湖北省重点高中联考协作体2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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湖北省重点高中联考协作体2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com ‎2019年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试 高一数学试卷 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,有且仅有一个是符合题目要求的)‎ ‎1.设集合,,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出,再求出得解.‎ ‎【详解】由题得,‎ 所以.‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查集合的补集、交集运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎2.下列选项中,表示的是同一函数的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用同一函数定义对每一选项的函数分析得解.‎ ‎【详解】A. 函数定义域为R,函数的定义域为,两个函数的定义域不同,所以它们不是同一函数;‎ B. 两函数定义域相同,但是对应关系不同,所以它们不是同一函数;‎ C. 函数的定义域为,函数的定义域为,两个函数的定义域不同,所以它们不是同一函数;‎ D. 两函数的定义域都是R,函数,所以两函数的对应关系相同,所以两函数是同一函数.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查同一函数的定义及判断,考查函数定义域的求法,意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎3.若幂函数的图像不经过原点,则的值为( )‎ A. 2 B. -3 C. 3 D. -3或2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据幂函数的定义求出的值,再根据函数不过原点,确定的值.‎ ‎【详解】由幂函数的定义得,‎ 所以或.‎ 当时,,函数的图象不过原点;‎ 当时,,函数的图象过原点,与已知不相符.所以舍去.‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查幂函数的定义及图象性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎4.函数的定义域是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得,解不等式即得函数的定义域.‎ ‎【详解】由题得,解之得且.‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查函数定义域的求法,考查对数型函数的定义域的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎5.设,,,则的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的范围即得的大小关系.‎ ‎【详解】由题得,‎ ‎,‎ ‎,,‎ 所以.‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎6.已知函数,则该函数是( )‎ A. 偶函数,且单调递增 B. 偶函数,且单调递减 C. 奇函数,且单调递增 D. 奇函数,且单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性,再确定函数的单调性得解.‎ ‎【详解】当时,;‎ 当时,,‎ 所以;‎ 当时,,‎ 所以;‎ 所以,‎ 所以函数是奇函数.‎ 当时,,由复合函数的单调性原理得函数单调递减,‎ 由奇函数的性质得函数在R上单调递减.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查分段函数的奇偶性的判断,考查奇偶函数单调性的判断,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎7.已知函数的定义域为,则的定义域为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式即得函数的定义域.‎ ‎【详解】由题得,解之得且.‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查复合函数的定义域的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎8.函数在定义域内的零点的个数为( )‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得,求出函数的定义域,再把函数转化为对应的方程,在坐标系中画出两个函数,的图象求出方程的根的个数,即为函数零点的个数.‎ ‎【详解】由题得,‎ 所以函数的定义域为;‎ 由函数零点的定义,在内的零点即是方程的根.‎ 令,,在一个坐标系中画出两个函数的图象:‎ 由图得,两个函数图象有两个交点,‎ 故方程有两个根,即对应函数有两个零点.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数零点个数的确定,考查对数函数的图象,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎9.已知集合,,,则集合的大小关系是( )‎ A. ÜÜ B. CÜÜ C. Ü D. AÜÜ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列举出集合A,B,C即得三个集合的关系.‎ ‎【详解】由题得,‎ ‎,‎ ‎.‎ 所以ÜÜ.‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查集合的表示和集合的关系的判断,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎10.已知函数是R上的减函数,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的单调性得到,解不等式组即得解.‎ ‎【详解】由题得,解之得.‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查分段函数的单调性,考查二次函数和指数函数的单调性,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎11.已知函数(其中),若的图像如右图所示,则函数的图像大致为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的图像,得到,,进而可得出结果.‎ ‎【详解】由的图像可知,,,观察图像可知,答案选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查二次函数图像,指数函数图像,熟记函数性质即可,属于常考题型.‎ ‎12.定义对任意,,,,则的最小值为( )‎ A. 7 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在同一坐标系下作出两函数图象,求出两函数图象的交点,再观察图象得解.‎ ‎【详解】在同一坐标系下作出两函数的图象如图所示,‎ 解方程组得或,‎ 所以的最小值为.‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查新定义的理解和应用,考查函数图象的性质和应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ 二、填空题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知,则_________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求,再求的值得解.