数学卷·2018届湖南省衡阳县第二中学高二第一次月考理科数学试卷（解析版）

数学卷·2018届湖南省衡阳县第二中学高二第一次月考理科数学试卷（解析版）

‎2016-2017年湖南省衡阳县第二中学高二第一次月考理科数学 一、选择题：共12题 ‎1．设命题：对，则为 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查的是命题的否定，意在考查考生的逻辑推理能力.‎ 根据全称命题的否定是特称命题得到命题的否定为：，故选C.‎ ‎ ‎ ‎2．在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝135°，则△ABC的面积等于 A. B.3 C.3 D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查的是三角形面积的求法，意在考查考生的运算求解能力.‎ 在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝135°，则△ABC的面积,故选A.‎ ‎ ‎ ‎3．已知数列满足， ，则此数列的通项等于 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查的是等差数列通项公式的求法，意在考查考生的运算求解能力.‎ 由数列满足 ，可得数列是等差数列，,故,故选D.‎ ‎ ‎ ‎4．“tanα＝1”是“α＝”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查的是充分条件和必要条件的判断，意在考查考生的逻辑推理能力.‎ 若tanα＝1，则,充分性不成立；若α＝，则tanα＝1，必要性成立，故“tanα＝1”是“α＝”的必要不充分条件，故选B.‎ ‎ ‎ ‎5．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是 A. B.>1 C.a21，所以,故,整理得ab0的解集为{x|0的解集为{x|a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________.‎ ‎【答案】(－∞，1)‎ ‎【解析】本题主要考查的是充分条件和必要条件，意在考查考生的推理能力和计算能力.‎ p：1－x<0，解得,因为p是q的充分不必要条件，所以故a的取值范围是(－∞，1).‎ ‎ ‎ ‎16．已知点与点在直线的两侧，给出下列说法：‎ ‎①；②当时，有最小值，无最大值；③；④当且时，的取值范围是.其中所有正确说法的序号是__________.‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】本题主要考查的是命题的真假判断与应用，线性规划的简单应用，意在考查考生分析问题、解决问题的能力.‎ 因为点与点在直线的两侧，故点在如图所示的平面区域内，‎ 故,即①错误；‎ 当时，,即无最小值，也无最大值，故②错误；‎ 设原点到直线的距离为，则，则，故③正确；且时，表示点与点连线的斜率，当时，,又因为直线的斜率为，故的取值范围是，故④正确.‎ 三、解答题：共6题 ‎17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量与平行.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)若，b＝2，求△ABC的面积.‎ ‎【答案】(1)因为∥，所以－＝0，‎ 由正弦定理得－＝0，‎ 又≠0，从而，由于00，所以c＝3.‎ 故△ABC的面积为.‎ ‎【解析】本题主要考查的是正、余弦定理的应用以及向量共线的充要条件，意在考查考生的运算求解能力.‎ ‎(1)利用向量平行，列出方程，计算求解即可;‎ ‎(2)利用余弦定理求出，然后用面积公式计算即可.‎ ‎ ‎ ‎18．已知关于x，y的二元一次不等式组 ‎(1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值；‎ ‎(2)求函数z＝x＋2y＋2的最大值和最小值.‎ ‎【答案】(1)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示.‎ 由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u变化的一组平行线，‎ 由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小.‎ 解方程组得C(－2,3)，‎ ‎∴umin＝3×(－2)－3＝－9.‎ 当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大，‎ 解方程组得B(2,1)，‎ ‎∴umax＝3×2－1＝5.‎ ‎∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9.