【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版9-5-1椭 圆学案
§9.5 椭 圆
最新考纲
考情考向分析
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中.题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.
1.椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a
b>0)
＋＝1
(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
概念方法微思考
1.在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，动点P的轨迹如何？
提示 当2a＝|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的.
2.椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？
提示 由e＝＝ 知，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆.
3.点和椭圆的位置关系有几种？如何判断.
提示 点P(x0，y0)和椭圆的位置关系有3种
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.
4.直线与椭圆的位置关系有几种？如何判断？
提示 直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交.
判断方法为联立直线与椭圆的方程，求联立后所得方程的判别式Δ.
(1)直线与椭圆相离⇔Δ<0.
(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0.
(3)直线与椭圆相交⇔Δ>0.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).( √ )
(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( √ )
(3)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆.( × )
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等.( √ )
题组二 教材改编
2.椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于( )
A.4 B.8
C.4或8 D.12
答案 C
解析 当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，
10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.
当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.
∴m＝4或8.
3.过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 A
解析 由题意知c2＝5，可设椭圆方程为＋＝1(λ>0)，则＋＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
4.已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________.
答案 或
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0).
由题意可得点P到x轴的距离为1，
所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，
得x＝±，又x>0，所以x＝，
所以P点坐标为或.
题组三 易错自纠
5.若方程＋＝1表示椭圆，则m的取值范围是( )
A.(－3,5) B.(－5,3)
C.(－3,1)∪(1,5) D.(－5,1)∪(1,3)
答案 C
解析 由方程表示椭圆知
解得－3b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 A
解析 ∵△AF1B的周长为4，∴4a＝4，
∴a＝，∵离心率为，∴c＝1，
∴b＝＝，∴椭圆C的方程为＋＝1.
故选A.
第1课时 椭圆及其性质
题型一 椭圆的定义及应用
1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M
与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
答案 A
解析 由条件知|PM|＝|PF|，
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆.
2.过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为( )
A.2 B.4
C.8 D.2
答案 B
解析 椭圆方程变形为＋＝1，
∴椭圆长轴长2a＝2，∴△ABF2的周长为4a＝4.
3.椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于( )
A. B.
C. D.4
答案 A
解析 F1(－，0)，∵PF1⊥x轴，
∴P，∴|PF1|＝，
∴|PF2|＝4－＝.
4.(2018·鞍山调研)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________.
答案 －5
解析 由椭圆的方程可知F2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|.∴|PM|－|PF1|＝|PM|－
(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|＝＝5,2a＝10，∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.
思维升华 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
题型二 椭圆的标准方程
命题点1 定义法
例1 (1)已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为( )
A.＋＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2>|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，∴b＝，∴动点P的轨迹方程为＋＝1，故选D.
(2)在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是( )
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
答案 A
解析 由|AC|＋|BC|＝18－8＝10>8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线).设其方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝5，c＝4，从而b＝3.由A，B，C不共线知y≠0.故顶点C的轨迹方程是＋＝1(y≠0).
命题点2 待定系数法
例2 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为__________.
答案 ＋＝1
解析 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).
由
解得m＝，n＝.
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为________________.
答案 ＋＝1
解析 ∵椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，∴可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，∵P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
∴又a2＝b2＋c2，
∴a＝2，b＝，c＝，
∴椭圆方程为＋＝1.
思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.
(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式.
跟踪训练1 (1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 A
解析 依题意设椭圆G的方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，∴2a＝12，∴a＝6，∵椭圆的离心率为，∴e＝＝＝，即 ＝，解得b2＝9，∴椭圆G的方程为＋＝1，故选A.
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________.
答案 ＋＝1
解析 ∵所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，
∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在所求椭圆上，
∴＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
题型三 椭圆的几何性质
命题点1 求离心率的值(或范围)
例3 (1)(2018·通辽模拟)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 方法一 如图，
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，
∴|PF1|＝＝，
|PF2|＝2c·tan 30°＝.
∵|PF1|＋|PF2|＝2a，
即＋＝2a，可得c＝a.
∴e＝＝.
方法二 (特殊值法)：
在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，
∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2，|F1F2|＝.
∴e＝＝＝.
(2)椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，|OP|＝a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设P(x，y)，则|OP|2＝x2＋y2＝，
由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2，
又∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，
∴|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2＝4c2，
则|PF1|2＋|PF2|2＋8c2＝4a2，
∴(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＋8c2＝4a2，
整理得x2＋y2＋5c2＝2a2，
即＋5c2＝2a2，整理得＝，
∴椭圆的离心率e＝＝.
(3)已知椭圆＋＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是__________.
