甘肃省武威市民勤县第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题

甘肃省武威市民勤县第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题

民勤一中2018-2019学年度第一学期期中考试试卷 高二数学（理）‎ ‎（时间120分钟 总分150分）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.若，则下列不等式不能成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质对选项逐一判断即可.‎ ‎【详解】选项A：由于，即，，所以，所以，所以成立；‎ 选项B：由于，即，所以，所以，所以不成立；‎ 选项C：由于，所以，所以，所以成立；‎ 选项D：由于，所以，所以，所以，所以成立.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查不等关系和不等式，属于基础题.‎ ‎2.下列不等式的解集是的为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对每一个选项逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】A. ，所以该选项错误；‎ B. ，所以该选项错误；‎ C. ，所以该选项正确；‎ D. ，当时，没有意义，所以该选项不符合题意.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查不等关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎3.“”是“成等比数列”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不必要也不充分条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：先说明必要性，由a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得b2=ac；再说明充分性，可以举一个反例，满足b2=ac，但a、b、c不成等比数列，从而得到正确的选项．‎ 解答：若a、b、c成等比数列，‎ 根据等比数列的性质可得：b2=ac，‎ ‎∴“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的必要条件；‎ 若b=0，a=2，c=0，满足b2=ac，但a、b、c显然不成等比数列，‎ ‎∴“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的非充分条件．‎ ‎∴“b2=ac”是“a、b、c成等比数列”的必要非充分条件．‎ 故选B 点评：本题主要考查等比数列的等比中项的性质和充要条件的判断．解题的关键应用a，b，c成等比数列时，一定要考虑a，b，c都等于0的特殊情况．‎ ‎4.等差数列是递减数列，且，则数列通项公式是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设等差数列的公差为d，‎ 由题意得，‎ 解得或（舍去），‎ 所以．选A．‎ ‎5.在各项都为正数的等比数列中，首项，前3项和为21，则(　　)‎ A 84 B. ‎72 ‎C. 33 D. 189‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：设等比数列的公比为，根据前三项的和为列方程，结合等比数列中，各项都为正数，解得，从而可以求出的值.‎ 详解：设等比数列的公比为， ‎ 首项为3，前三项的和为，‎ ‎，解之得或，‎ 在等比数列中，各项都为正数，‎ 公比为正数， 舍去），‎ ‎，故选A.‎ 点睛：本题考查以一个特殊的等比数列为载体，通过求连续三项和的问题，着重考查了等比数列的通项，等比数列的性质和前项和等知识点，属于简单题.‎ ‎6.下面说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆否命题为真命题 B. 实数是成立的充要条件 C. 设，为简单命题，若“”为假命题，则“”也为假命题 D. 命题“，使得”的否定是“，使得”‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对每一个选项逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】A. 命题“若，则”是真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以该选项正确；‎ B. 由得或，所以实数是成立的充分不必要条件，所以该选项错误；‎ C. 设，为简单命题，若“”为假命题，则都是假命题，则“”为真命题，所以该选项错误；‎ D. 命题“，使得”的否定是“，使得”，所以该选项错误.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查四种命题及其关系，考查充要条件的判断，考查复合命题的真假的判断，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎7.已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（　　）‎ A. （x≠0） B. （x≠0）‎ C. （x≠0） D. （x≠0）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．‎ ‎【详解】解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），‎ ‎∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，‎ ‎∵12＞8‎ ‎∴点A到两个定点的距离之和等于定值，‎ ‎∴点A的轨迹是椭圆，‎ ‎∵a＝6，c＝4‎ ‎∴b2＝20，‎ ‎∴椭圆的方程是 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．‎ ‎8.设满足约束条件，则的最大值为 （ ）‎ A. -8 B. ‎3 ‎C. 5 D. 7‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：不等式表示的可行域为直线围成的三角形及其内部，三个顶点为，当过点时取得最大值7‎ 考点：线性规划 ‎9.若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则的面积为( )‎ A. 36 B. ‎16 ‎C. 20 D. 24‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设则,即,又,故选B.‎ ‎10.方程表示的曲线是（ ）‎ A. 一个椭圆 B. 一个圆 C. 两个圆 D. 两个半圆 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：当时，且，表示一个半圆；当时，且，表示一个半圆，故选D．‎ 考点：曲线与方程的关系．‎ ‎11.设数列是公差的等差数列，为前项和，若，则取得最大值时，的值为 A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，进而得到，即，数列是公差的等差数列，所以前五项都是正数，或时，取最大值，故选C.‎ ‎12.下列结论正确的是( )‎ A. 当时，的最小值为 B. 当时，‎ C. 当时，无最大值 D. 当且时， ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合函数的单调性及基本不等式逐个判断即可．‎ ‎【详解】对于A，x+在[2，+∞）上单调增，所以x=2时，最小值为，故A错误；‎ 对于B，当x＞0时，，当且仅当x=1时，等号成立，故B成立；‎ 对于C，（0，2]上单调增，所以x=2时，取得最大值，故C不成立；‎ 对于D，当0＜x＜1时，lgx＜0，＜0，结论不成立；‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查利用基本不等式及函数的单调性研究最值问题，属中等难度题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.