上海市莘庄中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题

上海市莘庄中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题

莘庄中学 2019 学年第一学期 9 月考高一数学试卷 一、填空题。 1.集合 , ，若 ，则实数 m=______. 【答案】 或 【解析】 【分析】 根据 ，可得 ，得到 ，即可求解. 【详解】由 ，可得 ，所以 ，即 ， 解得 或 . 【点睛】本题主要考查了集合的表示，以及元素与集合的关系的应用，着重考查了推理与运 算能力，属于基础题. 2.已知全集 U=R，集合 ，则 =_________. 【答案】 【解析】 【分析】 求得集合 ，再根据集合补集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合 ，所以 . 【点睛】本题主要考查了集合运算及其应用，其中解答中准确求解集合 是解答的关键，着 重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3.满足 的集合 M 有___________个. 【答案】4 【解析】 【分析】 由集合 ，根据集合并集的运算，列举出所有的可能，即可得到答案. { }2= 1,2, 3 1A m m− − {1,3}B = {1,3}A B = 1− 4 {1,3}A B = 3 A∈ 2 3 1 3m m− − = {1,3}A B = 3 A∈ 2 3 1 3m m− − = 2 3 4 0m m− − = 1m = − 4m = 1M= | 01x x  < +  UC M { | 1}x x ≥ − { | 1}M x x= < − 1={ | 0} { | 1}1M x x xx < = < −+ { | 1}UC M x x= ≥ − M { } { }, , , ,M a b a b c d∪ = { } { }, , , ,M a b a b c d∪ = 【详解】由题意，集合满足 ， 则集合 可能为 ，共有 4 种可能，故答案为 4 个. 【点睛】本题主要考查了集合的并集运算及其应用，其中解答中熟记集合的并集运算，合理 列举是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4.命题“ ”的否命题是___________. 【答案】若 ，或 ，则 【解析】 【分析】 根据否命题的定义，条件和结论同时否定得到的新命题为原命题的否命题，即可求解. 【详解】由题意，根据否命题的概念，可得命题“若 ，且 ，则 ”的否命题 是“若 ，或 ，则 ”. 【点睛】本题主要考查了四种命题的概念及其应用，其中解答中熟记否命题的定义是解答的 关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 5.若不等式 的解集为 R，则实数 m 的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】 由不等式 的解集为 R，只需 ，列出不等式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意不等式 的解集为 R，只需 ， 解得 ，即实数 的取值范围是 . 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的恒成立问题，其中解答中熟记一元二次函数的性 质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6.已知不等式 的解集是 ，则不等式 的解集 { } { }, , , ,M a b a b c d∪ = M { , },{ , , },{ , , },{ , , , }c d a c d b c d a b c d 0 0, 0x y xy> > >若 且 则 0x ≤ 0y ≤ 0xy ≤ 0x > 0y > 0xy > 0x ≤ 0y ≤ 0xy ≤ 23 0x x m− + > 1( , )12 +∞ 23 0x x m− + > ∆ < 0 23 0x x m− + > 2( 1) 4 3 0m∆ = − − × < 1 12m > m 1( , )12 +∞ 2 5 0ax x b− + > { }| 3 2x x− < < − 2 5 0bx x a− + > 是_________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据不等式 的解集是 ，求得 的值，从而求解不等式 的解集，得到答案. 【详解】由题意，因为不等式 的解集是 ， 可得 ，解得 ， 所以不等式 为 ， 即 ，解得 ， 即不等式 的解集为 . 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键， 求得 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7.设集合 ， ，若 ，则实数 t 的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】 求出关于 的不等式，得到集合 ，再根据集合之间的关系，即可求解实数 t 的取值范围. 【详解】由题意，集合 ， 又由 ，且 ，所以 ，即实数 的取值范围是 . 