数学（文）卷·2019届湖南省长郡中学高二下学期开学考试（2018-03）

数学（文）卷·2019届湖南省长郡中学高二下学期开学考试（2018-03）

长郡中学2017—2018学年度高二第二学期入学考试 数学（文科）‎ 时量：120分钟 满分：150分 得分： ‎ 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合A={1,2,3},B={},则AB= A.{-2,-1,0,1,2,3} B.{-2,-1,0,1,2} C.{1,2,3} D.{l,2} 2.已知一组数据的平均数是2,方差是,那么另一组数据,，，，的平均数和方差分别为 A.2, B.2,1 C.4, D.4,3 3.若复数在复平面内对应的点在y轴上,则|z|= A.1 B.3 C.2 D.4 4.在区间[-1,4]上随机选取一个数x,则x1的概率为 A. B. C. D. 5.已知双曲线的渐近线方程是,则m的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 6.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为 A.1 B. C. D.2 7.若变量x,y满足,则的最大值是 A.4 B.9 C.10 D.12 8.已知函数,若数列{}满足a,,且{}是递增数列,则实数a的取值范围是 A.(1,3) B.(1,2] C.(2,3) D.[.3) 9.执行如图所示的程序框图,输出S的值为 A.2 B.-1 C.1 D.O 10.设在上单调递增；,则p是q的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.以上都不对 11.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则 cosA= A. B. C. D. 12.已知F是抛物的焦点,点A、B 在该抛物线上且位于x轴的两侧, (其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是 A.2 B.3 C. D.‎ ‎ 选择题答题卡 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 得分 答案 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.)   13.幂函数在其图象上点(2,16)处的切线方程为   14.函数的最大值为   15.已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a(2a+b),则a与b的夹角为   16.如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60°，E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC 向上折起，使A、B重合于点P,则三棱锥P-DCE的外接球的体积为   三、解答题(本大题共7小题,共70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本题满分12分)   已知公差不为零的等差数列{}中,=4,且,,成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列{}的通项公式; (Ⅱ)若,求数列{}的前n项和.‎ ‎18.(本题满分12分)   如图，在三棱锥D-ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE平面ABC,F为AB的中点   (Ⅰ)求证:平面ABD平面DEF;   (Ⅱ)若ADDC，AC=4，,求四面体F-DBC的体积.‎ ‎   ‎ ‎19.(本题满分12分) 某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型,并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间第x 周和市场占有率y(%)的几组相关数据如下表: ‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ Y ‎0.03‎ ‎0.06‎ ‎0.1‎ ‎0.14‎ ‎0.17‎ ‎(Ⅰ)根据表中的数据,用最小。二乘法求出y关于x的线性回归方程; (Ⅱ)根据上述线性回归方程,分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势,并预测在第几周，该款旗舰机型市场占有率将首次超过0.40%(最后结果精确到整数). 参考公式: ‎ ‎ 20.(本题满分12分)   已知椭圆的两个焦点分别为,离心率为.设过点的直线与椭圆C相交于不同两点A、B,周长为8.   (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;   (Ⅱ)已知点T(4,0),证明:当直线变化时,总有TA与TB的斜率之和为定值. ‎ ‎21.(本题满分12 分) 已知(a0,且a为常数 ‎). (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)若方,在区间(1,+)内,存在，且时,使不等式 成立,求k的取值范围. ‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](本题满分10分)   已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为,曲线、相交于A、B 两点. (Ⅰ)求A、B两点的极坐标; (Ⅱ)曲线与直线分别相交于M、N两点,求线段MN的长度. 23.[选修4-5:不等式选讲](本题满分10分)   已知函数,‎ ‎(Ⅰ)求的解集 (Ⅱ)若对任意的,都存在一个s使得.