2018-2019学年吉林省长春汽车经济开发区第六中学高二上学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年吉林省长春汽车经济开发区第六中学高二上学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年吉林省长春汽车经济开发区第六中学高二上学期第一次月考数学（文）学科 ‎ 命题人：王文光 审题人：李迪 考试说明： 1.考试时间为120分钟，满分150分，选择题涂卡。‎ ‎ 2.考试完毕交答题卡。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本题包括12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分）‎ ‎1．为了解某校高一年级400名学生的身高情况，从中抽取了50名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，样本是指（ ）‎ A．400 B．50 C．400名学生的身高 D．50名学生的身高 ‎2．命题：“”的否定形式是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．用系统抽样的方法从个体数为1003的总体中抽取一个容量为50的样本，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．有下列调查方式：‎ ‎（1）学校为了解高一学生的数学学习情况，从每班抽2人进行座谈；‎ ‎（2）一次数学竞赛中，某班有15人在100分以上，35人在90—100分，10人低于90分现在从中抽取12人座谈了解情况；‎ ‎（3）运动会中工作人员为参加400m比赛的6名同学公平安排跑道． （5题） ‎ 就这三个调查方式，最合适的抽样方法依次为（ ） ‎ A．分层抽样，系统抽样，简单随机抽样 B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样 C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样 D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样 ‎5．如图所示的程序中，如果输入的x等于2018，程序运行后输出的结果是（ ）‎ A． 2018 B． -2018 C． 2019 D． -2019‎ ‎6．给出两个命题： ：互斥事件一定是对立的； ：偶函数的图象一定关于轴对称，则下列命题是假命题的是（ ）‎ A．或 B．且 C．或 D．且 ‎7．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入的a值为5，则输出的值为（ ）‎ A． 19 B． 35 C． 67 D． 198‎ ‎8．已知非空集合满足，给出以下四个命题：‎ ‎①若任取，则是必然事件 ‎ ‎②若，则是不可能事件 ‎③若任取，则是随机事件 ④若，则是必然事件 （7题）‎ 其中正确的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ ‎9．将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为a,b,则直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2无公共点的概率为(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．等差数列中，，则是的（ ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎11．已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个， 每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是（ ）‎ A．甲命中个数的极差是29 B．乙命中个数的众数是21‎ C．甲的命中率比乙高 D．甲命中个数的中位数是25‎ ‎12．己知命题： “关于x的方程有实根”，若非为真命题的充分不必要条件为，则实数m的取值范围是( ） （11题）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．如图表所示，生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）之间的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程，那么表中的值为．‎ ‎14．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如右上图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是___________．‎ ‎15．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是___________．‎ ‎16．已知，若直线与直线互相垂直，则的最大值是__________．‎ 三、解答题（本题包括6个小题，17题10分，18--22每题12分，共70分）‎ 打算观看 不打算观看 女生 ‎20‎ b 男生 c ‎25‎ ‎17．某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查,情况如下表:‎ ‎（1）求出表中数据b，c;‎ ‎（2）为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们发现它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率.‎ ‎18．某市为制定合理的节电方案,对居民用电情况进行了调查,通过抽样,获得了某年200户居民每户的月均用电量(单位:百度),将数据按照,分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图：‎ ‎(1)求直方图中m的值;‎ ‎(2)设该市有100万户居民,估计全市每户居民中月均用电量不低于6百度的人数,估计每户居民月均用电量的中位数，说明理由;‎ ‎(3)政府计划对月均用电量在4(百度)以下的用户进行奖励,月均用电量在 内的用户奖励20元/月,月均用电量在内的用户奖励10元/月,月均用电量在内的用户奖励2元/月.若该市共有400万户居民,试估计政府执行此计划的年度预算.‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎19．高考复习经过二轮“见多识广”之后，为了研究考前“限时抢分”强化训练次数x与答题正确率y﹪的关系，对某校高三某班学生进行了关注统计，得到如右表数据：‎ ‎（1）求y关于x的线性回归方程，并预测答题正确率是100﹪的强化训练次数；‎ ‎（2）若用表示统计数据的“强化均值”（精确到整数），若“强化均值”的标准差在区间内，则强化训练有效，请问这个班的强化训练是否有效？‎ 附： ‎ 20． 已知函数．‎ （1） 当时，求的值域；‎ （2） 已知内角对边，若，求的面积．‎ ‎21．已知圆过两点，且圆心在直线上 ‎（1）求圆的方程 ‎（2）若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程 ‎22．如图所示，正三棱柱的高为2，点D是的中点，点E是的中点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若三棱锥的体积为，求该正三棱柱的底面边长.‎ 汽开区六中高二年级2018~2019学年度上学期月考试题数学（文）参考答案 ‎1．