答案
解析 因为|PT|＝(b>c)，
而|PF2|的最小值为a－c，
所以|PT|的最小值为.
依题意，有≥(a－c)，
所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，
所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，
所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0. ①
又b>c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2，
所以2e2<1. ②
联立①②，得≤e<.
命题点2 求参数的值(或范围)
例4 (2017·全国Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A.(0,1]∪[9，＋∞) B.(0，]∪[9，＋∞)
C.(0,1]∪[4，＋∞) D.(0，]∪[4，＋∞)
答案 A
解析 方法一 设椭圆焦点在x轴上，
则03时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞).
故选A.
思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解.
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝ 求解.
(3)构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
跟踪训练2 (1)已知椭圆＋＝1(0b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________.
答案
解析 由已知条件易得
B，C，F(c，0)，
所以＝，＝，
由∠BFC＝90°，可得·＝0，
所以·＋2＝0，
c2－a2＋b2＝0，
即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，亦即3c2＝2a2，
所以＝，则e＝＝.
(3)(2018·阜新模拟)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，∴离心率0a1c2.
其中正确式子的序号是( )
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
答案 D
解析 观察图形可知a1＋c1>a2＋c2，即①式不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0知，<，即<，从而c1a2>a1c2，>，即④式正确，③式不正确.故选D.
7.焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________________.
答案 ＋＝1或＋＝1
解析 由题意知解得
又b2＝a2－c2，∴b2＝9，
当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1，
当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.
8.设F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为__________.
答案 ＋＝1
解析 ∵△F2AB是面积为4的等边三角形，∴AB⊥x轴，∴A，B两点的横坐标为－c，代入椭圆方程，可求得|F1A|＝|F1B|＝.
又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°，
∴＝×2c. ①
又＝×2c×＝4， ②
a2＝b2＋c2， ③
由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
9.已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与椭圆C2：＋＝1(a>b>0)相交于A，B，C，D四点，若椭圆C1的一个焦点F(－，0)，且四边形ABCD的面积为，则椭圆C1的离心率e为________.
答案
解析 联立
两式相减得＝，又a≠b，
所以x2＝y2＝，
故四边形ABCD为正方形，＝， (*)
又由题意知a2＝b2＋2，将其代入(*)式整理得3b4－2b2－8＝0，所以b2＝2，则a2＝4，
所以椭圆C的离心率e＝.
10.已知A，B，F分别是椭圆x2＋＝1(00，则椭圆的离心率的取值范围为______________.
答案
解析 如图所示，线段FA的垂直平分线为x＝，线段AB的中点为.
因为kAB＝－b，所以线段AB的垂直平分线的斜率k＝，
所以线段AB的垂直平分线方程为y－＝.
把x＝＝p代入上述方程可得
y＝＝q.
因为p＋q>0，所以＋>0，
化为b>.
又0|F1F2|，
所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为，
所以点M的轨迹方程为＋＝1.
12.已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.
解 椭圆方程可化为＋＝1，m>0.
∵m－＝>0，∴m>，
∴a2＝m，b2＝，c＝＝ .
由e＝，得 ＝，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.
13.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为( )
A.－1 B.2－
C. D.
答案 A
解析 ∵过F1的直线MF1是圆F2的切线，
∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c，
∴|MF1|＝c，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a，∴椭圆离心率e＝＝－1.
14.已知△ABC的顶点A(－3,0)和顶点B(3,0)，顶点C在椭圆＋＝1上，则＝________.
答案 3
解析 由椭圆方程＋＝1，得长轴长2a＝10，短轴长2b＝8，焦距2c＝6，则顶点A，B为椭圆的两个焦点.
在△ABC中，|AB|＝6，
|BC|＋|AC|＝10，
由正弦定理可得，＝＝＝3.
15.椭圆C1：＋＝1的离心率为e1，双曲线C2：－＝1的离心率为e2，其中，a>b>0，＝，直线l：x－y＋3＝0与椭圆C1相切，则椭圆C1的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 C
解析 椭圆C1：＋＝1的离心率e1＝＝，双曲线C2：－＝1的离心率e2＝＝，
由＝，得＝，
则a＝b，由
得3x2＋12x＋18－2b2＝0，
由Δ＝122－4×3×(18－2b2)＝0，解得b2＝3，
则a2＝6，∴椭圆C1的方程为＋＝1，故选C.
16.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝，求该椭圆的离心率的取值范围.
解 由＝得＝.
又由正弦定理得＝，所以＝，即|PF1|＝|PF2|.
又由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝，|PF1|＝，
因为PF2是△PF1F2的一边，
所以有2c－<<2c＋，
即c2＋2ac－a2>0，所以e2＋2e－1>0(0
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