福建省莆田第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题

福建省莆田第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题

莆田一中2018-2019学年度下学期第一学段考试试卷 高二理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.若复数的实部与虚部相等，则实数的值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法，将复数表示为一般形式，然后利用复数的实部与虚部相等求出实数的值.‎ ‎【详解】，‎ 由于复数的实部与虚部相等，则，解得，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查复数的基本概念，解题的关键在于将复数利用四则运算法则将复数表示为一般形式，确定复数的实部与虚部，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎2.用数学归纳法证明等式，在验证成立时，左边需计算的项是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入等式左边可得出结果.‎ 详解】当时，等式左边，故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查数学归纳法证明等式的问题，考查对数学归纳法基本概念的理解，属于基础题.‎ ‎3.五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是、、，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有人去厦门旅游的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出事件“至少有人去厦门旅游”的对立事件“三人都不去厦门旅游”的概率，然后利用对立事件的概率可计算出事件“至少有人去厦门旅游”的概率.‎ ‎【详解】记事件至少有人去厦门旅游，其对立事件为三人都不去厦门旅游，‎ 由独立事件的概率公式可得，‎ 由对立事件的概率公式可得，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查独立事件的概率公式的应用，同时也考查了对立事件概率的应用，在求解事件的概率问题时，若事件中涉及“至少”时，采用对立事件去求解，可简化分类讨论，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题.‎ ‎4.某校“数学月”活动记录了名学生改进数学学习方法后，每天增加学习时间（分钟）与月考成绩增加分数（分）的几组对应数据：‎ 根据表中提供的数据，利用最小二乘法求出关于的线性回归方程为，则表中的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出样本数据的中心点的坐标，将该点的坐标代入回归直线方程可解出的值.‎ ‎【详解】由表格中的数据得，，‎ 所以，样本数据的中心点为，‎ 将该点坐标代入回归直线方程得，解得，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用回归直线方程计算原始数据，解题的关键就是利用回归直线过样本的中心点这一结论，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎5.已知随机变量，若，则随机变量的均值及方差分别为（ ）‎ A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用二项分布的数学期望和方差公式求出和，然后利用数学期望和方差的基本性质求出和的值.‎ ‎【详解】，由二项分布的数学期望公式得，‎ 由二项分布的方差公式得，‎ ‎，，则，‎ ‎，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查二项分布的数学期望与方差的计算，同时也考查了数学期望与方差的性质，解题的关键在于利用二项分布的期望与方差的公式进行计算，属于中等题.‎ ‎6.设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先令得出的值，再令得出，于此得出的值.‎ ‎【详解】，，‎ 令，可得，‎ 因此，，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查二项式系数之和的计算，常利用赋值法来求解，常用的赋值如下：‎ 设.‎ 则（1）；（2）；（3）.‎ ‎7.设、、，，，，则、、三数（ ）‎ A. 都小于 B. 至少有一个不大于 C. 都大于 D. 至少有一个不小于 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式计算出，于此可得出结论.‎ ‎【详解】由基本不等式得 ‎，‎ 当且仅当时，等号成立，因此，若、、三数都小于，则与矛盾，即、、三数至少有一个不小于，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎8.如图，第个图形由正三角形扩展而成，共个顶点．第个图形是由边扩展而来，则第个图形的顶点个数为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设第个图形的顶点个数为，根据图形计算出、、、，然后归纳出数列的通项公式可得出结果.‎ ‎【详解】设第个图形的顶点个数为，‎ 由图形可知，，，，‎ 猜想，因此，第个图形的顶点个数为，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查归纳推理，解题时就是要通过写出前几项来归纳出一般规律，这类问题一般要求从特殊到一般，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎9.教育部选派3名中文教师到外国任教中文，有4‎ 个国家可供选择，每名教师随机选择一个国家，则恰有2名教师选择同一个国家的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出3名教师去4个国家的总的可能性，再求2名教师选择同一国家的可能性，代入公式，即可求解。‎ ‎【详解】3名教师每人有4种选择，共有种可能。恰有2人选择同一国家共有种可能，则所求概率，故选C ‎【点睛】本题考查计数原理及组合问题，考查学生分析推理，计算化简的能力，属基础题。‎ ‎10.某校迎新晚会上有个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的，计算出将丙、丁排在一起的排法种数，除以可得出结果.‎ ‎【详解】先考虑将丙、丁排在一起的排法种数，‎ 将丙、丁捆绑在一起，与其他四人形成五个元素，排法种数，‎ 利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的，‎ 因此，该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有种，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查排列组合的综合问题，考查捆绑法的应用，在求解本题中，充分利用对称性思想，可简化分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎11.