由命题：“矩形有外接圆”，：“矩形有内切圆”组成的复合命题“或”“且”“非”形式的3个命题中真命题有__________个（只填真命题的个数）.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断两个命题的真假，再判断复合命题的真假即得解.‎ ‎【详解】由题得命题：“矩形有外接圆”，是真命题；：“矩形有内切圆”，是假命题.‎ 所以“或”是真命题，“且”是假命题，“非”是假命题.‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查复合命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎14.已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于__________．‎ ‎【答案】4π ‎【解析】‎ 设点的坐标为（ 则 ，即（ 以点的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，所以点的轨迹所包围的图形的面积等于4π.即答案为4π ‎15.已知数列的前项和为，则数列的通项公式为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用可计算数列的通项公式.‎ ‎【详解】，而，‎ 当时，，‎ 故.‎ 填.‎ ‎【点睛】数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.‎ ‎16.设是椭圆的长轴，若把给100等分，过每个分点作的垂线，交椭圆的上半部分于、、…、，为椭圆的左焦点，则的值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义，写出，对所给的所有的求和，再根据关于纵轴成对称分布，得到结果．‎ ‎【详解】由椭圆的定义知，2，，，‎ ‎．‎ 由题意知，，，关于轴成对称分布，‎ ‎．‎ 又，‎ 故所求的值为．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义，解题的关键是看清椭圆的定义的应用，这种应用定义的题目，一般说理性比较强，运算量较小．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.设命题；命题．‎ 如果命题“为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：首先依据一元二次方程根的问题得出命题为真时，实数的取值范围；然后运用二次函数的图像及其性质即可得出一元二次不等式的恒成立问题，即命题为真时，实数的取值范围；最后由真值表可得其实数的取值范围，进而得出所求的结果．‎ 试题解析：当命题为真时，得或，当命题为真时，‎ 恒成立，所以且，即．由题意得，命题和命题一真一假．当命题为真，命题为假时，得，当命题为假，命题为真时，得a∈∅；所以实数的取值范围为．‎ 考点：1、一元二次方程；2、一元二次不等式的恒成立问题；3、命题及其真假判断．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了一元二次方程、一元二次不等式的恒成立问题和命题及其真假判断，属中档题．其解题的一般思路为：其解题的一般方法为分别运用一元二次方程根的分布和二次函数的图像及其性质分别求出命题和为真命题时实数的取值范围，然后运用逻辑连接词并结合集合间的基本运算即可得出所求的结果．‎ ‎18.某村计划建造一个室内面积为‎800m2‎ 的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留‎1m宽的通道，沿前侧内墙保留‎3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？‎ ‎【答案】648‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设矩形温室的左侧边长为，后侧边长为，可得出，并利用、表示出蔬菜的种植面积，再利用基本不等式求出的最大值，并利用等号成立的条件求出与的值，即可对问题进行解答．‎ ‎【详解】设矩形温室的左侧边长为，后侧边长为，则 蔬菜的种植面积，‎ 所以 当时，即当，时，.‎ 答：当矩形温室的左侧边长为‎40m，后侧边长为‎20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为‎648m2‎.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的实际应用，考查利用基本不等式求最值，在解题过程中寻找定值条件，解题的关键就是对代数式进行合理配凑，同时特别要注意等号成立的条件，考查计算能力与应用能力，属于中等题．‎ ‎19.已知，集合，，，且.求实数的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合,求出,再对分类讨论，根据得解.‎ ‎【详解】，‎ 或，‎ ‎∴，则，‎ 又∵，‎ ‎∵，∴当时，，‎ 当时，.‎ ‎∵，∴或，‎ 解得或.‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的关系和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎20.已知长为的线段的两个端点分别在轴、轴上滑动，是上一点，且，求点的轨迹的方程．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设，，，由得出与，与关系，从而由求得点的轨迹的方程．‎ 试题解析：设，，，，．‎ ‎，，，．‎ ‎，，，‎ ‎∴点的轨迹方程为．‎ 考点：1、轨迹方程；2、平面向量的坐标运算．‎ ‎【方法点睛】相关点法的判定主要是看题中是否具备两个条件：（1）主动点和从动点；（2）主动点在已知曲线上运动（或主动点轨迹易求）．操作程序为：先设出主动点坐标为，所求点（从动点）坐标为，再找到主动点坐标与从动点坐标之间的关系式，然后解方程组消去，得到的关系，即得轨迹方程．‎ ‎21.设数列的前项为，点， 均在函数的图象上.‎ ‎（1）求数列的通项公式．‎ ‎（2）设， 求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：（1）点 均在函数的图象上，代入可得关系式，由可得数列的通项公式；‎ ‎（2）由，可得数列的通项公式，利用裂项相消法可得.‎ 详解：（1）∵点在函数的图象上，‎ ‎ ∴ ‎ 当 经检验：n=1时满足上式 ‎ ‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 点睛：在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.‎ ‎22.设数列前项和为, 满足 ．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令 求数列的前项和 ；‎ ‎（3）若不等式对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．‎ ‎【答案】（1）;（2）;（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；‎ ‎（2）bn=nan=2n×4n﹣1，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．‎ ‎（3）不等式的n∈N*恒成立，化为a＞ ，利用二次函数的单调性即可得出．‎ 试题解析：‎ 解：（1） ‎ 两式相减，得 .‎ 所以，‎ 又，即 是首项为，公比是的等比数列.‎ 所以 . ‎ ‎（2）‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎- ②,得 ‎ ‎ 故 ‎ ‎（3）由题意，再结合（2），知 ‎ 即 .‎ 从而 设 ，‎ ‎.‎ 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