数学理卷·2018届辽宁省瓦房店三中高三上学期期中考试（2017
2017-2018高三上学期期中考试数学(理科)试卷
考试时间120分钟 分值150分
第Ⅰ卷
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)
2在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为( )
A．37 B．36
C．20 D．19
3在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )
A．3 B.C.D．3
4命题p：任意x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若非p是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(0,4] B．[0,4]
C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
5．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．0 B．1 C. 2 D．
6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
A．24里 B．12里 C．6里 D．3里
7向量，，若是实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．D．
8若函数f(x)＝sin(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈，则x0＝( )
A. B. C. D.
9 已知函数y=f（x）（x∈R）且在[0，+∞）上是增函数，g（x）=f（|x|），若g（2x﹣1）＜g（2），则x的取值范围是（ ）
A．（﹣，） B．（﹣∞，）
C．（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）
10如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( )
A. B.C. D.
11.设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=0,当x>0时,有<0恒成立,则不等式x2f(x)>0的解集是 ( )
A.(-2,0)∪(2,+∞) B.(-2,0)∪(0,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,2)
12若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( )
A．6 B．7C．8 D．9
第Ⅱ卷
二：填空题 每题5分，共计20分
13已知则 _____________
14． 已知函数f(x)＝ln(1＋x2)，则满足不等式f(2x－1)
0),且f(x)的最小正周期
为π.
(1)求ω的值及f(x)的单调递减区间;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,求当x∈[0,]时g(x)的最大值.
21．（本题12分）已知△ABC的周长为6，||，||，||成等比数列，求：
(1)△ABC面积S的最大值；
(2)·的取值范围．
22．（本题12分）已知函数f(x)＝aln x(a＞0)，e为自然对数的底数．
(1)若过点A(2，f(2))的切线斜率为2，求实数a的值；
(2)当x＞0时，求证：f(x)≥a；
(3)若在区间(1，e)上＞1恒成立，求实数a的取值范围．
2017-2018高三上学期期中考试数学试卷
考试时间120分钟 分值150分
一：选择题
1设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)
C 由已知得A＝{y|y>0}，B＝{x|－1－1}．
2在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为( A )
A．37 B．36
C．20 D．19
解析：am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝36d＝a37，∴m＝37.故选A．
3在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )
A．3 B.C.D．3
解析：由c2＝(a－b)2＋6可得a2＋b2－c2＝2ab－6 ①.由余弦定理及C＝可得a2＋b2－c2＝ab ②.所以由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6.所以S△ABC＝absin＝×6×＝.答案：C
4命题p：任意x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若非p是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(0,4] B．[0,4]
C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
D [因为命题p：任意x∈R，ax2＋ax＋1≥0，
所以命题非p：存在x0∈R，ax＋ax0＋1＜0，
则a＜0或解得a＜0或a＞4.]
5．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．0 B．1 C. 2 D．
【答案】D
中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
A．24里 B．12里 C．6里 D．3里
解：C.
7向量，，若是实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
8若函数f(x)＝sin(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈，则x0＝( )
A. B. C. D.
解析：由题意得＝，T＝π，ω＝2.又2x0＋＝kπ(k∈Z)，x0＝－(k∈Z)，而x0∈，所以x0＝.
答案：A
9 已知函数y=f（x）（x∈R）且在[0，+∞）上是增函数，g（x）=f（|x|），若g（2x﹣1）＜g（2），则x的取值范围是（ ）
A．（﹣，） B．（﹣∞，） C．（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）
解：根据题意，g（x）=f（|x|），则g（2x﹣1）=f（|2x﹣1|），
g（2）=f（2），
g（2x﹣1）＜g（2）⇔f（|2x﹣1|）＜f（2），
又由函数y=f（x）（x∈R）且在[0，+∞）上是增函数，
若f（|2x﹣1|）＜f（2），则有|2x﹣1|＜2解可得﹣＜x＜；
即x的取值范围是（﹣，）；故选：A．
10如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( )
A. B.
C. D.
[解析] 法一：曲线y＝与直线x＝1及x轴所围成的曲边图形的面积S＝dx＝
x＝，
又∵S△AOB＝，
∴阴影部分的面积为S′＝－＝，
由几何概型可知，点P取自阴影部分的概率为P＝.
法二：S阴影＝(－x)dx＝，
S正方形OABC＝1，
∴点P取自阴影部分的概率为P＝.