‎ ‎(2)作出二元一次不等式组表示的平面区域，‎ 如图所示.‎ 由z＝x＋2y＋2，得y＝－＋－1，得到斜率为－，在y轴上的截距为－1，且随z变化的一组平行线.‎ 由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距－1最小，即z最小，‎ 解方程组得A(－2，－3)，‎ ‎∴zmin＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.‎ 当直线y＝－＋－1与直线x＋2y＝4重合时，截距－1最大，即z最大，‎ ‎∴zmax＝x＋2y＋2＝4＋2＝6.‎ ‎∴z＝x＋2y＋2的最大值是6，最小值是－6.‎ ‎【解析】本题主要考查的是简单线性规划的应用，意在考查考生分析问题、解决问题的能力.‎ ‎(1)作出不等式组对应的平面区域，利用u的几何意义即可求出函数u＝3x－y的最大值和最小值;‎ ‎(2)作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可求出函数z＝x＋2y＋2的最大值和最小值;‎ ‎ ‎ ‎19．设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.‎ ‎【答案】(1)设q为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2，所以{an}的通项为an＝2·2n－1＝2n(n∈N*).‎ ‎(2)Sn＝＋n×1＋×2＝2n＋1＋n2－2.‎ ‎【解析】本题主要考查的是等比数列的通项公式和求和，意在考查考生的运算求解能力.‎ ‎(1)由{an}是公比为正数的等比数列，设出公比q，根据a1＝2，a3＝a2＋4，求得,得到{an}的通项公式；‎ ‎(2)利用等差数列和等比数列的前项和公式即可求得数列{an＋bn}的前n项和.‎ ‎ ‎ ‎20．某企业要建造一个容积为18m3，深为2m的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得能总造价最低？最低总造价为多少？‎ ‎【答案】将水池的地面设计成边长为3m的正方形时总造价最低，最低总造价为5400元.‎ 设底面的长为xm，宽为ym，水池总造价为z元，‎ 则由容积为18m3，可得：2xy=16，因此xy=9，‎ z=200×9+150(2×2x+2×2y)=1800+600(x+y)≥1800+600•2=5400‎ 当且仅当x=y=3时，取等号.‎ 所以，将水池的地面设计成边长为3m的正方形时总造价最低，最低总造价为5400元.‎ ‎【解析】本题主要考查的是基本不等式在最值问题中的应用，意在考查考生分析问题、解决问题的能力.‎ 设底面的长为xm，宽为ym，水池总造价为z元，建立函数关系式，求出的最小值.‎ ‎ ‎ ‎21．已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N*).‎ ‎(1)证明数列{}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1，求Sn.‎ ‎【答案】(1)由已知，得an＋1＝.‎ ‎∴＝＋3.‎ 即－＝3.‎ ‎∴数列{}是首项＝1，公差d＝3的等差数列.‎ ‎∴＝1＋(n－1)×3＝3n－2，‎ ‎∴an＝ (n∈N*).‎ ‎(2)∵anan＋1＝＝ (－)，‎ ‎∴Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1‎ ‎＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]‎ ‎＝(1－)＝.‎ ‎【解析】本题主要考查的是等差数列的证明和裂项法求和，意在考查考生的运算求解能力.‎ ‎(1)由已知得：－＝3，根据等差数列的定义可得：数列{}是等差数列，进而求得通项公式；‎ ‎(2)用裂项求和的方法得到答案.‎ ‎ ‎ ‎22．已知函数.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)数列满足 求证：数列是等差数列 ‎(3,，试比较与的大小.‎ ‎【答案】(1)f(x)对任意 ‎.‎ 令.‎ ‎(2)证明：f(x)对任意x∈R都有 则令 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴=++‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴{an}是等差数列.‎ ‎(3)解：由(2)有 ‎∴‎ ‎∴=<‎ ‎=‎ ‎.‎ ‎【解析】本题主要考查的是等差数列的定义和通项公式，数列的求和以及不等式的证明，意在考查考生对知识的综合运用能力.‎ ‎(1)分别令，结合条件，即可求出结果；‎ ‎(2)令，再应用倒序相加，求出an，再由等差数列的定义，即可得证；‎ ‎(3)先对化简，再将放缩，用裂项相消法求和，整理得到答案.‎ ‎ ‎