江西省南昌市八一中学2020届高三第三次模拟数学(理)试题

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江西省南昌市八一中学2020届高三第三次模拟数学(理)试题

‎2020届南昌市八一中学高三理科数学第三次模拟考试卷 一、选择题(共12小题)‎ ‎1.已知集合 A =,集合 B 满足 A ∩ B = A,则 B可能为( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知复数z满足 (i为虚数单位),则在复平面内复数z对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.已知角终边上一点的坐标为,则( )‎ A. B. C. D.‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5. 图1为某省2019年1至4月快递业务量统计图,图2是该省2019年1至4月快递业务收入统计图,下列对统计图理解错误的是(“同比”指与去年同月相比)(  )‎ A.2019年1至4月的快递业务收入在3月最高,2月最低,差值超过20000万元 ‎ B.2019年1至4月的快递业务收入同比增长率不低于30%,在3月最高 ‎ C.从1至4月来看,该省在2019年快递业务量同比增长率逐月增长 D.从两图来看2019年1至4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率不完全一致 ‎6.若a,b为正实数,直线4x+(2a-3)y+2=0与直线bx+2y-1=0互相垂直,则ab的最大值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.2019年11月26日,联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”(昵称:πday ‎),2020年3月14日是第一个“国际数学日”。圆周率π是圆的周长与直径的比值,是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π有许多奇妙性质,如莱布尼兹恒等式,即为正奇数倒数正负交错相加等。小红设计了如图所示的程序框图,要求输出的T值与π非常近似,则①、②中分别填入的可以是 A.S=(﹣1)i﹣1,i=i+2 B.S=(﹣1)i﹣1,i=i+1 ‎ C.S=S+(﹣1)i﹣1,i=i+2 D.S=S+(﹣1)i﹣1,i=i+1‎ ‎8.已知函数y=sinax+b(a>0)的图象如图所示,则函数y =loga(x﹣b)的图象可能是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.中国是茶的故乡,也是茶文化的发源地,中国茶的发现和利用已有四千七百多年的历史, 且长盛不衰,传遍全球,为了弘扬中国茶文化,某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”,为了解每壶“金萱排骨茶” 中所放茶叶量x克与食客的满意率y的关系,通过试验调查研究,发现可选择函数模型来拟合y与 x的关系,根据以下数据:‎ 可求得y关于x的回归方程为 A. B. C. D. ‎ ‎10.已知抛物线:的焦点为,点是抛物线上一点,以点为圆心的圆与直线交于,两点,若,则抛物线的方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.如图所示,三棱锥S一ABC中,△ABC与△SBC都是边长为1的 正三角形,二面角A﹣BC﹣S的大小为,若S,A,B,C四点都在球O的表面上,则球O的表面积为 A.π B.π C.π D.3π ‎12.若函数f(x)=2x+sinx•cosx+acosx在(﹣∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是(  )‎ A.[﹣1,1] B.[﹣1,3] C.[﹣3,3] D.[﹣3,﹣1]‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知,,且,则向量与的夹角为______.‎ ‎15.在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点M,N分别是棱B1C1,C1D1的中点,过A,M,N三点作正方体的截面,将截面多边形向平面ADD1A1作投影,则投影图形的面积为   .‎ ‎16. 已知函数,若在区间上方程只有一个解,则实数的取值范围为______.