2018-2019学年四川省雅安中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

2018-2019学年四川省雅安中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年四川省雅安中学高二上学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：直线的斜率为，倾斜角为，则，．故选D．‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎2．若直线过第一、三、四象限，则（　 　）‎ A． a<0,b<0 B． a<0,b>0‎ C． a>0,b>0 D． a>0,b<0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b，再由直线经过第一、三、四象限，数形结合得出结论．‎ ‎【详解】‎ 若直线过第一、三、四象限，直线在x轴、y轴上的截距分别为a、-b，‎ 故有 a＞0，-b＜0，即a>0,b>0‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的截距式方程，直线在坐标系中的位置，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．‎ ‎3．下列说法正确的是（　 　）‎ A． 若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α B． 经过两条异面直线中的一条，有一个平面与另一条直线平行 C． 平行于同一平面的两条直线平行 D． 直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面的位置关系及性质逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 对于A，若直线a与平面α内无数条直线平行，则可能a⊂α，故错；‎ 对于B．平移其中一条异面直线使两异面直线相交 两条异面直线可确定一个平面，而这条直线与平面中的一条直线平行，故正确；‎ 对于C，平行于于同一平面的两条直线位置关系不能确定，故错；‎ 对于D，直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c可能是异面直线，故错；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．是基础题．‎ ‎4．已知点、，则线段的垂直平分线的方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为AB的中点坐标为,所以所求直线的方程为即.‎ ‎5．直线，则直线恒过定点( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分离参数λ，让λ的系数等于零，求得x、y的值，可得直线l恒过定点的坐标．‎ ‎【详解】‎ 直线l：（λ﹣2）x+（λ+1）y+6=0，即λ（x+y）+（﹣2x+y+6）=0，‎ 令x+y=0，可得﹣2x+y+6=0，求得x=2，y=﹣2，可得直线l恒过定点（2，﹣2），‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 直线过定点的问题实质上是恒成立的问题，判断直线过定点时，先把直线方程整理成（为参数）的形式，解方程组可得定点的坐标．‎ ‎6．经过点M（2，2）且在两坐标轴上截距相等的直线是（　 　）‎ A． x+y=4 B． x+y=2或x=y C． x=2或y=2 D． x+y=4或x=y ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线经过原点时满足条件，可得方程y=x；直线不经过原点时满足条件，可设方程x+y=a，把点M（2，2）代入可得a．‎ ‎【详解】‎ 直线经过原点时满足条件，可得方程y=x，即x﹣y=0．‎ 直线不经过原点时满足条件，可设方程x+y=a，把点M（2，2）代入可得：2+2=a，即a=4．∴方程为x+y=4．‎ 综上可得直线方程为：x=y或x+y=4．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎7．已知坐标平面内三点P(3，-1),M(6，2),N,直线过点P.若直线与线段MN相交，则直线的倾斜角的取值范围（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由P（3，﹣1），N（﹣，），M（6，2），求得直线NP和MP的斜率，再根据直线l的倾斜角为锐角或钝角加以讨论，将直线l绕P点旋转并观察倾斜角的变化，由直线的斜率公式加以计算，分别得到直线l斜率的范围，进而得到直线的倾斜角的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵P（3，﹣1），N（﹣，），‎ ‎∴直线NP的斜率k1==﹣．‎ 同理可得直线MP的斜率k2==1．‎ 设直线l与线段AB交于Q点，‎ 当直线的倾斜角为锐角时，随着Q从M向N移动的过程中，l的倾斜角变大，‎ l的斜率也变大，直到PQ平行y轴时l的斜率不存在，此时l的斜率k≥1；‎ 当直线的倾斜角为钝角时，随着l的倾斜角变大，l的斜率从负无穷增大到 直线NP的斜率，此时l的斜率k≤﹣．‎ 可得直线l的斜率取值范围为：（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．‎ ‎∴直线的倾斜角的取值范围 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出经过定点P的直线l与线段MN有公共点，求l的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题．‎ ‎8．在正三棱柱中，若，则点到平面的距离为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设点到平面的距离为 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选B ‎9．