求的取位范围. ‎ 长郡中学2017—2018学年度高二第二学期入学考试 数学(文科)参考答案 ‎ 一、选择题 l.D【解析】由得，-32 或a<- -12 9.C [解析]执行程序,当i=1，S=1-1=0，i=2，S=1，i=3，S=0,按照此规律，i=2017，S=0,当i=2018，S=1，执行完后，i=2019不满足条件，跳出循环，所以输出S=1，故选 C. l0.C [解析]∵在上单调递增， ,即在R上恒成立,∴,即,即,又因为,.根据充分必要条件的定义可判断:p是q的必要不充分条件,故选C. 11.C [解析]设BC边上的高线为AD，则BC=3AD,所以AC=,.由余弦定理，知cosA= ,故选C. l2.B [解析]据题意得F(,0),设,,则,,,或,因为A、B位于x轴两侧,所以.ABO与AFO面积之和为S= ‎ 二、填空题 ‎13.‎ 14. ‎5 【解析】因为，而所以当sin x= 1时,取最大值5.‎ 15. ‎【解析】由已知可得，设与的夹角为,则有，又因为，所以.‎ ‎16.【解析】∵DAB= 60°∴三棱锥P-DCE 各边长度均为1，∴三棱锥P- DCE为正三棱锥P点在底面DCE 的投影为等边△DCE的中心，设中心为O，∴OD=OE=0C=，‎ 在直角△POD 中：，‎ ‎∵外接球的球心必在OP上，设球心位置为，则O'P=O'D 设O'P=O'D =R,‎ 则在直角△OO’D 中：，，‎ ‎∴体积为 故答案为：‎ 三、解答题 l7.【解析】(Ⅰ)设等差数列{}公差为，∵且,,成等比数列.‎ 成等.‎ 即成等比数列，所以有 ‎ 即，‎ 解得d =2，‎ ‎∴‎ ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)知： ，‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎18.【解答】证明:(I )∵DE平面ABC，AB平面ABC，∴ABDE，‎ ‎ 又F为AB 的中点，DA=DB，∴ABDF,‎ ‎ 又DE、DF平面DEF，DEDF=D，‎ ‎ ∴AB平面DEF，‎ ‎ 又∵AB平面ABD,∴平面ABD平面DEF.‎ ‎(Ⅱ)∵DA=DB=DC，E为AC上的一点,DE平面ABC,  ∴线段DA、DB、DC在平面ABC的射影EA、EB、EC满足EA=EB=EC, ∴△ABC为直角三角形,即ABBC,   由ADDC,AC=4,BAC=45°,  ∴AB=BC=,DE=2,  ∴,‎ ‎∴四面体F-DBC的体积 ‎ l9.[解析](I)由题中的数据可知:,  ‎ ‎=‎ ‎，‎ 所以y关于x的线性回归方程:；‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,解得,   所以自上市起经过12个周,该款旗舰机型市场占有率能超过0.40%.‎ ‎20.【解析】‎ ‎(Ⅰ) 由题意知，4a=8，所以a=2.   因为，所以c=1，则.   所以椭圆C的方程为. (Ⅱ)证明:当直线垂直与x轴时，显然直线TS与TR的斜率之和为0,   当直线不垂直与x轴时，设直线的方程为,,,   ,整理得:,  恒成立,‎ ‎，‎ 由=TA，TB的斜率存在，‎ 由A、B两点的直线y=k(x-1),‎ 故y=k(x-1),y=k(x-1),‎ 由2x-5（x+x）+8==0，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线TA与TB的斜率之和为0，‎ 综上所述，直线TA与TB的斜率之和为定值，定值为0.‎ 21. ‎[解析](I)∵f(x)=(a0,且a为常数)，   ∴f´（x）=.   ∴①若a>0时，当00;当>1时,f´(x)<0.即a>0时，‎ 函数f(x)单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+).‎ ‎②若a<0时，当01时，f´(x)>0.即a<0时，‎ 函数f(x)单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(0，1).   (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=在区间(1，+)上单调递减，不妨设x>x>1,则f(x)>f(x),   ∴不等式|f(x)-f(x)|k|-|可化为f(x)-f(x)k(-).即f()+kf(x)+k,‎ 令F(x)=f(x)+k,   则F(x)在区间(1，+)上存在单调递减区间，‎ ‎   ∴F´(x)=f´(x)+=-+=<0 有解，   即1)，   ∴k<有解，   令G(x)=,   则G´(x)=，   由G´(x)=0得x=e,   当x(1,e)时,G´(x)>0,G(x)单调递增;‎ 当x(e,+)时,G´(x)<0,G(x)单调递减.   ∴G(x)max=G(e)=，   故k<.‎ ‎22.[解析](I)由得 cos=8,‎ ‎∴=16,‎ 即=土4.‎ ‎∴A、B两点的极坐标为:A(4，)，B(-4,)或B(4,).‎ ‎(Ⅱ)由曲线C的极坐标方程cos2=8化为(cos-sin)=8,‎ 得到普通方程为-=8.‎ 将直线代入x-y=8,‎ 整理得t+2t- 14=0.‎ ‎∴|MN|=.‎ ‎23.[解析](I)∵函数f(x)=|2x+1|-|2x-3|,故f(x)1,‎ 等价于|2x+1|-|2x-3|1,‎ 等价于,或‚，或 ƒ.‎ 解求得xØ,解‚求得,解ƒ求得x>，‎ ‎  综上可得，不等式的解集为{x|x}.   (Ⅱ)若对任意的tR,都存在一个s使得g(s)f(t),可得g(x)minf(x)max.   ∵函数f(x)=|2x+1|-|2x-3||2x+1-(2x-3)|=4,∴f(x)max=4.   ∵g(x)=|x+1|+|x-a||x+1-(x-a)|=|a+1|,故g(x)min=|a+1|,   ∴|a+1|4,∴a+14,或a+1-4,求得a3,或a-5,‎ 故要求的a的范围为{x|a3,或a-5}.‎