2019年高考数学精讲二轮练习专题跟踪训练11
专题跟踪训练(十一)
一、选择题
[解析]
[答案] C
2．(2018·广东揭阳一模)曲线y＝x与y＝x的交点横坐标所在区间为
( )
A. B.
C. D.
[解析]
根据零点存在性定理可得函数零点所在区间为，
即所求交点横坐标所在区间为，故选B.
[答案] B
3．(2018·孝感一模)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 依题意并结合函数f(x)的图象可知，
[答案] C
4．(2018·河南焦作二模)已知函数f(x)＝
F(x)＝f(x)－x－1，且函数F(x)有2个零点，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0] B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(0，＋∞)
[解析] 当x≤0时，F(x)＝ex－x－1，此时有一个零点0；当x>0时，F(x)＝x[x＋(a－1)]，
∵函数F(x)有2个零点，∴1－a>0，∴a<1，故选C.
[答案] C
5．(2018·湖南十三校二模)函数f(x)＝lnx＋ex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是( )
A. B.
C．(1，e) D．(e，＋∞)
[解析]
[答案] A
6．(2018·河南郑州模拟)已知函数f(x)＝x2＋m与函数g(x)＝－ln
－3x的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D．[2－ln2,2]
[解析] 由已知，得方程x2＋m＝ln＋3x，∴m＝－lnx＋3x－x2在上有解．
设h(x)＝－lnx＋3x－x2，
求导，得h′(x)＝－＋3－2x＝－
＝－
∵≤x≤2，
令h′(x)＝0，解得x＝或x＝1.
当h′(x)>0时，
0时，f(2)＝4a＋4a＋1＝8a＋1，f(－3)＝3a＋1.∴f(2)>f(－3)，即f(x)max＝f(2)＝8a＋1＝4，∴a＝；当a<0时，f(x)max＝f(－1)＝a－2a＋1＝－a＋1＝4，∴a＝－3.综上所述，a＝或a＝－3.
[答案] 或－3
9．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为________元．
[解析] 设每辆车的月租金为x(x>3000)元，则租赁公司月收益为
y＝·(x－150)－×50，整理得y＝－＋162x－21000＝－(x－4050)2＋307050.
所以当x＝4050时，y取最大值为307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大为307050元．
[答案] 4050
三、解答题
10．(2018·唐山一中期末)已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
[解] (1)∵f(x)＝ex－x，
∴f′(x)＝ex＋x，
∴f′(x)>0对任意x∈R都成立，
∴f(x)在R上是增函数．
又∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)存在．由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则
f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立，
⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立，
⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立，
⇔t2＋t≤x2＋x＝2－对一切x∈R都成立，
⇔t2＋t≤(x2＋x)min＝－⇔t2＋t＋
＝2≤0，
又2≥0，∴2＝0，
∴t＝－.
∴存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立．
11．(2018·江西三校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P(单位：万元)、种黄瓜的年收入Q(单位：万元)与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
[解] (1)依题意f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，其中
所以20≤x≤180.
故f(50)＝－×50＋4＋250＝277.5.
(2)由(1)知f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)，
令＝t，则2≤t≤6，
y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，
因此当t＝8时，函数取得最大值282，此时x＝128，
故投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，最大总收益是282万元．
12．(2018·江西吉安一中摸底)已知函数f(x)＝
若关于x的方程[f(x)]2＋f(x)＋t＝0有三个不同的实数根，求实数t的取值范围．
[解] 原问题等价于[f(x)]2＋f(x)＝－t有三个不同的实数根，
即直线y＝－t与y＝[f(x)]2＋f(x)的图象有三个不同的交点．
当x≥0时，y＝[f(x)]2＋f(x)＝e2x＋ex为增函数，在x＝0处取得最小值2，其图象与直线y＝－t最多只有一个交点．
当x<0时，y＝[f(x)]2＋f(x)＝[lg(－x)]2＋lg(－x)，根据复合函数的单调性，其在(－∞，0)上先减后增，最小值为－.
所以要使函数的图象有三个不同的交点，只需－t≥2，解得t≤－2.
