湖北省重点高中联考协作体2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

湖北省重点高中联考协作体2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com ‎2019年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试 高一数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，有且仅有一个是符合题目要求的）‎ ‎1.设集合，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出,再求出得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查集合的补集、交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎2.下列选项中，表示的是同一函数的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用同一函数定义对每一选项的函数分析得解.‎ ‎【详解】A. 函数定义域为R，函数的定义域为,两个函数的定义域不同，所以它们不是同一函数；‎ B. 两函数定义域相同，但是对应关系不同，所以它们不是同一函数；‎ C. 函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以它们不是同一函数；‎ D. 两函数的定义域都是R,函数，所以两函数的对应关系相同，所以两函数是同一函数.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查同一函数的定义及判断，考查函数定义域的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎3.若幂函数的图像不经过原点，则的值为（ ）‎ A. 2 B. -3 C. 3 D. -3或2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据幂函数的定义求出的值，再根据函数不过原点，确定的值.‎ ‎【详解】由幂函数的定义得，‎ 所以或.‎ 当时，，函数的图象不过原点；‎ 当时，，函数的图象过原点，与已知不相符.所以舍去.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查幂函数的定义及图象性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎4.函数的定义域是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，解不等式即得函数的定义域.‎ ‎【详解】由题得,解之得且.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查对数型函数的定义域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎5.设，，，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的范围即得的大小关系.‎ ‎【详解】由题得，‎ ‎,‎ ‎，，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎6.已知函数，则该函数是（ ）‎ A. 偶函数，且单调递增 B. 偶函数，且单调递减 C. 奇函数，且单调递增 D. 奇函数，且单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，再确定函数的单调性得解.‎ ‎【详解】当时，；‎ 当时，，‎ 所以；‎ 当时，，‎ 所以；‎ 所以，‎ 所以函数是奇函数.‎ 当时，，由复合函数的单调性原理得函数单调递减，‎ 由奇函数的性质得函数在R上单调递减.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查分段函数的奇偶性的判断，考查奇偶函数单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎7.已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式即得函数的定义域.‎ ‎【详解】由题得，解之得且.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查复合函数的定义域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎8.函数在定义域内的零点的个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数，的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数．‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以函数的定义域为；‎ 由函数零点的定义，在内的零点即是方程的根．‎ 令，，在一个坐标系中画出两个函数的图象：‎ 由图得，两个函数图象有两个交点，‎ 故方程有两个根，即对应函数有两个零点．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数零点个数的确定，考查对数函数的图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎9.已知集合，，，则集合的大小关系是（ ）‎ A. ÜÜ B. CÜÜ C. Ü D. AÜÜ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列举出集合A,B,C即得三个集合的关系.‎ ‎【详解】由题得，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以ÜÜ.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查集合的表示和集合的关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎10.已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的单调性得到，解不等式组即得解.‎ ‎【详解】由题得，解之得.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，考查二次函数和指数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎11.已知函数（其中），若的图像如右图所示，则函数的图像大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的图像，得到，，进而可得出结果.‎ ‎【详解】由的图像可知，，，观察图像可知，答案选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查二次函数图像，指数函数图像，熟记函数性质即可，属于常考题型.‎ ‎12.定义对任意，，，，则的最小值为（ ）‎ A. 7 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在同一坐标系下作出两函数图象，求出两函数图象的交点，再观察图象得解.‎ ‎【详解】在同一坐标系下作出两函数的图象如图所示，‎ 解方程组得或，‎ 所以的最小值为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查新定义的理解和应用，考查函数图象的性质和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ 二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知，则_________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，再求的值得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以.‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎14.已知，且，求_______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据得到，再求解即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：3‎ ‎【点睛】本题主要考查求函数值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎15.函数的单调递增区间是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性原理求函数的单调递增区间.‎ 详解】由题得.‎ 函数在单调递增，在单调递减，‎ 函数在定义域内单调递减，‎ 所以函数的单调递增区间是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查对数型复合函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎16.给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作.在此基础上给出下列关于函数引的四个结论：‎ ‎①函数的定义域为，值域为；②函数在上是增函数：‎ ‎③函数的图象关于直线对称；④函数是偶函数.‎ 其中所有正确的结论的序号是_____‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过的定义，可将化为。通过不同的取值，可以画出的图像，通过图像来依次排除错误选项即可。‎ ‎【详解】由题意可得： ‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 以此类推可得函数的大致图像如图所示：‎ 由图像依次判断各个选项，可知只有②错误 本题正确结果：①③④‎ ‎【点睛】新定义问题在处理时，关键是理解清楚新定义的含义，尽可能的转化为以学过的知识进行处理。本题的关键即为将原函数转化为，再结合图像研究函数的相关性质。‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、演算步骤）‎ ‎17.（1）计算 ‎（2）已知，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用指数和对数的运算法则进行计算化简得解；（2）先求出，，再求值得解.‎ ‎【详解】（1）原式=．‎ ‎（2）依题意得：，∴‎ 同理，∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查指数对数的运算法则，考查换底公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎18.已知集合，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）先化简集合A,B,再求；（2）由题得，再把集合C分两种情况讨论得解.‎ ‎【详解】（1）由得：，‎ 即，，∴；‎ 由得：，故，∴；‎ 故．‎ ‎（2）因为，故，‎ 当时，，∴；‎ 当时，∴，‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查指数不等式和分式不等式的解法，考查集合的混合运算，考查集合之间的关系运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）判断函数在区间上的单调性，并加以证明．‎ ‎【答案】（1）奇函数，见解析；（2）在上是减函数，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求函数的定义域，再利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性得解；（2）利用定义判断在区间上是减函数．‎ ‎【详解】（1）要函数有意义，则，‎ ‎∴，即函数的定义域为，其定义域关于原点对称．‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数是奇函数．‎ ‎（2）依题意得：，设，，则：‎ ‎；‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∵且，∴，‎ ‎∴，故>1，∴，即而，‎ ‎∴在区间上是减函数．‎ ‎【点睛】本题主要考查对数型函数的定义域的求法，考查函数奇偶性的判断，考查函数单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎20.已知二次函数．‎ ‎（1）当时，求的最值；‎ ‎（2）若不等式对定义域的任意实数恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二次函数的图象和性质求的最值；（2）原命题等价于，再对分类讨论求解.‎ ‎【详解】（1）当，时，，对称轴，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎∴当时有最小值，；‎ 当时有最大值，．‎ ‎（2）依题意得：，‎ 当时，，∴，∴‎ 当时，，∴，∴‎ 综上所述，符合条件的的取值范围是 ‎【点睛】本题主要考查二次函数的最值的计算，考查二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识理解掌握水平.‎ ‎21.经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计算），销售价格与时间（天）的函数关系近似满足，销售量与时间（天）的函数关系近似满足．‎ ‎（1）试写出该商品日销售金额关于时间的函数表达式；‎ ‎（2）求该商品的日销售金额的最大值与最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，最大值为；当时，最小值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对分类讨论求出该商品日销售金额关于时间的函数表达式；（2）分别求出分段函数的每一段的最值，再比较即得该商品的日销售金额的最大值与最小值．‎ ‎【详解】（1）当时，；‎ 当时，‎ ‎∴．‎ ‎（2）①当时，由双勾函数的性质知在上单减，‎ 在区间上单增，．‎ ‎∴当时，最小值为，当时，最大值为；‎ ‎②当时，，在单减，则在区间单减，‎ ‎∴；‎ 综上，当时，最大值为；当时，最小值为 ‎【点睛】本题主要考查分段函数的解析式的求法，考查分段函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎22.设函数的定义域为，对任意都有，并且当时，．‎ ‎（1）判断在上的单调性并证明；‎ ‎（2）若，解不等式．‎ ‎【答案】（1）在上单调递减，见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数单调性的定义证明在上单调递减．（2）先求出，原不等式等价于，再利用函数的单调性解不等式得解.‎ ‎【详解】（1）设，且，‎ 则 ‎∵，且，∴又当时，，‎ ‎∴，即，故 ‎∴在上单调递减．‎ ‎（2）∵∴‎ 原不等式等价于：，即，‎ 由（1）知，函数在上单调递减，‎ ‎∴∴‎ 综上所述，不等式的解集是．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性的证明，考查函数单调性的应用，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎ ‎ ‎ ‎