第(Ⅱ)问的另一种解法:‎ 由(1)知,当时, 在单调递减,在上单调递增,所以的最小值为.‎ ‎“任意,存在使”等价于“任意某个”,即“的最小值的最小值”.‎ 因此,原题等价于在的最小值小于或等于.‎ 即不等式在有解，即在有解，令,则.又,在是减函数, ,所以,即的取值范围是 下面我们用排列与组合的方法将第(Ⅱ)问的题设“设当时,若任意,存在使”作如下改编，改编时，仅仅改变题中的 ‎“任意”与“存在”二字.我们看到“任意”与“存在”任取取两个，允许重复，共有以下四种取法：（任意，存在），（任意，任意），（存在，存在），（存在，任意），显然，（任意，存在）对应着原题，于是还有以下三种改编方法：‎ 改编之一 —（任意，任意）对应的题目：‎ 设当时,若任意,任意 使求实数的取值范围.‎ 解析：“任意,任意使”等价于“任意任意”,即“的最小值的最大值”.‎ 因此,原题等价于在的最大值小于或等于.‎ 即不等式在恒成立，即在恒成立，令,则.又,在是减函数, ,所以,即的取值范围是 改编之二——（存在，存在）对应的题目：‎ 设当时,若存在,存在 使求实数的取值范围.‎ 解析：“存在,存在使”等价于“某个某个”,即“的最大值的最小值”.本题中,当时, ,而的最小值显然为定值,因此实数的取值范围为.‎ 改编之三——（存在，任意）对应的题目：‎ 设当时,若存在,任意 使求实数的取值范围.‎ 解析：“存在,任意使”等价于“某个任意 ‎”,即“的最大值的最大值”.本题中,当时, ,而的最大值显然为定值,因此实数的取值范围为.‎ 下面我们把四种情况的转化情况列表比较:‎ 条件 条件的第一次转化 条件的第二次转化 任意,存在 使 任意某个 的最小值的最小值 任意,任意 使 任意任意 的最小值的最大值 存在,存在 使 某个某个 的最大值的最小值 存在,任意 使 某个任意 的最大值的最大值 为了更加清晰地观察其中的规律,我们对上表作如下改进:‎ 条件 条件的第一次转化 条件的第二次转化 任意,存在 使 任意某个 的最小值的最小值，即 任意,任意 使 任意任意 的最小值的最大值，即 存在,存在 使 某个某个 的最大值的最小值，即 存在,任意 使 某个任意 的最大值的最大值，即 巩固练习:‎ 设，‎ ‎（I）若对任意,存在使求实数的取值范围.‎ ‎（Ⅱ）若存在对任意使求实数的取值范围.‎ 参考答案:‎ 解：（I）由题意，，，‎ ‎①当时, ,由得,与矛盾,舍去.‎ ‎②当时, ,由解得,‎ 或，所以.‎ ‎③当时, ,由解得,所以.‎ 综上, 的取值范围是 ‎ ‎（Ⅱ）由题意，，，‎ ① 当时, ,由得,所以.‎ ② 当时, ,由得,所以.‎ 综上, 的取值范围是