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分两种情况讨论：第球投进和第球投不进，利用独立事件的概率公式可得出所求事件的概率.‎ ‎【详解】分以下两种情况讨论：‎ ‎（1）第球投进，其概率为，第球投进的概率为；‎ ‎（2）第球投不进，其概率为，第球投进的概率为.‎ 综上所述：第球投进的概率为，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查独立事件概率乘法公式的应用，同时也考查对立事件概率公式的应用，解题时要注意对事件进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎12.已知定义在上的函数和函数满足，且，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，由题意得出，解出和的值，可得出函数的解析式，可得出，构造函数，利用导数判断出函数在上为减函数，可得出，化简后可得出正确选项.‎ ‎【详解】，，‎ 则，，，‎ 将代入函数的解析式得，得，‎ ‎，则.‎ 构造函数，‎ 则，‎ 所以，函数在上单调递减，‎ ‎，即，即，‎ 因此，，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数不等式正误的判断，解题时要结合题中不等式构造新函数，利用单调性来进行判断，难点在于构造新函数，考查分析问题与解决问题的能力，属于难题.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知的展开式中第三项与第二项的二项式系数比为，则为______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出，利用组合数公式可解出的值.‎ ‎【详解】的展开式中第三项与第二项的二项式系数分别为、，‎ 由题意可得，因此，，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二项式系数求参数的值，解题时要理解二项式系数的概念，以及组合数公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎14.有一批产品，其中有件次品和件正品，从中任取件，至少有件次品的概率为______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用古典概型概率公式求出事件“至少有件次品”的对立事件“全都是次品”的概率，再利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率.‎ ‎【详解】记事件至少有件次品，则其对立事件为全都是次品，‎ 由古典概型概率公式可得，.‎ 因此，至少有件次品的概率为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率公式以及对立事件概率的计算，在求事件的概率时，若问题中涉及“至少”，可利用对立事件的概率进行计算，可简化分类讨论，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题.‎ ‎15.已知只有一个零点，且这个零点为正数，则实数的取值范围为_________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，并求出极值点，列表分析函数的单调性与极值情况，由题意得出，由此可解出实数的取值范围.‎ ‎【详解】，.‎ 令，得或，当变化时，、的变化情况如下表：‎ 极大值 极小值 由于函数只有一个零点，且该零点为正数，‎ 所以，，，化简得，‎ 解得，因此，实数的取值范围是，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三次函数的零点问题，解题时要利用导数分析函数单调性与极值，结合题意转化为极值的符号等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎16.已知函数．设在，且在时恒成立，则整数的最大值_________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由参变量分离法得出在时恒成立，构造函数，将问题转化为来处理，然后利用导数求出函数的最小值，即可得出的取值范围，可得出整数的最大值.‎ ‎【详解】，即，‎ 即在时恒成立，‎ 构造函数，其中，则，‎ 构造函数，其中，在时恒成立，‎ 所以，函数在上单调递增，由于，，，，‎ 由零点存在定理知，存在实数，使得，即，①‎ 且当时，，此时；当时，，此时.‎ 所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，‎ 即，‎ ‎，因此，整数的最大值为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用不等式恒成立问题，涉及参变量分离法转化为函数最小值来求解，解题时要注意利用导数研究相应函数的单调性，结合零点存在定理得出函数极值点的唯一性，同时要注意隐零点思想的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17.已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）设函数的最小值为，若，均为正数，且，求的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）分段去绝对值求解不等式即可；‎ ‎（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得，再由 ‎，展开利用基本不等式求解即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ） ‎ ‎ 或 或 ‎ ‎ ,不等式解集为.‎ ‎（Ⅱ） ,‎ ‎ ,‎ 又,,‎ ‎ , ,‎ 当且仅当 即时取等号,所以.‎ ‎【点睛】绝对值不等式的常见解法：‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎18.已知是实数，函数.‎ ‎（1）若，求的值及曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数在区间上的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导，由求出的值，可得出函数的解析式，再求出的值，最后利用点斜式写出所求切线的方程；‎ ‎（2）对函数的求导，解方程得出和，考查与区间的位置关系，分析函数在区间上的单调性，可得出函数在区间上的最小值.‎ ‎【详解】（1），，则，，‎ ‎，则，‎ 因此，曲线在点处的切线方程为，即；‎ ‎（2），，令，得，.‎ ‎①当时，即当时，对任意的，，‎ 此时，函数在区间上单调递增，所以；‎ ‎②当时，即当时，‎ 若，则；若时，.‎ 此时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 所以，函数处取得极小值，亦即最小值，即；‎ ‎③当时，即当时，对任意的，.‎ 此时，函数在区间上单调递减，则.‎ 综上所述：.