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用样本的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 本题研究的对象是某校高一年级名学生的身高情况，所以样本是名学生的身高，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考査的是确定样本，解此类题需要注意“考査对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考査的事物”，我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考査的对象，本题中研究对象是：学生的身高.‎ ‎2．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 含有全称量词的命题就称为全称命题，含有存在量词的命题称为特称命题．一般形式为：全称命题：，；特称命题，．‎ ‎【详解】‎ 命题“”的否定形式是特称命题；‎ ‎“”，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 通常像“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“”表示“对任意”；“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“”表示“存在”．‎ ‎3．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据统抽样方法的公平性即抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，分析题意，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的， 即为， 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查系统抽样方法，注意抽样中的公平性即可．‎ ‎4．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样，系统抽样，简单随机抽样的定义进行判断．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）是系统抽样，因为各班人数相等，每班抽取2人；‎ ‎（2）是分层抽样，因为60人中分数有明显差异；‎ ‎（3）是简单随机抽样，因为6名同学中每个同学都是等可能地被安排在相应的赛道上，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 抽样方法共有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样 ‎（1）简单随机抽样是每个个体等可能被抽取；‎ ‎（2）系统抽样是均匀分组，按规则抽取（通常每组抽取的序号成等差数列）；‎ ‎（3）分成抽样就是按比例抽取．‎ ‎5．D ‎【解析】分析：利用算法语句求解即可．‎ 详解：由算法语句，得 ‎．‎ 点睛：本题考查算法语句的功能，意在考查学生的逻辑思维能力．‎ ‎6．B ‎【解析】由于“事件与事件对立”是“事件与事件互斥”的充分不必要条件，故命题是假命题；‎ 由题意得命题为真命题．‎ ‎∴或、或、 且均为真命题， 且为假命题．‎ 选B．‎ ‎7．C ‎【解析】分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ 详解：模拟程序的运行，可得:‎ 此时否则输出结果为67‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎8．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由集合的包含关系可得中的任何一个元素都是中的元素，中至少有一个元素不在中，结合必然事件、不可能事件和随机事件的概念，即可判断正确的个数 ‎【详解】‎ 非空集合、满足，可得中的任何一个元素都是中的元素，中至少有一个元素不在 中，①若任取，则是必然事件，故①正确；②若，则是可能事件，故②不正确；③若任取，则是随机事件，故③正确；④若，则是必然事件，故④正确．其中正确的个数为3，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的包含关系，以及必然事件、不可能事件和随机事件的概念和判断，考查判断能力，属于基础题.‎ ‎9．B ‎【解析】直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2无公共点,则有⇒a>b,满足该条件的基本事件有15种,基本事件总数是36种,故所求概率为P=.‎ 故选：B ‎10．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 由等差数列的性质知：，时，成立，即充分性成立，反之：等差数列为常数列，对任意成立，即必要性不成立.‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键.判断是的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件能否推得条件；二是由条件能否推得条件.‎ ‎11．D ‎【解析】分析：根据茎叶图计算极差、众数、平均数、中位数，再作出判断.‎ 详解：因为甲命中个数的极差是37-8=29，乙命中个数的众数是21, 甲命中个数的平均数比乙高，甲命中个数的中位数是23，所以选D.‎ 点睛：本题考查极差、众数、平均数、中位数，考查基本求解能力.‎ ‎12．A ‎【解析】‎ 分析：通过方程有实数根的条件，确定，然后确定非条件下；根据充分不必要条件确定，进而求出m的取值范围。‎ 详解：由命题有实数根，则 则 ‎ 所以非时 是非为真命题的充分不必要条件，所以 ‎ ‎ ，则m的取值范围为 所以选A 点睛：本题主要考查了一元二次方程存在根的条件，复合命题和充分必要条件。尤其注意条件给出的方式，确定充分不必要条件，题目不难，属于易错题。‎ ‎13．3‎ ‎【解析】样本中心点过线性回归方程，由表格知，代入方程可得，则有，可得．故本题应填．‎ ‎14．509‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不同进制转换成十进制.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不同进制转换，考查基本求解能力.‎ ‎15．‎ ‎【解析】分析：根据图形的对称性求出黑色图形的面积，即为圆的面积的一半，利用几何概型的概率公式进行计算即可.‎ 详解：根据图形的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，‎ 设圆的半径为1，则正方形的边长为2，‎ 所以黑色部分的面积为，‎ 则所求的概率为，‎ 故答案为.‎ 点睛：该题考查的是有关几何概型的概率求解问题，在解题的过程中，需要分析得出黑色图形的面积等于圆的面积的一半，之后应用相关的公式求得结果.‎ ‎16．.‎ ‎【解析】分析：根据两直线垂直的条件，求出满足的关系式，再利用基本不等式求出的最大值。‎ 详解：因为直线与直线互相垂直，所以，，又，所以，当且仅当，即时，等号成立。所以的最大值为。‎ 点睛：本题主要考查了两直线垂直的条件以及基本不等式，属于中档题。本题使用基本不等式时，注意凑项，方便使用基本不等式。‎ ‎17．