陕西省汉中市重点中学2020届高三4月开学第一次联考数学（文）试题

陕西省汉中市重点中学2020届高三4月开学第一次联考数学（文）试题

高三数学试卷（文科）‎ 考生注意：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．‎ ‎2．请将各题答案填写在答题卡上．‎ ‎3．本试卷主要考试内容；高考全部内容．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若，则（ ）‎ A．z的实部大于的实部 B．z的实部等于的实部 C．z的虚部大于的虚部 D．z的虚部小于的虚部 ‎3．设双曲线的焦距为12，则（ ）‎ A．1 B．‎3 C．2 D．4‎ ‎4．若向量，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．如图所示的曲线图是‎2020年1月25日至‎2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断错误的是（ ）‎ A．‎1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了 B．‎1月25日至‎2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势 C．‎2月2日后到‎2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例 D．‎2月8日到‎2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于‎2月6日到‎2月8日的增长率 ‎7．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．哥德巴赫在‎1742年6月7日给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和．这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“” ．1966年，我国数学家陈景润证明了“”，获得了该研究的世界最优成果．若从大于10且不超过30的所有质数中，随机选取两个不同的数，则这两数之和超过30的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数的图象关于点对称，当时，，且在上单调递增，则m的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数，则（ ）‎ A．的最小正周期为 B．曲线关于对称 C．的最大值为2 D．曲线关于对称 ‎11．如图，在正四棱柱中，，E，F分别为AB，BC的中点，异面直线与所成角的余弦值为m，则（ ）‎ A．直线与直线异面，且 B．直线与直线共面，且 C．直线与直线异面，且 D．直线与直线共面，且 ‎12．已知直线与抛物线交于A，B两点，直线与抛物线交于M，N两点，设，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13．a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知．则________．‎ ‎14．若x，y满足约束条件，则的取值范围为________．‎ ‎15．四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且，，，则四面体ABCD的体积为________，球O的表面积为________．（本题第一空2分．第二空3分）‎ ‎16．函数的最小值为________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）‎ 某公司A产品生产的投入成本x（单位：万元）与产品销售收入y（单位：十万元）存在较好的线性关系，下表记录了该公司最近8次该产品的相关数据，且根据这8组数据计算得到y关于x的线性回归方程为．‎ x（万元）‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎14‎ ‎17‎ ‎21‎ y（十万元）‎ ‎1.2‎ ‎1.5‎ ‎1.7‎ ‎2‎ ‎2.2‎ ‎2.4‎ ‎2.6‎ ‎2.9‎ ‎（1）求的值（结果精确到0.0001），并估计公司A产品投入成本30万元后产品的销售收入（单位：元）．‎ ‎（2）该公司B产品生产的投入成本u（单位：万元）与产品销售收入v（单位：十万元）也存在较好的线性关系，且v关于u的线性回归方程为．‎ ‎（ⅰ）估计该公司B产品投入成本30万元后的毛利率（毛利率）；‎ ‎（ⅱ）判断该公司A，B两个产品都投入成本30万元后，哪个产品的毛利率更大．‎ ‎18．（12分）‎ 设等差数列的公差为2，等比数列的公比为2，且，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ ‎19．（12分）‎ 如图，四棱锥的底面是正方形，E为AB的中点，，，，．‎ ‎（1）证明：平面PCD．‎ ‎（2））求三棱锥的侧面积．‎ ‎20．（12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）讨论在上的单调性；‎ ‎（2）若，求不等式的解集．‎ ‎21．（12分）已知椭圆过点，过坐标原点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于M，N两点.‎ ‎（1）证明：当取得最小值时，椭圆C的离心率为．‎ ‎（2）若椭圆C的焦距为2，是否存在定圆O与直线MN总相切？若存在，求定圆O的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）若点P的极坐标为，过P的直线与曲线C交于A，B两点，求的最大值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）记函数的最小值为m，若a，b，c均为正实数，且，求的最小值．‎