【数学】陕西省西安中学2019-2020学年高二下学期期末考试（文）

【数学】陕西省西安中学2019-2020学年高二下学期期末考试（文）

陕西省西安中学2019-2020学年高二下学期期末考试（文）‎ 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1、在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：‎ 那么d⊗(a⊕c)=（　　）‎ A. a B. b C. c D. d ‎2、已知点的极坐标为，那么它的直角坐标为（　　）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3、若，则z在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎4、下列叙述中正确的是（　　）‎ A．若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0” ‎ B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c” ‎ C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”‎ D．钱大姐常说“好货不便宜”，她的意思是：“好货”是“不便宜”的充分条件 ‎5、若函数有且只有一个零点，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） ‎ C．[﹣1，0） D．[0，+∞）‎ ‎6、如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是（　　）‎ A．①﹣分析法，②﹣综合法 B．①﹣综合法，②﹣分析法 ‎ C．①﹣综合法，②﹣反证法 D．①﹣分析法，②﹣反证法 ‎7、函数的图像如图所示，则下列结论成立的是(　　)‎ A． a＞0，b＞0，c＜0 ‎ B．a＜0，b＞0，c＞0 ‎ C．a＜0，b＞0，c＜0 ‎ D．a＜0，b＜0，c＜0‎ ‎8、以下命题正确的是（　　）‎ ‎①幂函数的图像都经过（0，0）‎ ‎②幂函数的图像不可能出现在第四象限 ‎③当n＝0时，函数y＝xn的图像是两条射线（不含端点）‎ ‎④是奇函数，且在定义域内为减函数 A．①② B．②④ C．②③ D．①③‎ ‎9、某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：‎ 气温x（℃）‎ ‎﹣1‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎18‎ 用电量y（度）‎ ‎64‎ ‎38‎ ‎34‎ ‎24‎ 由表中数据得线性回归方程y＝﹣3x+a，预测气温为﹣4℃时用电量度数为（　　）‎ A．65 B．67 C．78 D．82‎ ‎10、设，则a，b，c三数（　　）‎ A．都小于2 B．都大于2 ‎ C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2‎ ‎11、设是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数是（　　）‎ A．（﹣∞，+∞）上的减函数 B．（﹣∞，+∞）上的增函数 ‎ C．（﹣1，1）上的减函数 D．（﹣1，1）上的增函数 ‎12、已知定义在R上的函数对任意的x都满足f（x+2）＝f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数恰有6个不同零点，则a的取值范围是（　　）‎ ‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：（本大题共4小题,每小题5分,把答案填在答题卡中相应的横线上.）‎ ‎13、若△ABC的三边之长分别为a、b、c，内切圆半径为r，则△ABC的面积为.根据类比思想可得：若四面体A﹣BCD的三个侧面与底面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为 .‎ ‎14、马林·梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对形如的数作了大量的计算、验证工作.人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如（其中p是素数）的素数，称为梅森素数．若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是 .‎ ‎15、若，则 .‎ ‎（选“≥”、“≤”、“>”、“<”其一填入）‎ ‎16、若函数有最大值3，则实数的值为 .‎ 三.解答题：（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17、（本小题10分）随着手机的普及，学生使用手机的人数也越来越多，手机是否影响学生的学习，是备受争论的问题，某学校从学生中随机抽取60人进行访问调查，结果表明：有手机的36人中有24人认为手机对学习有影响，另外12人认为无影响，在无手机的24人中有8人认为手机对学习有影响，另外16人认为无影响.试根据以上数据完成2×2列联表，并用独立性检验的思想，指出有多大把握认为手机对学习有影响.‎ 有手机 无手机 合计 有影响 无影响 合计 参考公式：，其中n＝a+b+c+d．