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，解题时注意对极值点与区间的位置关系进行分类讨论，分析函数的单调性，由此得出函数的最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎19.已知甲盒内有大小相同的个红球和个黑球，乙盒内有大小相同的个红球和个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取个球．‎ ‎（1）求取出的个球中恰有个红球的概率；‎ ‎（2）设为取出的个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取出的个球中恰有个红球包含从甲盒拿出个红球和从乙盒中拿出个红球，然后利用古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式可求出所求事件的概率；‎ ‎（2）由题意知随机变量的可能取值为、、、，然后利用超几何分布概率公式计算出相应的概率，可写出随机变量的分布列，并求出随机变量的数学期望.‎ ‎【详解】（1）记事件取出的个球中恰有个红球，事件取出的个球中唯一的红球取自于甲盒，事件取出的个球中唯一的红球取自于乙盒，‎ 则，且事件与互斥，‎ 由互斥事件的概率公式可得，‎ 因此，取出的个球中恰有个红球的概率为；‎ ‎（2）由题意知随机变量的可能取值为、、、，，‎ ‎，，.‎ 所以，随机变量的分布列如下表所示：‎ 因此，随机变量的数学期望为.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率公式以及互斥事件概率公式的应用，考查随机变量分布列与数学期望的计算，解题时要弄清楚随机变量所服从的分布列，结合相应的公式进行计算，属于中等题.‎ ‎20.一种室内植物的株高（单位：）与与一定范围内的温度（单位：）有，现收集了该种植物的组观测数据，得到如图所示的散点图：‎ 现根据散点图利用或建立关于的回归方程，令，，得到如下数据：‎ 且与的相关系数分别为、，其中．‎ ‎（1）用相关系数说明哪种模型建立关于的回归方程更合适；‎ ‎（2）（i）根据（1）的结果及表中数据，求关于的回归方程；‎ ‎（ii）已知这种植物的利润（单位：千元）与、的关系为，当何值时，利润的预报值最大.‎ 附：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，‎ 相关系数，．‎ ‎【答案】（1）用模型建立与的回归方程更合适；（2）（i）；‎ ‎（ii）当温度为时，这种草药的利润的预报值最大.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用相关系数公式计算出相关系数的值，并比较、的大小关系，选择相关系数绝对值较大的模型较好；‎ ‎（2）（i）将相关数据代入最小二乘法公式得出和的值，可得出关于的回归方程；‎ ‎（ii）先得出关于的函数解析式，然后利用基本不等式求出的最大值，并注意等号成立的条件，从而解答该问题.‎ ‎【详解】（1）由相关系数公式可得 ‎，‎ ‎，所以用模型建立与的回归方程更合适；‎ ‎（2）（i）由题意可得，‎ ‎，‎ 因此，关于的回归方程为；‎ ‎（ii）由题意知，‎ 由基本不等式可得，所以，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 所以当温度为时，这种草药的利润的预报值最大.‎ ‎【点睛】本题考查相关系数的计算，考查非线性回归方程的计算以及回归方程的应用，在计算非线性回归方程时，要注意一些变换，将数据代入最小二乘法公式进行计算，意在考查对这些公式的理解与应用，属于中等题.‎ ‎21.某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分（满分：分）数据，统计结果如下表所示．‎ 组别 频数 ‎ ‎ ‎（1）已知此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求；‎ ‎（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.‎ ‎（ⅰ）得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；‎ ‎（ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.‎ 赠送的随机话费/元 概率 现市民甲要参加此次问卷调查，记为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望．‎ 附：，若，则，，.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数的值，再利用数据之间的关系将、表示为，，利用题中所给数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求出对应的概率；‎ ‎（2）根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各为，再结合得元、元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而得出分布列，之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望.‎ ‎【详解】（1）由题意可得，‎ 易知，，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）根据题意，可得出随机变量的可能取值有、、、元，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 所以，随机变量的分布列如下表所示：‎ 所以，随机变量的数学期望为.‎ ‎【点睛】本题考查概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望，在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎22.已知常数,函数.‎ ‎(1)讨论在区间上的单调性;‎ ‎(2)若存在两个极值点,且,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)详见解析 (2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)首先对函数求导并化简得到导函数,导函数的分母恒大于0,分子为含参的二次函数,故讨论分子的符号,确定导函数符号得到原函数的单调性,即分和得到导函数分子大于0和小于0的解集进而得到函数的单调性.‎ ‎(2)利用第(1)可得到当时,导数等于0有两个根,根据题意即为两个极值点,首先导函数等于0的两个根必须在原函数的可行域内,把关于的表达式带入,得到关于的不等式,然后利用导函数讨论的取值范围使得成立.即可解决该问题.‎ ‎(1)对函数求导可得 ‎,因为,所以当时,即时,恒成立,则函数在 单调递增,当时,,则函数在区间单调递减,在单调递增的.‎ ‎(2)解:(1)对函数求导可得,因为,所以当时,即时,恒成立,则函数在单调递增,当时,,则函数在区间单调递减,在单调递增的.‎ ‎(2)函数的定义域为,由(1)可得当时,,则,即,则为函数的两个极值点,代入可得 ‎=‎ 令,令,由知: 当时,, 当时,,‎ 当时,,对求导可得,所以函数在上单调递减,则,即 不符合题意.‎ 当时,,对求导可得,所以函数在上单调递减,则,即恒成立,‎ 综上的取值范围为.‎ 考点：导数 含参二次不等式 对数 单调性 ‎ ‎