[答案] C
11.设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=0,当x>0时,有<0恒成立,则不等式x2f(x)>0的解集是 ( )
A.(-2,0)∪(2,+∞)
B.(-2,0)∪(0,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(0,2)
【解析】选D.因为当x>0时,有<0恒成立,即′<0恒成立,所以在(0,+∞)内单调递减.
因为f(2)=0,所以在(0,2)内恒有f(x)>0;
在(2,+∞)内恒有f(x)<0.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以在(-∞,-2)内恒有f(x)>0;
在(-2,0)内恒有f(x)<0.
又不等式x2f(x)>0的解集,即不等式f(x)>0的解集,所以答案为(-∞,-2)∪(0,2).
12若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：由题可知a，b是方程x2－px＋q＝0的两根，
∴a＋b＝p>0，ab＝q>0，故a，b均为正数．
∵a，b，－2适当排序后成等比数列，
∴－2是a，b的等比中项，得ab＝4，∴q＝4.
又a，b，－2适当排序后成等差数列，
所以－2是第一项或第三项，不妨设a0，∴a＝1，此时b＝4，
∴p＝a＋b＝5，∴p＋q＝9，故选D.
二：填空题
13已知则 _____________.
14．已知函数f(x)＝ln(1＋x2)，则满足不等式f(2x－1)0)，
则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.
代入＋＝中，有
＋＝，变形可得
sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B).
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.所以sin Asin B＝sin C.
(2)解由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有cos A＝＝.
所以sin A＝＝.
由(1)，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin B＝cos B＋sin B.
故tan B＝＝4.
19已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数．
解析： (1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，
∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.∵a>0，f(x)＝a[(x－1)2－4]≥－4，又f(1)＝－4a，
∴f(x)min＝－4a＝－4，∴a＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.
(2)∵g(x)＝－4lnx＝x－－4ln x－2(x>0)，g′(x)＝1＋－＝.
∴x，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
当03，
g(e5)＝e5－－20－2>25－1－22＝9>0.
故函数g(x)只有1个零点，且零点x0∈(3，e5)．
20.已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+2cos2ωx(ω>0),且f(x)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及f(x)的单调递减区间;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,求当x∈[0,]时g(x)的最大值.
解:(1)f(x)=sin 2ωx+1+cos 2ωx
=2sin(2ωx+)+1.
因为T=π⇒=π,
所以ω=1.
从而f(x)=2sin(2x+)+1,
令+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),
得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
所以f(x)的单调递减区间为[+kπ,+kπ],k∈Z.
(2)g(x)=2sin[2(x-)+]+1=2sin(2x-)+1,
因为x∈[0,],
所以-≤2x-≤,
所以当2x-=,即x=时,g(x)max=2×1+1=3.
21．已知△ABC的周长为6，||，||，||成等比数列，求：
(1)△ABC面积S的最大值；
(2)·的取值范围．
解析 ：设||，||，||依次为a，b，c，则a＋b＋c＝6，b2＝ac.在△ABC中，cos B＝＝≥＝，故有0＜B≤又b＝≤＝，从而0＜b≤2
(1)S＝acsin B＝b2sin B≤·22·sin ＝，当且仅当a＝c，且B＝，即△ABC为等边三角形时面积最大，即Smax＝.
(2)·＝accos B＝＝＝＝－(b＋3)2＋27.
∵0＜b≤2，∴2≤·＜18，
即·的取值范围是[2,18).
22．已知函数f(x)＝aln x(a＞0)，e为自然对数的底数．
(1)若过点A(2，f(2))的切线斜率为2，求实数a的值；
(2)当x＞0时，求证：f(x)≥a；
(3)若在区间(1，e)上＞1恒成立，求实数a的取值范围．
解析：(1)函数f(x)＝aln x的导函数f′(x)＝，
∵过点A(2，f(2))的切线斜率为2，
∴f′(2)＝＝2，
解得a＝4.
(2)证明：令g(x)＝f(x)－a＝a，
则函数的导数g′(x)＝a.
令g′(x)>0，即a>0，解得x>1，
∵a>0
∴g(x)在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增．
∴g(x)最小值为g(1)＝0，
故f(x)≥a成立．
(3)令h(x)＝aln x＋1－x，则h′(x)＝－1，
令h′(x)>0，解得xe时，h(x)在(1，e)是增函数，所以h(x)>h(1)＝0.
当1
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