已知正四棱锥的所有棱长都相等，是的中点，则，所成角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据异面直线所成角的定义可得分别取SC，DC，AD边的中点F，G，H易得EF∥HA，EF=HA，故四边形AEFH为平行四边形，所以AE∥DF，又根据中点的性质可得FG∥SD从而将异面直线转化为了相交直线，即∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角，然后再利用余弦定理，求∠HFG的余弦值即可．‎ ‎【详解】‎ 由于正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都相等，故不妨设棱长为a．‎ 取SC的中点F，连接EF，则EF∥BC，EF=BC，‎ 取AD的中点H连接HF则可得EF∥HA，EF=HA，‎ 故四边形AEFH为平行四边形，所以AE∥HF．‎ 再取DC中点G，连接HG，则FG∥SD，‎ 所以∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角．‎ ‎∵HF=AE=a，FG=a，HG==A，‎ ‎∴cos∠HFG=＞0．‎ 即AE、SD所成的角的正弦值为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了异面直线所成的角．解题的关键是要紧紧抓住利用平行的传递性（通常利用平行四边形的性质或中位线定理）将异面直线转化为相交直线然后在三角形中利用余弦定理求解（要注意的是利用于余弦值的正负判断是这个角还是这个角的补角）．‎ ‎10．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：‎ ‎①；‎ ‎②∠BAC=60°；‎ ‎③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥；‎ ‎④平面ADC和平面ABC的垂直．‎ 其中正确的是（　 　）‎ A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ①④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①由折叠的原理，可知BD⊥平面ADC，可推知BD⊥AC，数量积为零，②因为折叠后AB=AC=BC，三角形为等边三角形，所以∠BAC=60°；③又因为DA=DB=DC，根据正三棱锥的定义判断．④平面ADC和平面ABC不垂直．‎ ‎【详解】‎ BD⊥平面ADC⇒BD⊥AC，①错；‎ AB=AC=BC，②对；‎ DA=DB=DC，结合②，③对④错．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题是一道折叠题，主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题．‎ ‎11．如图，∠C=，AC=BC，M、N分别是BC、AB的中点，将△BMN沿直线MN折起，使二面角B′﹣MN﹣B的大小为，则B'N与平面ABC所成角的正切值是（ 　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意及折叠之前与折叠之后BM与CM都始终垂直于MN，且折叠之前图形为等腰直角三角形，由于要求直线与平面所成的线面角，所以由直线与平面所成角的定义要找到斜线B′M在平面ACB内的射影，而射影是有斜足与垂足的连线，所以关键是要找到点B′在平面ABC内的投影点，然后放到直角三角形中进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵∠C=，AC=BC，M、N分别是BC、AB的中点，‎ 将△BMN沿直线MN折起，使二面角B′﹣MN﹣B的大小为，‎ ‎∴∠BMB′=，‎ 取BM的中点D，连B′D，ND，‎ 由于折叠之前BM与CM都始终垂直于MN，这在折叠之后仍然成立，‎ ‎∴折叠之后平面B′MN与平面BMN所成的二面角即为∠B′MD=60°，‎ 并且B′在底面ACB内的投影点D就在BC上，且恰在BM的中点位置，‎ ‎∴B′D⊥BC，B′D⊥AD，B′D⊥面ABC，‎ ‎∴∠B′ND就为斜线B′N与平面ABC所成的角 设AC=BC=a，则B′D=，B′N=，DN=，‎ tan∠B′ND===．‎ 故B'N与平面ABC所成角的正切值是．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面图形的翻折与线面角的问题，应注意折前与折后的各种量变与不变的关系，而对于线面角的求解通常有传统的求作角、解三角形法及向量方法，这个内容是高考中三个角的重点考查内容之一，一般不会太难，但对学生的识图与空间想象能力的要求较高，是很好区分学生空间想象能力的题型．‎ 二、填空题 ‎12．如图，E为正方体的棱AA1的中点，则与平面所成角的正弦值是（　 　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知：∠即为与平面所成角，解直角三角形即可.‎ ‎【详解】‎ 连接，‎ 由题意易知：，‎ ‎∴∠即为与平面所成角，‎ 不妨设正方体棱长为2，在三角形中，，‎ ‎∴‎ ‎∴与平面所成角的正弦值是 故选：C ‎【点睛】‎ 求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值.‎ ‎13．已知直线平行，则实数的值为____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对x，y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出．‎ ‎【详解】‎ 当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x+y=4，此时两条直线不平行；‎ 当m=﹣5时，两条直线分别化为：x﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；‎ 当m≠﹣3，﹣5时，两条直线分别化为：y=x+，y=+，‎ ‎∵两条直线平行，∴，≠，解得m=﹣7．‎ 综上可得：m=﹣7．‎ 故答案为：﹣7．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题．‎ ‎14．