‎ 三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)已知Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和,S3=6,a3是a1与a9的等比中项.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设数列,数列{bn}的前2n项和为,若,求正整数n的最小值。‎ ‎18.如图,已知三棱柱的所有棱长均为2,.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)若平面平面,为的中点,求与平面 所成角的正弦值.‎ ‎19.‎ ‎ 阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家,对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度,某调查小组随机抽取了某市的100名高中生,请他们列举阿基米德的成就,把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”,少于三项的称为“不太了解”。他们的调查结果如下:‎ ‎0项 ‎1项 ‎2项 ‎3项 ‎4项 ‎5项 ‎5项以上 理科生(人)‎ ‎1‎ ‎10‎ ‎17‎ ‎14‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎4‎ 文科生(人)‎ ‎0‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎(1)完成如下列联表,并判断是否有的把握认为,了解阿基米德与选择文理科有关?‎ 比较了解 不太了解 合计 理科生 文科生 合计 ‎(2)在抽取的100名高中生中,按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本.‎ ‎(i)求抽取的文科生和理科生的人数;‎ ‎(ii)从10人的样本中随机抽取3人,用表示这3人中文科生的人数,求的分布列和数学期望.‎ 参考数据:‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎,.‎ ‎20. 已知椭圆与抛物线有共同的焦点F,且两曲线的公共点到F的距离是它到直线(点F在此直线右侧)的距离的一半。‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设O为坐标原点,直线l过点F且与椭圆交于A,B两点,以OA,OB为邻边作平行四边形OAMB.是否存在直线l,使点M落在椭圆C或抛物线D上?若存在,求出点M坐标;若不存在,请说明理由.‎ 21. ‎(12分)已知函数 ‎(1)当时,总有,求m的最小值.‎ ‎(2)对于[0,1]中任意x恒有,求a的取值范围.‎ ‎ (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的方程为。以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出曲线C的极坐标方程,并求出直线l与曲线C的交点M,N的极坐标;‎ ‎(2)设P是椭圆上的动点,求△PMN面积的最大值.‎ ‎23. (10分)设函数 ‎(1)当a=1,b=1时,求不等式的解集; ‎ ‎(2)若f(x)的最小值为2,求的最小值.‎ 南昌市八一中学2020届高三数学三模试卷(理科)参考答案 一、选择题(共12小题) DDCAC BDCDC AA 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13. 14. -80 15. 16. ‎ 三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 解:(1)公差d不为零的等差数列{an},由a3是a1与a9的等比中项,可得,即a1(a1+8d)=(a1+2d)2,化为a1=d,‎ 又S3=3a1+3d=6,可得a1=d=1,‎ 所以数列{an}是以1为首项和公差的等差数列,故综上;(5分)‎ ‎(2)由(1)可知,(7分)‎ 所以 ‎=,(10分)‎ 所以,故n的最小值为505.(12分)‎ ‎18. ‎ 证明:(Ⅰ)取中点,连接,,.‎ ‎∵三棱柱的所有棱长均为2,,‎ ‎∴和是边长为2的等边三角形,且.‎ ‎∴,.‎ ‎∵,平面,,∴平面.‎ ‎∵平面,∴.‎ ‎∵,平面,,∴平面,‎ ‎∴.(6分)‎ 另证:平面 ‎(Ⅱ)∵平面平面,且交线为,‎ 由(Ⅰ)知,∴平面.