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及集合的运算及其应用，其中解答中正确 求解集合 ，熟记集合的运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 1 1( , )2 3 − − 2 5 0ax x b− + > { }| 3 2x x− < < − ,a b 2 5 0bx x a− + > 2 5 0ax x b− + > { }| 3 2x x− < < − 53 ( 2) ( 3) ( 2) a b a − + − =  − × − = 1, 6a b= − = − 2 5 0bx x a− + > 26 5 1 0x x− − − > 26 5 1 (3 1)(2 1) 0x x x x+ + = + + < 1 1 2 3x− < < − 2 5 0bx x a− + > 1 1( , )2 3 − − ,a b { }| 2 3A x x= − ≤ { }|B x x t= < A B⊆ (5, )+∞ A A { }| 2 3 { | 1 5}A x x x x= − ≤ = − ≤ ≤ { }|B x x t= < A B⊆ 5t > t (5, )+∞ A 8.已知集合 ， ， ，则下图中阴影部分表示的 x 的区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 求得集合 ， ，进而得到则 和 ， 即可求解. 【 详 解 】 由 题 意 ， 集 合 ， ， 则 ，则 即图中阴影部分表示的 的区间为 . 【点睛】本题主要考查了集合的运算，以及集合的表示方法的应用，其中解答中正确求解集 合 ，以及熟练应用集合的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9.已知集合 ， ，则 =________ 【答案】 【解析】 【分析】 求得集合 ， ，再根据集合的交集的运算，即可求解. . { }2| 2 0M x x x= − ≤ 3| 01 xN x x + = < −  U R= ( 3,0)− { }| 0 2M x x= ≤ ≤ { }| 3 1N x x= − < < M N∩ ( )NC M N { } { }2| 2 0 | 0 2M x x x x x= − ≤ = ≤ ≤ { }3| 0 | 3 11 xN x x xx + = < = − < < −  { }| 0 1M N x x= ≤ < { }) |( 3 0N xC M N x−= < < x ( 3,0)− ,M N { }2| 1,M y y x x R= = − ∈ { }2| 4N x y x= = − M N∩ { | 1 2}x x− ≤ ≤ { | 1}M y y= ≥ − { | 2 2}N x x= − ≤ ≤ 【 详 解 】 由 集 合 ， ， 则 . 【点睛】本题主要考查了集合运算，其中解答中正确求解集合 ，熟记集合的运算方法是 解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 10.已知 , ，若“ ”是“ ”的 充分条件，则实数 b 的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 求得集合 ，根据 是 的充分条件，即可求解. 【详解】由题意，集合 ， 又由 ，所以方程 的两个根分别为 ， 要使得 ，则 ， 即实数 的取值范围是 . 【点睛】本题主要考查了分式不等式，一元二次不等式的求解，以及充分条件的判定及应用， 着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 11.已知集合 中的所有元素之和为 2，则实数 a 的取值集 合为______． 【答案】 或 【解析】 【分析】 { }2| 1, { | 1}M y y x x R y y= = − ∈ = ≥ − { }2| 4 { | 2 2}N x y x x x= = − = − ≤ ≤ { | 1 2}M N x x∩ = − ≤ ≤ ,M N 2| 01 xA x x − = < +  ( )( ){ }| 0B x x a x b= − − < 1a = − A B φ∩ = ( , 1]−∞ − { | 1 2}A x x= − < < 1a = − A B φ∩ = 2| 0 { | 1 2}1 xA x x xx − = < = − < < +  1a = − ( )( ) 0x a x b− − = 1,b− A B φ∩ = 1b ≤ − b ( , 1]−∞ − ( )( )2{x | x 2 x 2x a 0,x R}− − + = ∈ {a | a 0= a 1}> 推导出 的解为 或无解，由此能求出实数 a 的取值集合． 【详解】 集合 中 所有元素之和为 2，已经确定 2 是 其中的元素， 的解为 或无解， 或 ， 解得 ． 实数 a 的取值集合为 或 ． 故答案为： 或 ． 【点睛】本题考查实数的取值集合的求法，考查集合定义等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题． 12.若规定集合 的子集 为 M 的 第 k 个子集，其中 ,则 M 的第二十五个子集是______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据定义将 25 表示成 的形式，由新定义求出 的第 25 个子集，即可求解. 【详解】由题意，集合 的第 25 个子集，且 ， 又 ， 所以集合 的第 25 个子集是 . 【点睛】本题主要考查了子集与真子集，以及集合中新定义的应用，着重考查了分析问题和 解答问题的能力，属于中档试题. 二、选择题. 13.