‎ 参考数据：‎ P（≥k0）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.702‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎18、（本小题12分）已知函数f（x）＝|3x﹣1|，g（x）＝1﹣|x|．‎ ‎（1）解不等式f（x）≤ 2；‎ ‎（2）求F（x）＝f（x）- g（x）的最小值．‎ ‎19、（本小题12分）（1）已知函数的图像恒过定点A，且点A又在函数的图像上，求不等式的解集；‎ ‎（2）已知求函数的最大值和最小值．‎ ‎20、（本小题12分）如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB＝30米，AD＝20米．记三角形花园APQ的面积为S．‎ ‎（1）当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值；‎ ‎（2）要使S不小于1600平方米，则DQ的长应在什么范围内？‎ ‎21、（本小题12分）已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值是12．‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）设函数f（x）在x∈[t，t+1]上的最小值为g（t），求g（t）的表达式；‎ ‎（3）若关于t的方程g(|t|)=k至少有4个根，求参数k的取值范围.（直接给出答案，不用书写解答过程）‎ ‎22、（本小题12分）在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（其中t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点P（3，2）作直线C1的垂线交曲线C2于M，N两点，求|PM|•|PN|．‎ 参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A C C D B B C C D D D A ‎13、; 14、4； 15、>; 16、2.‎ ‎17.‎ 有手机 无手机 合计 有影响 ‎24‎ ‎8‎ ‎32‎ 无影响 ‎12‎ ‎16‎ ‎28‎ 合计 ‎36‎ ‎24‎ ‎60‎ ‎＝=≈6.429＞5.024‎ 所以有97.5%的把握认为手机对学习有影响．‎ ‎18.（本小题12分）解：（1）f（x）≤2即|3x﹣1|≤2，‎ ‎∴﹣2≤3x﹣1≤2，∴﹣1≤3x≤3，解得，‎ ‎∴不等式的解集为；‎ ‎（2）F（x）＝|3x﹣1|+|x|﹣1＝，∴当时取到最小值．‎ ‎19.（本小题12分）解：‎ ‎（1）由题意知定点A的坐标为（2，2）∴解得a＝1‎ ‎∴g（x）＝2x﹣2+1∴由g（x）＞3得，2x﹣2+1＞3‎ ‎∴2x﹣2＞2 ∴x﹣2＞1 ∴x＞3‎ ‎∴不等式g（x）＞3的解集为（3，+∞）．‎ ‎（2）由﹣1≤≤1得≤x≤2令t＝，则≤t≤，‎ y＝4t2﹣4t+2＝4+1‎ ‎∴当t＝，即＝，x＝1时，ymin＝1，‎ 当t＝，即＝，x＝2时，ymax＝．‎ ‎20．（本小题12分）解：（1）设DQ＝x米（x＞0），则AQ＝x+20，‎ ‎∵，∴，∴AP＝‎ 则S＝×AP×AQ＝＝15（x+）≥1200，‎ 当且仅当x＝20时取等号 ‎（2）由S≥1600，得3x2﹣200x+1200≥0解得0＜x≤或x≥60‎ 答：（1）当DQ的长度是20米时，S最小？且S的最小值为1200平方米．‎ ‎（2）要使S不小于1600平方米，则DQ的取值范围是0＜DQ≤或DQ≥60．‎ ‎21．（本小题12分）解：（1）f（x）是二次函数，且f（x）＜0的解集是（0，5），‎ ‎∴可设f（x）＝ax（x﹣5）（a＞0），‎ 可得在区间f（x）在区间[﹣1，]上函数是减函数，区间[，4]上函数是增函数 结合二次函数的对称性，可知f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值是：‎ f（﹣1）＝6a＝12，得a＝2．‎ 因此，函数的表达式为f（x）＝2x（x﹣5）＝2x2﹣10x（x∈R）．‎ （2） 由（1）得f（x）＝2（x﹣）2﹣，‎ 函数图象的开口向上，对称轴为x＝‎ ‎①当t+1时，即t时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，‎ 此时f（x）的最小值g（t）＝f（t+1）＝2（t+1）2﹣10（t+1）＝2t2﹣6t﹣8； ‎ ‎②当＜t＜时，函数y＝f（x）在对称轴处取得最小值 此时，g（t）＝f（）＝﹣‎ ‎③当t时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，‎ 此时f（x）的最小值g（t）＝f（t）＝2t2﹣10t； ‎ 综上所述，得g（t）的表达式为：g（t）＝‎ ‎（3）‎ ‎22.（本小题12分）解：（1）直线C1的参数方程为（其中t为参数）‎ 消去t可得：x﹣y﹣1＝0，‎ 由曲线C2的极坐标方程，转换为直角坐标方程为：y2＝4x．‎ ‎（2）过点P（3，2）与直线C1垂直的直线的参数方程为：（t为参数），‎ 代入y2＝4x，可得，‎ 设M，N对应的参数为t1，t2，则t1•t2＝﹣16，所以|PM|•|PN|＝|t1•t2|＝16．‎