‎ 则,,两两垂直,则以为原点,为轴,为轴,为轴,‎ 建立空间直角坐标系.‎ 则,,,,,‎ ‎∵为的中点,∴,‎ ‎∴,,,‎ 设平面的法向量为,‎ 则,取,得. ‎ 设与平面所成的角为,则. ‎ ‎∴与平面所成角的正弦为.(12分)‎ ‎19. 解:(1)依题意填写列联表如下:‎ 比较了解 不太了解 合计 理科生 ‎42‎ ‎28‎ ‎70‎ 文科生 ‎12‎ ‎18‎ ‎30‎ 合计 ‎54‎ ‎46‎ ‎100‎ 计算,‎ ‎∴没有的把握认为,了解阿基米德与选择文理科有关.(5分)‎ ‎(2)(i)抽取的文科生人数是(人),理科生人数是(人).(7分)‎ ‎(ii)的可能取值为0,1,2,3,‎ 则,,‎ ‎,.(10分)‎ 其分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以.(12分)‎ ‎20.解:(1)由题意知F(﹣1,0),因而c=1,即a2=b2+1,‎ 又两曲线在第二象限内的交点Q(xQ,yQ)到F的距离是它到直线x=﹣4的距离的一半,即4+xQ=2(﹣xQ+1),‎ 得,则,代入到椭圆方程,得 .‎ 由,解得a2=4,b2=3,‎ ‎∴所求椭圆的方程为. (5分)‎ ‎(2)当直线AB的斜率存在且不为0时,设直线AB的方程为y=k(x+1),‎ 由,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2﹣12=0,‎ 设M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则,,(7分)‎ 由于OABM为平行四边形,得,‎ 故, ‎ 若点M在椭圆C上,则,代入得,解得k无解;‎ 若点M在抛物线D上,则,代入得,解得k无解.(10分)‎ 当直线斜率不存在时,易知存在点M(﹣2,0)在椭圆C上.‎ 故不存在直线l,使点M落在抛物线D上,存在直线l,使点M(﹣2,0)落在椭圆C上.(12分)‎ ‎21. 解:(1)令,‎ 则φ'(x)=x+m﹣ln(x+1)﹣1,,‎ ‎∴φ'(x)在[0,+∞)上单调递增,且φ'(0)=m﹣1,‎ 若m≥1,φ(x)在[0,+∞)上单调递增,‎ ‎∴φ(x)≥φ(0)=0,‎ 即m≥1满足条件,‎ 若m<1,φ′(0)=m﹣1<0,φ(x)存在单调递减区间[0,x0],又∵φ(0)=0‎ 所以存在x0使得φ(x0)<0与已知条件矛盾,所以m≥1,m的最小值为1.(4分)‎ ‎(2)由(1)知,如果,则必有f(x)≤g(x)成立.‎ 令,则h(x)=(a﹣1)x﹣xcosx=x(a﹣1﹣cosx),‎ h(x)=x(a﹣1﹣cosx)≥0,则a﹣1﹣cosx≥0,a≥1+cosx,a≥2.‎ 若h(x)≥0,必有f(x)≤g(x)恒成立,故当a≥2时,f(x)≤g(x)恒成立,(8分)‎ 下面证明a<2时,f(x)≤g(x)不恒成立.‎ 令f1(x)=f(x)﹣x=(x+1)ln(x+1)﹣x,f′1(x)=ln(x+1),‎ 当x>0时,f′1(x)=ln(x+1)>0,f1(x)在区间[0,1]上单调递增,‎ 故f1(x)≥f1(0)=0,即f1(x)=f(x)﹣x≥0,故x≤f(x).‎ g(x)﹣f(x)≤g(x)﹣x==,‎ 令,>0,‎ 所以t(x)在[0,1]上单调递增,t(0)=a﹣2<0,则一定存在区间(0,m)(其中0<m<1),当x∈(0,m)时,t(x)<0,‎ 则g(x)﹣f(x)≤xt(x)<0,故f(x)≤g(x)不恒成立.‎ 综上所述:实数a取值范围是[2,+∞).(12分)‎ ‎ [选做题](10 分)‎ ‎22.解:(1)曲线C的方程为x2﹣2x+y2=0.转换为极坐标方程为:ρ=2cosθ.‎ 联立,得M(0,0),.(5分)‎ ‎(2)易知|MN|=1,直线.‎ 设点P(2cosα,sinα),则点P到直线l的距离.‎ ‎∴(其中 ).‎ ‎∴△PMN面积的最大值为.(10分)‎ ‎23.解:(1)原不等式等价于|x﹣1|+|x+1|<3,‎ 当x≥1时,可得x﹣1+x+1<3,解得1≤x;‎ 当﹣1<x<1时,可得﹣x+1+x+1<3,得2<3成立;‎ 当x≤﹣1时,可得﹣x+1﹣x﹣1<3,解得x≤﹣1.‎ 综上所述,原不等式的解集为{x|x};(5分)‎ ‎(2)f(x)=|x﹣a|+|x+b|≥|b+a|,当且仅当(x﹣a)(x+b)≤0时等号成立.‎ ‎∴f(x)的最小值为|b+a|,即|b+a|=2.‎ 又∵ab>0,∴|b+a|=|a|+|b|=2,‎ ‎∴‎ ‎.‎ 当且仅当时,等号成立,‎ ‎∴的最小值为.(10分)‎
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