数学理卷·2017届四川省成都经济技术开发区实验中学校高三12月月考（2016

数学理卷·2017届四川省成都经济技术开发区实验中学校高三12月月考（2016

成都经开区实验中学2014级高三上期12月月考试题 数 学（理工类）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。满分150分，考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷(选择题，共60分)‎ 注意事项：‎ ‎ 1．必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.‎ ‎ 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。‎ 1． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则 （ ）‎ ‎ A. B． C． D．‎ ‎2.设复数为纯虚数，，且，则的值为（ ）‎ ‎ A． 3 B． ‎1 C．-3 D．-1‎ ‎3.命题“”的否定是（ ）‎ ‎ A.“” B.“”‎ ‎ C.“” D.“”‎ ‎4. 已知是公差不为的等差数列的前项和，且，，成等比数列，则等于（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知定义在上的偶函数，满足，且在区间上是增函数,那么是函数在区间上有个零点的( )‎ A．充分必要条件 B．充分不必要条件 ‎ C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 ‎6.中，角所对的边分别为，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.如图所示的五边形是由一个矩形截去一个角而得，且，，，，则等于（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C. D．‎ ‎8.已知函数（其中）的图像与直线的2个相邻公共点之间的距离等于，则的单调递减区间是（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎9.已知抛物线的焦点为，点为上一动点，，,且的最小值为，则等于（ ）‎ ‎ A． 4 B． C. 5 D．‎ ‎10. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，这个空间几何体的顶点均在同一个球面上，则此球的体积与表面积之比为( )‎ A．31 B．‎13 C．41 D．32‎ ‎11．已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于 两点，若的最大值为5，则的值是（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎12.已知函数，若关于的方程存在2个实数根，则的取值范围为（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C. D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.设满足约束条件，则的最小值为_________. ‎ ‎14．已知偶函数f(x)，当 时， ，当 时， ‎ 则 .‎ ‎15.设，则_____________. ‎ ‎16.已知实数满足，则的最小值为 .‎ 三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数 ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）记的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若的面 积，求的值。‎ ‎18.已知函数 ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）若，且，求的值.‎ ‎19.如下图所示，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成的角为60°.‎ ‎(1)求证：AC⊥平面BDE； (2)求二面角F－BE－D的余弦值；‎ ‎(3)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 如图，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，右焦点为，点分别是该椭圆的上、下顶点，点是直线上的一个动点（与轴交点除外），直线交椭圆于另一点，记直线，的斜率分别为.‎ ‎（1）当直线过点时，求的值；‎ ‎（2）求的最小值，并确定此时直线的方程.‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 设函数．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，若方程在上有两个实数解，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）证明：当时，．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.‎ ‎22． (本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以O为原点，以x轴正半轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ+3=0，直线l的参数方程为，（t为参数）．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线C和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若点A，B是曲线C上的两动点，点P是直线l上一动点，求∠APB的最大值．‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知，为不等式的解集.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求证：当时，.‎ 成都经开区实验中学2014级高三上期12月月考试题 数学（理工类）参考答案 ‎1—5 CBCCD 6—10 DCABB 11—12 AB ‎13.-2 14. 15. 16.‎ ‎18.解：‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）因为 ，最大值为2； ‎ ‎（Ⅱ）因为，故，由得，‎ 则，则 ‎19.(1)∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AC，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又DE∩BD＝D，∴AC⊥平面BDE.-------------------------4分 ‎(2)∵DE⊥平面ABCD，∴∠EBD就是BE与平面ABCD所成的角，即∠EBD＝60°.‎ ‎∴＝.由AD＝3，得DE＝3，AF＝.‎ 如图所示，分别以DA，DC，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(3,0,0)，F(3,0，)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，‎ ‎∴＝(0，－3，)，＝(3,0，－2)．‎ 设平面BEF的法向量为＝(x，y，z)，则 即.‎ 令z＝，则＝(4,2，)．‎ ‎∵AC⊥平面BDE，‎ ‎∴＝(3，－3,0)为平面BDE的一个法向量，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝＝.‎ 又二面角F－BE－D为锐角，故二面角F－BE－D的余弦值为.------8分 ‎(3)依题意，设M(t，t,0)(0≤t≤3)，则＝(t－3，t,0)，‎ ‎∴AM∥平面BEF，∴·＝0，‎ 即4(t－3)＋2t＝0，解得t＝2.‎ ‎∴点M的坐标为(2,2,0)，此时＝，‎ ‎∴点M是线段BD上靠近B点的三等分点．--------12分 ‎20.解：（1）由椭圆的长轴长是短轴长的2倍得.………………‎ ‎1分 由题意，，焦点，当直线过点时，则直线的方程为，即，令得，则.………………3分 联立解得或（舍），即.………………4分 因为，，………………5分 所以.………………6分 ‎（2）设，且，则直线的斜率为，‎ 则直线的方程为，………………7分 联立化简得，解得，………………8分 所以，，………………10分 则，当且仅当，即时取等号.‎ 所以的最小值为.‎ 此时直线的方程为.………………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎ 【解析】（Ⅰ）．‎ ‎①时，，∴在上是增函数．-----------------1分 ‎②当时，由，由，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减. ------2分 ‎（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，‎ 又， ---------4分 ‎∴．‎ ‎∴当时，方程有两解． -----------6分 ‎（Ⅲ）∵.∴要证：只需证 只需证：． ‎ 设， -----------8分 则．‎ 由（Ⅰ）知在单调递减， -----------10分 ‎∴，即是减函数，而．‎ ‎∴，故原不等式成立． ------------12分 ‎22【解答】解：（1）∵ρ2﹣4ρsinθ+3=0，∴曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y+3=0，即x2+（y﹣2）2=1．‎ ‎∵直线l的参数方程为，∴x﹣1+y﹣3=0，即x+y﹣4=0．‎ ‎（2）曲线C的圆心C（0，2）到直线l的距离d=＞1．‎ ‎∴直线l与圆C相离．‎ 过点P作圆C的切线，则当A，B为切点时，∠APB最大．‎ 连结OP，OA，则∠OPA=∠APB，sin∠OPA==．‎ ‎∴当OP取得最小值时，sin∠OPA取得最大值，即∠OPA的最大值为，‎ ‎∴∠APB的最大值为2∠OPA=．‎ ‎23.解：（1），‎ 当时，由得，，舍去；‎ 当时，由得，，即；‎ 当时，由得，，即.‎ 综上，.………………6分 ‎（2）∵，∴，，‎ ‎∴.………………10分