【数学】2020届一轮复习人教A版 复数 学案

【数学】2020届一轮复习人教A版 复数 学案

第二节复__数 ‎1.复数的有关概念 ‎(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部.‎ ‎(2)复数的分类：z＝a＋bi 有关复数的3点注意 ‎(1)若一个复数是实数，仅注重虚部为0是不够的，还要考虑它的实部是否有意义.‎ ‎(2)一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.‎ ‎(3)两个不全为实数的复数不能比较大小.‎ ‎(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).‎ ‎(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).‎ ‎(5)复数的模：‎ 向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.‎ ‎2.复数的几何意义 ‎(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).‎ ‎(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.‎ ‎3.复数的运算 ‎(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ‎①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；‎ ‎②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；‎ ‎③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；‎ ‎④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0).‎ ‎(2)复数加法的运算定律 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：‎ ‎①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；‎ ‎②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).‎ ‎[熟记常用结论]‎ ‎1.(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.‎ ‎2.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)，‎ i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*).‎ ‎3.z· ＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.‎ ‎4.复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量， 不共线，则复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.‎ ‎5.复数减法的几何意义：复数z1－z2是－＝所对应的复数.‎ ‎[小题查验基础]‎ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)方程x2＋x＋1＝0没有解.(　　)‎ ‎(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)‎ ‎(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(　　)‎ ‎(4)原点是实轴与虚轴的交点.(　　)‎ ‎(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√‎ 二、选填题 ‎1.设x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则复数z＝x＋yi在复平面上对应的点位于(　　)‎ A.第一象限　　　　　　　　 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：选D　由题意得所以x＝4，y＝－2，‎ 所以复数z＝4－2i位于复平面的第四象限，故选D.‎ ‎2.若复数z＝，其中i为虚数单位，则＝(　　)‎ A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i 解析：选B　∵z＝＝＝1＋i，∴＝1－i，故选B. ‎ ‎3.化简：＝________.‎ 解析：＝＝＝1－i.‎ 答案：1－i ‎4.已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则|z|＝________.‎ 解析：∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i＋2i2＝－1＋3i，‎ ‎∴|z|＝＝.‎ 答案： 考点一 复数的有关概念[基础自学过关]‎ ‎[题组练透]‎ ‎1.(2019·湘东五校联考)若复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为(　　)‎ A.－1　　　　　　　　　 B.0‎ C.1 D.2‎ 解析：选C　由纯虚数的概念得解得m＝1.‎ ‎2.(2019·黄冈模拟)已知复数z＝＋的实部与虚部的和为2，则实数a的值为(　　)‎ A.0 B.1‎ C.2 D.3‎ 解析：选D　易知z＝＋＝＋＝＋，由题意得＋＝2，解得a＝3.故选D.‎ ‎3.(2018·唐山五校联考)已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为(　　)‎ A.－3－i B.－3＋i C.3＋i D.3－i 解析：选C　由题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以＝3＋i，故选C.‎ ‎4.(2019·重庆调研)已知i为虚数单位，复数z＝，则|z|＝________.‎ 解析：|z|＝＝＝＝.‎ 答案： ‎[名师微点]‎ 解决复数概念问题的方法及注意事项 ‎(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.‎ ‎(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数.复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).‎ 考点二 复数的运算[基础自学过关]‎ ‎[题组练透]‎ ‎1.(2018·全国卷Ⅱ)＝(　　)‎ A.－－i　　　　　　 B.－＋i C.－－i D.－＋i 解析：选D　＝＝＝－＋i.‎ ‎2.(2019·合肥质检)已知i为虚数单位，则＝(　　)‎ A.5 B.5i C.－－i D.－＋i 解析：选A　＝＝5，故选A.‎ ‎3.(2019·贵阳模拟)设i为虚数单位，复数z满足i(z＋1)＝1，则复数z＝(　　)‎ A.1＋i B.1－i C.－1－i D.－1＋i 解析：选C　由题意，得z＝－1＝－1－i，故选C.‎ ‎4.(2018·惠州模拟)已知复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝(　　)‎ A.i B.－1＋i C.－1－i D.－i 解析：选C　由已知可得＝＝＝－1＋i，则z＝－1－i，故选C.‎ ‎5.(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)‎ A.0　　　 　 　 　　　　 B. C.1 D. 解析：选C　∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝1.故选C.‎ ‎[名师微点]‎ 复数代数形式运算问题的解题策略 复数的 加减法 在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可 复数的 乘法 复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可 复数的 除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式 考点三 复数的几何意义[基础自学过关]‎ ‎[题组练透]‎ ‎1.(2018·武汉调研)设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于(　　)‎ A.第一象限　　　　　　 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：选D　∵x，y是实数，∴(1－i)x＝x－xi＝1＋yi，∴解得 ‎∴x＋yi在复平面内所对应的点为(1，－1)，位于第四象限.故选D.‎ ‎2.(2019·沈阳质量监测)已知i为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)‎ A.第一象限　　　　　　 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：选B　＝＝－－i，其共轭复数为－＋i，在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.‎ ‎3.若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，1) B.(－∞，－1)‎ C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)‎ 解析：选B　因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，‎ 所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，‎ 又此点在第二象限，所以解得a＜－1.‎ ‎4.设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝(　　)‎ A.1＋i B.＋i C.1＋i D.1＋i 解析：选B　因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i，故选B.‎ ‎5.已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________.‎ 解析：由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，‎ 根据＝λ＋μ，得 ‎(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，‎ ‎∴解得 ‎∴λ＋μ＝1.‎ 答案：1‎ ‎[名师微点]‎ ‎1.准确理解复数的几何意义 ‎(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.‎ ‎(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.‎ ‎2.与复数的几何意义相关问题的一般步骤 ‎(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；‎ ‎(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应.‎