已知 ，若 ，则下列不等式成立的是 (　　) 的 2x 2x a 0− + = x 0=  ( )( )2{x | x 2 x 2x a 0,x R}− − + = ∈ 2x 2x a 0∴ − + = x 0= a 0∴ = 4 4a 0= − < a 1> ∴ {a | a 0= a 1}> {a | a 0= a 1}> { }( )* 1 2, , nM a a a n N= ∈， { }( ) 1 2 *, , ki i iN a a a k N= ∈， 1 2 11 12 2 2 kii ik −− −= + + + 1 4 5{ , , }a a a 2n M M 1 2 11 12 2 2 mii ik −− −= + + + 0 3 4 1 1 4 1 5 125 2 2 2 2 2 2− − −= + + = + + M 1 4 5{ , , }a a a , ,a b c∈R a b> A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 根据不等式的性质对每一个选项进行证明，或找反例进行排除. 【详解】解：选项 A：取 ，此时满足条件 ，则 ，显然 ，所以选项 A 错误； 选项 B：取 ，此时满足条件 ，则 ，显然 ，所以选项 B 错误； 选项 C：因为 ，所以 ，因为 ，所以 ， 选项 C 正确； 选项 D：取 ，当 ，则 ，所以 ，所以选项 D 错误； 故本题选 C. 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键. 14.已知集合 S={ }中的三个元素可构成 ABC 的三条边长，那么 ABC 一定不是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角 形 【答案】D 【解析】 【详解】因为集合 中的元素是 的三边长， 由集合元素的互异性可知 互不相等， 所以 一定不是等腰三角形, 故选 D. 【 1 1 a b < 2 2a b> 2 21 1 a b c c >+ + a c b c> 1, 1a b= = − a b> ,1 11 1a b = = − 1 1 a b > 1, 1a b= = − a b> 2 21, 1a b= = 2 2a b= 2c 1 1+ ≥ 2 10 1 c 1 < ≤ + a b> 2 21 1 a b c c >+ + 0c = a b> | | , | |a c 0 b c 0= = | | | |a c b c= 15.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后 一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 因为：不到蓬莱→不成仙，∴成仙→到蓬莱，“成仙”是“到蓬莱”的充分条件，选 A. 点睛：充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若 则 ”、“若 则 ” 真假．并注意和图示相结合，例如“ ⇒ ”为真，则 是 的充分条件． 2．等价法：利用 ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇔ 与非 ⇔非 的等价关系， 对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若 ⊆ ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ＝ ，则 是 的 充要条件． 16.已知非空集合 M 满足：对任意 ，总有 ，且 ，若 ，则满足条件的 M 的个数是（ ） A. 11 B. 12 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】 可得集合 是集合 的非空子集，且 不同时出现，即可得到结论. 【详解】由题意，可得集合 是集合 的非空子集，共有 个， 且 不能同时出现，同时出现共有 4 个， 所以满足题意的集合 的个数为 11 个，故选 A. 【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的子集个数的判定及应用，着重考查 了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 的p q q p p q p q p q q p q p p q p q q p A B A B B A A B A B x M∈ 2x M∉ x M∉ { }0,1,2,3,4,5M ⊆ M { }2,3,4,5 2,4 M { }2,3,4,5 42 1 15− = 2,4 M 三、解答题。 17.已知集合 A={-4，2a-1，a2}，B={a-5，1-a，9}，分别求适合下列条件的 a 的值． (1)9∈(A∩B)；(2){9}=A∩B． 【答案】（1） 或 ；（2） ． 【解析】 【分析】 （1）根据交集的定义分类讨论 9 对应的元素，并检验是否满足题意.（2）根据交集的定义分 类讨论 9 对应的元素，并检验是否满足题意. 【详解】(1)∵9∈A∩B 且 9∈B，∴9∈A. ∴2a－1＝9 或 a2＝9.∴a＝5 或 a＝±3. 而当 a＝3 时，a－5＝1－a＝－2，故舍去． ∴a＝5 或 a＝－3. (2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A∩B. ∴a＝5 或 a＝－3. 而当 a＝5 时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}， 此时 A∩B＝{－4，9}≠{9}，故 a＝5 舍去． ∴a＝－3. 