‎ ‎【详解】由题得,‎ 所以.‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数求值,意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎14.已知,且,求_______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据得到,再求解即可.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故答案为:3‎ ‎【点睛】本题主要考查求函数值,意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎15.函数的单调递增区间是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的定义域,再利用复合函数的单调性原理求函数的单调递增区间.‎ 详解】由题得.‎ 函数在单调递增,在单调递减,‎ 函数在定义域内单调递减,‎ 所以函数的单调递增区间是.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查对数型复合函数的单调区间的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎16.给出定义:若(其中为整数),则叫做离实数最近的整数,记作.在此基础上给出下列关于函数引的四个结论:‎ ‎①函数的定义域为,值域为;②函数在上是增函数:‎ ‎③函数的图象关于直线对称;④函数是偶函数.‎ 其中所有正确的结论的序号是_____‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过的定义,可将化为。通过不同的取值,可以画出的图像,通过图像来依次排除错误选项即可。‎ ‎【详解】由题意可得: ‎ 当时,‎ 当时,‎ 当时,‎ 以此类推可得函数的大致图像如图所示:‎ 由图像依次判断各个选项,可知只有②错误 本题正确结果:①③④‎ ‎【点睛】新定义问题在处理时,关键是理解清楚新定义的含义,尽可能的转化为以学过的知识进行处理。本题的关键即为将原函数转化为,再结合图像研究函数的相关性质。‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、演算步骤)‎ ‎17.(1)计算 ‎(2)已知,求的值.‎ ‎【答案】(1);(2)1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用指数和对数的运算法则进行计算化简得解;(2)先求出,,再求值得解.‎ ‎【详解】(1)原式=.‎ ‎(2)依题意得:,∴‎ 同理,∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查指数对数的运算法则,考查换底公式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎18.已知集合,.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)先化简集合A,B,再求;(2)由题得,再把集合C分两种情况讨论得解.‎ ‎【详解】(1)由得:,‎ 即,,∴;‎ 由得:,故,∴;‎ 故.‎ ‎(2)因为,故,‎ 当时,,∴;‎ 当时,∴,‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查指数不等式和分式不等式的解法,考查集合的混合运算,考查集合之间的关系运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎(1)判断函数的奇偶性,并说明理由;‎ ‎(2)判断函数在区间上的单调性,并加以证明.‎ ‎【答案】(1)奇函数,见解析;(2)在上是减函数,见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求函数的定义域,再利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性得解;(2)利用定义判断在区间上是减函数.‎ ‎【详解】(1)要函数有意义,则,‎ ‎∴,即函数的定义域为,其定义域关于原点对称.‎ 又,‎ ‎∴,‎ ‎∴函数是奇函数.‎ ‎(2)依题意得:,设,,则:‎ ‎;‎ ‎∵,,∴,‎ ‎∵且,∴,‎ ‎∴,故>1,∴,即而,‎ ‎∴在区间上是减函数.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数型函数的定义域的求法,考查函数奇偶性的判断,考查函数单调性的判断,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎20.已知二次函数.‎ ‎(1)当时,求的最值;‎ ‎(2)若不等式对定义域的任意实数恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)答案不唯一,见解析;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用二次函数的图象和性质求的最值;(2)原命题等价于,再对分类讨论求解.‎ ‎【详解】(1)当,时,,对称轴,‎ ‎∴在上单调递减,在上单调递增.‎ ‎∴当时有最小值,;‎ 当时有最大值,.‎ ‎(2)依题意得:,‎ 当时,,∴,∴‎ 当时,,∴,∴‎ 综上所述,符合条件的的取值范围是 ‎【点睛】本题主要考查二次函数的最值的计算,考查二次不等式的恒成立问题,意在考查学生对这些知识理解掌握水平.‎ ‎21.经市场调查,某超市的一种商品在过去的一个月内(以30天计算),销售价格与时间(天)的函数关系近似满足,销售量与时间(天)的函数关系近似满足.‎ ‎(1)试写出该商品日销售金额关于时间的函数表达式;‎ ‎(2)求该商品的日销售金额的最大值与最小值.‎ ‎【答案】(1);(2)当时,最大值为;当时,最小值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对分类讨论求出该商品日销售金额关于时间的函数表达式;(2)分别求出分段函数的每一段的最值,再比较即得该商品的日销售金额的最大值与最小值.‎ ‎【详解】(1)当时,;‎ 当时,‎ ‎∴.‎ ‎(2)①当时,由双勾函数的性质知在上单减,‎ 在区间上单增,.‎ ‎∴当时,最小值为,当时,最大值为;‎ ‎②当时,,在单减,则在区间单减,‎ ‎∴;‎ 综上,当时,最大值为;当时,最小值为 ‎【点睛】本题主要考查分段函数的解析式的求法,考查分段函数的最值的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎22.设函数的定义域为,对任意都有,并且当时,.‎ ‎(1)判断在上的单调性并证明;‎ ‎(2)若,解不等式.‎ ‎【答案】(1)在上单调递减,见解析;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用函数单调性的定义证明在上单调递减.(2)先求出,原不等式等价于,再利用函数的单调性解不等式得解.‎ ‎【详解】(1)设,且,‎ 则 ‎∵,且,∴又当时,,‎ ‎∴,即,故 ‎∴在上单调递减.‎ ‎(2)∵∴‎ 原不等式等价于:,即,‎ 由(1)知,函数在上单调递减,‎ ‎∴∴‎ 综上所述,不等式的解集是.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性的证明,考查函数单调性的应用,考查一元二次不等式的解法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎ ‎ ‎ ‎
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