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）亿元 ‎【解析】分析：(1)利用频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为，可求出参数的值；（2）根据频率分布直方图计算出200户居民月均用电量不低于6百度的频率为，则可估计100万户居民中月均用电量不低于6百度的户数为120000，设中位数为，由前4组频率之和为，前5组频率之和为，可知，可继续计算出的值；（3）分别计算出月均用电量在内的用户数，可得出一年的预算.‎ 详解：‎ ‎(Ⅰ) ‎ ‎（Ⅱ）200户居民月均用电量不低于6百度的频率为，‎ ‎100万户居民中月均用水量不低于6百度的户数有；‎ 设中位数是百度，前组的频率之和 而前组的频率之和 所以，，故.‎ ‎（Ⅲ）该市月均用电量在，，内的用户数分别为，，，所以每月预算为元，‎ 故一年预算为万元亿元.‎ 点睛：本题主要结合频率直方图考察样本估计总体，以及样本数字特征的计算等知识。频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示，频率；频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，因此在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比.‎ ‎18．(1) b=30, c=50;(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分层抽样方法，分别求得女生和男生的人数，进而即可求解表中的数据的值；‎ ‎（2）由（1）利用独立性检验的公式，求得的值，比较即可作出判断的结果；‎ ‎（3）设名男生分别为，名女生分别为，由题意列举出从人中选出人接受电视台采访的基本事件的总数，找出其中恰为一男一女所包括基本时间的个数，利用古典概型及概率的计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据分层抽样方法抽得女生50人，男生75人，所以b=50-20=30(人)，‎ c=75-25=50(人)‎ ‎（2）因为，所以有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关. ‎ ‎(说明：数值代入公式1分，计算结果3分，判断1分)‎ ‎（3）设5名男生分别为A、B、C、D、E，2名女生分别为a、b，由题意可知从7人中选出5人接受电视台采访，相当于从7人中挑选2人不接受采访，其中一男一女，所有可能的结果有{A,B}{A,C}{A,D}{A,E}{A,a}{A,b}{B,C}{B,D}{B,E}{B,a}{B,b}{C,D}{C,E}{C,a} {C,b}{D,E}{D,a}{D,b}{E,a}{E,b}{a,b}，共21种， ‎ 其中恰为一男一女的包括，{A,a}{A,b}{B,a}{B,b}{C,a}{C,b}{D,a}{D,b}{E,a}{E,b},‎ 共10种.因此所求概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了独立性检验和概率的综合应用，其中解答中涉及到分层抽样的方法、及独立性检验，以及古典概型及其概率的计算，熟记基本公式和基本的运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎19．（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件中的数据可求得，进而可得关于的线性回归方程，然后进行预测即可．（2）先求出这四组数据的“强化均值”，然后再求出标准差，最后根据题意作出判断即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由所给数据计算得：,，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝－，‎ ‎∴所求回归直线方程是．‎ 令100=14+5，解得=6.79.‎ ‎∴预测答题正确率是100﹪的强化训练次数为7次． ‎ ‎（2）经计算知，这四组数据的“强化均值”分别为5，6，8，9,其平均数是7，‎ ‎ 所以“强化均值”的标准差是，‎ ‎∴这个班的强化训练有效．‎ ‎【点睛】‎ 求线性回归直线方程的步骤 ‎(1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；‎ ‎(2)求系数：公式有两种形式，即，根据题目具体情况灵活选用；‎ ‎(3)求：；‎ ‎(4)写出回归直线方程．‎ 说明：当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果可确定选用公式的哪种形式求．‎ ‎20．（Ⅰ）；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由 ，得，进而得，即可求解函数的值域；‎ ‎（Ⅱ）由（1），根据，求得，再由余弦定理得，利用三角形的面积公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵ ∴‎ ‎∴，‎ 得 ‎（Ⅱ）∵，∴‎ ‎∵ ∴‎ ‎∵ ‎ ‎∴由余弦定理得 ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的值域的求解，三角形面积公式的应用，在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎21．(1);(2)或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把点、的坐标代入圆的标准方程，圆心坐标代入直线，利用待定系数法求得系数的值； （2）分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况． ①当直线的斜率不存在时，满足题意，易得直线方程；    ②当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为，则直线的方程为：，由点到直线的距离公式求得的值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设圆的圆心坐标为，半径为 设圆的方程为 由题意可得 ‎ 所以圆方程为.‎ ‎（2）因为直线经过点，且被圆截得的线段长为 ‎ 圆心到直线的距离为 ‎ 当直线的斜率不存在时，的方程为 （8分）‎ 此时圆心到直线的距离恰好为2，符合条件 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 则圆心到直线的距离为 ‎ 即 此时直线的方程为 （11分）‎ 综上所述直线的方程为或 ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，属于中档题．‎ ‎22．（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，推导出，由此能证明平面1． （2）由，作交于点，由正三棱柱的性质，得平面1，设底面正三角形边长为，则三棱锥的高，由此能求出该正三棱柱的底面边长．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图，连接，因为是的中点，是的中点， ‎ 所以在中，, ‎ 平面，‎ ‎ 平面， ‎ 所以平面. ‎ ‎（2）‎ 解：由等体积法，得，‎ 因为是的中点，所以点到平面的距离是点，‎ 到平面的距离的一半.‎ 如图，作交于点，由正三棱柱的性质可知，平面.设底面正三角形的边长，则三棱锥的高，‎ ‎ ,‎ 所以，解得，‎ 所以该正三棱柱的底面边长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的证明，考查正三棱锥底面边长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．‎