【点睛】9∈A∩B 与{9}＝A∩B 意义不同，9∈A∩B 说明 9 是 A 与 B 的一个公共元素，但 A 与 B 允许有其他公共元素．而{9}＝A∩B 说明 A 与 B 的公共元素有且只有一个 9. 18.已知集合 ， （1）当 时，求集合 ； （2）若 ,求实数 a 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）求出集合 ，当 时，求出集合 ，利用集合交集的定义，即可求解； （2）根据 ，可得 ，利用集合的关系列出不等式组，即可求解. 5a = 3a = − 3a = − { }| 1 1A x x= − ≤ { }2 2| 4 3 0, 0B x x ax a a= − + ≤ ≥ 1a = A B∩ A B B∩ = { |1 2}x x≤ ≤ 2[0, ]3 A 1a = B A B B= B A⊆ 【详解】（1）由题意， ，解得 ，即集合 ， 当 时，集合 ， 所以 ； （2）由题意，不等式 ， 因为 ，解得 ，即集合 ， 又因为 ，可得 ， 可得 ，解得 ，即实数 的取值范围是 . 【点睛】本题主要考查了集合的包含关系的应用，以及集合的交集的运算，其中解答中正确 求解集合 ，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 19.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫 做刹车距离，在某种路面上，某种型号的汽车的刹车距离 s（m）与汽车的车速 v（m/s）满足 下列关系： （n 为常数，且 ），做了两次刹车实验，发现实验数据如图所 示其中 （1）求出 n 的值； （2）要使刹车距离不超过 12.6 米，则行驶的最大速度应为多少？ 【答案】（1）6； （2）行驶的最大速度应为每小时 千米. 【解析】 【分析】 1 1x − ≤ 0 2x≤ ≤ { }|0 2A x x= ≤ ≤ 1a = { }2| 4 3 0 { |1 3}B x x x x x= − + ≤ = ≤ ≤ { |1 2}A B x x= ≤ ≤ 2 2 ( )( 3 )4 3 0x a x ax ax a = − −− + ≤ 0a ≥ 3a x a≤ ≤ { }| 3B x a x a= ≤ ≤ A B B= B A⊆ 0 3 2 a a ≥  ≤ 20 3a≤ ≤ a 2[0, ]3 ,A B 2 100 400 nv vs = + n N∈ 1 2 6 8 14 17 s s < <  < < 60 （1）根据 ，将不等式代入关系式 ，即可求解； （2）利用要使得刹车距离不超过 米，得出 ，解不等式，即可求得结论. 【详解】由题意，汽车 刹车距离 s（m）与汽车的车速 v（m/s）满足下列关系 （ 为常数，且 ），且 ，即 ， 解得 ，又由 ，所以 . （2）由（1）可得 ， 要使得刹车距离不超过 米，即 ，即 ， 即 ，解得 ， 所以行驶的最大速度应为每小时 千米. 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，以及一元二次不等式的解法，其中解答中认真审 题，结合实际问题列出相应的不等式（组）是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题 的能力，属于基础题. 20.对于函数 与 ，记集合 ; （1）设 , ，求 . （2）设 , ，若 ,求实数 a 的取值范围. （3）设 .如果 求实数 b 的取值 范围. 【答案】（1） 或 ； （2） ； （3） . 【解析】 的 1 26 8,14 17s s< < < < 2 100 400 nv vs = + 12.6 12.6s ≤ 2 100 400 nv vs = + n n N∈ 1 2 6 8 14 17 s s < <  < < 40 16006 8100 400 70 490014 17100 400 n n  < + <  < + < 5 10 5 95 2 14 n n < < < < n N∈ 6n = 2 26 3 100 400 50 400 v v v vs = + = + 12.6 12.6s ≤ 23 12.650 400 v v+ ≤ 2 24 5040 ( 84)( 60) 0v v v v+ − = + − ≤ 0 60v≤ ≤ 60 ( )f x ( )g x ( ) ( ){ }|f gD x f x g x> = > ( ) 2f x x= − ( ) 1g x = f gD > ( ) 2 1f x ax ax= + + ( ) 2g x x x= + f gD R> = ( ) ( ) ( )1 21, , 01 x bf x x b f x h xx −= − + = =− 1 2 ,f h f hD D R> >∪ = { | 3x x > 1}x < [1,5) ( ,2)−∞ 【分析】 （1）由题意，得到不等式 ，即可求解； （2）由 ，得出不等式 在 上恒成立，利用二次函数的性 质，分类讨论，即可求解； ③由 ，求得 ，又由 ，可得 ，分类讨论，使得 ，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数 , ， 令 ，即 或 ，解得 或 所以 或 . （2）由题意，函数 , ， 又由 ，即不等式 的解集为 , 即 在 上恒成立， ①当 时，即 时，不等式为 在 上恒成立； ②当 时，则满足 且 ，解得 ， 综上所述，实数 的取值范围是 . ③由题意，函数 ， 由 ，可得 ，解得 ， 又由 ，可得 ， ①当 时，不等式 的解集为 ，要使得 ， 则满足 ，即 ，所以此时 ； ②当 时，不等式 的解集为 或 ，要使得 ， 则满足 ，即 ，所以此时 ； ③当 时，不等式 的解集为 或 ，要使得 ， 则满足 恒成立，所以此时 ， 2 1x − > f gD R> = 2( 1 ) ( 1) 1 0a x a x− + − + > R 1( ) ( )f x h x> 1x b> − 2 ( ) ( )f x h x> 01 x b x − >− 1 2f h f hD D R> >∪ = ( ) 2f x x= − ( ) 1g x = 2 1x − > 2 1x − > 2 1x − < − 3x > 1x < { | 3f gD x x> = > 1}x < ( ) 2 1f x ax ax= + + ( ) 2g x x x= + f gD R> = 2 21ax ax x x+ + > + R 2( 1) ( 1) 1 0a x a x− + − + > R 1 0a − = 1a = 1 0> R 1 0a − ≠ 1 0a − > 2( 1) 4( 1) 0a a∆ = − − − < 1 5a< < a [1,5) ( ) ( ) ( )1 21, , 01 x bf x x b f x h xx −= − + = =− 1( ) ( )f x h x> 1 0x b− + > 1x b> − 2 ( ) ( )f x h x> 01 x b x − >− 1b = 01 x b x − >− { | 1}x x ≠ 1 2f h f hD D R> >∪ = 1 1b − < 2b < 1b = 1b > 01 x b x − >− { | 1x x < }x b> 1 2f h f hD D R> >∪ = 1 1b − < 2b < 1 2b< < 1b< 01 x b x − >− { |x x b< 1}x > 1 2f h f hD D R> >∪ = 1b b− < 1b< 综上所述，实数 的取值范围是 . 【点睛】本题主要考查了函数的新定义的应用，绝对值不等式、分式不等式的解法，以及利 用一元二次函数的性质求解不等式的恒成立问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力， 属于中档试题. 21.已知集合 集合 ，集合 ，且集合 D 满 足 . （1）求实数 a 的值. （2）对集合 ，其中 ，定义由 中的元素构 成两个相应的集合: , , 其中 是有序实数对，集合 S 和 T 中的元素个数分别为 和 ，若对任意的 ,总有 ，则称集合 具有性质 P. ①请检验集合 是否具有性质 P，并对其中具有性质 P 的集合，写出相应的集合 S 和 T. ②试判断 m 和 n 的大小关系，并证明你的结论. 【答案】（1） ； （2）①见解析；②见解析. 【解析】 【分析】 （1）由 ， ，得到 ，代入方程，求得 或 ，检验即可 求解实数 的值； （2）①由（1）求得 ， ，检验性质，即可得到结论； ②根据 不相等，所以 与 的个数相同，即可得出结论 . 【详解】（1）由题意，集合 ，集合 ， 因为 ，可得 ， 即 是方程 的一个根， b ( ,2)−∞ 2 2{ | 19 0}D x x ax a= − + − = { }1,2,3B = { }0,1,2C = ,D B D C∩ ≠ ∅ ∩ = ∅ { }( )1 2, , 2kA a a a k= ≥， ( )1,2,ia i k∈ = Z A ( ){ }, | , ,S a b a A b A a b A= ∈ ∈ + ∈ ( ){ }, | , ,T a b a A b A a b A= ∈ ∈ − ∈ ( ),a b m n a A∈ − ∉a A A B C B D∪ ∪与 2a = − D B φ∩ ≠ D C φ∩ = 3 D∈ 5a = 2a = − a B C∪ B D ,a b +a b −a b m n= { }1,2,3B = { }0,1,2C = ,D B D Cφ φ∩ ≠ ∩ = 3 D∈ 3x = 2 2 19 0x ax a− + − = 即 ，即 ，解得 或 ， 当 时，方程 ，解得 或 ，此时 （不合题意，舍去）， 当 时，方程 ，解得 或 ，此时 （适合题意）， 所以 ； （2）①由（1）可知 ， ， 此时集合 不满足性质 P，集合 满足性质 P， 则 ， ② 与 的大小关系为： ， 证明如下： , ， 所以 不相等，所以 与 的个数相同， 所以 . 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算及其应用，以及不等式的性质和实数大小的判定的 综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题. 2 23 3 19 0a a− + − = 2 3 15 0a a− − = 5a = 2a = − 5a = 2 5 6 0x x− + = 2x = 3x = {2,3}D = 2a = − 2 2 15 0x x+ − = 5x = − 3x = {3, 5}D = − 2a = − {0,1,2,3}B C = { 5,1,2,3}B D = − B C∪ B D {(1,2),(2,1)}S = {(2,1),(3,1),(3,2)}T = m n m n= ( ){ }, | , ,S a b a A b A a b A= ∈ ∈ + ∈ ( ){ }, | , ,T a b a A b A a b A= ∈ ∈ − ∈ ,a b +a b −a b m n=