已知点，设点在线段上（含端点），则的取值范围是___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取Q（1，1），则的取值范围等价于直线PQ的斜率k的取值范围，由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 如图，取Q（1，1），‎ 则的取值范围等价于直线PQ的斜率k的取值范围，‎ ‎∵点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），点P（x，y）是线段AB上任一点，‎ ‎∴，‎ kBQ==，‎ ‎∴k≥或k≤﹣4，‎ ‎∴的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．‎ 故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．‎ ‎15．在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．‎ ‎【答案】60°‎ ‎【解析】试题分析：三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，取BC的中点E，则∠ADE就是AD与平面BB1C1C所成角，解直角三角形求出∠ADE的大小，‎ 即为所求．‎ 解：由题意可得，三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，‎ 取BC的中点E，则AE⊥∠面BB1C1C，ED就是AD在平面BB1C1C内的射影，故∠ADE就是AD与平面BB1C1C所成角，‎ 设三棱柱的棱长为1，直角三角形ADE中，tan∠ADE===，‎ ‎∴∠ADE=60°，‎ 故答案为 60°．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎16．如图，将菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点至C′，E点在线段AC′上，若二面角A﹣BD﹣E与二面角E﹣BD﹣C′的大小分别为15°和30°，则__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取BD的中点O，连接AO，EO，C′O，由题设知AOE=15°，∠EOC′=30°，由此利用正弦定理能求出．‎ ‎【详解】‎ 取BD的中点O，连接AO，EO，C′O，‎ ‎∵菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点至C′，E点在线段AC′上，‎ ‎∴C′O⊥BD，AO⊥BD，OC′=OA，‎ ‎∴BD⊥平面AOC′，‎ ‎∴EO⊥BD，‎ ‎∵二面角A﹣BD﹣E与二面角E﹣BD﹣C′的大小分别为15°和30°，‎ ‎∴∠AOE=15°，∠EOC′=30°，‎ ‎∵OC′=OA，∴∠OC′E=∠OAE，‎ 由正弦定理得，，‎ ‎∴，‎ ‎∴===．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查棱锥的结构特征，注意在翻折过程中哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化；位于折线同侧的元素关系不变，位于折线两侧的元素关系会发生变化．‎ 三、解答题 ‎17．三角形的三个顶点为 求边上高所在直线的方程；‎ 求边上中线所在直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用直线的斜率公式可得直线BC的斜率，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得BC边上高的斜率，再由点斜式方程，即可得到所求直线的方程；‎ ‎（2）运用中点坐标公式可得BC的中点M，求出AM的斜率，由点斜式方程即可得到所求中线的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得 则边上高所在直线的斜率为-3，又高线过 所以边上高所在直线的方程为，‎ 即 ‎(2)由题知中点M的坐标为 ‎，‎ 所以中线所在直线的方程为 即。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及中点坐标公式，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎18．光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点.‎ ‎(1)求点关于直线对称点的坐标；‎ ‎(2)求反射光线所在直线的一般式方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据对称点与A连线垂直直线 ，以及对称点与A 中点在直线 上列方程组解得结果，(2)根据对称性得反射光线所在直线经过A的对称点和，再根据点斜式求直线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）设点关于直线l的对称点为，则 ‎ 解得，即点关于直线l的对称点为． ‎ ‎（Ⅱ）由于反射光线所在直线经过点和，所以反射光线所在直线的方程为即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点关于直线对称点问题，考查基本求解能力.‎ ‎19．在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SD底面ABCD,SD=2，其中分别是的中点，是上的一个动点．‎ ‎(1)当点落在什么位置时，∥平面，证明你的结论；‎ ‎(2)求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）当点为的中点时，∥平面。证明见解析；（2）。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当点P为SD的中点时，AP∥平面SMC，证明如下：连接PN，证明PN∥DC且，推出AM∥DC且，得到AP∥MN然后证明AP∥平面SMC．‎ ‎（2）求出点N到平面ABCD的距离为h=1，然后求解三棱锥B﹣NMC的体积．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当点为的中点时，∥平面。证明如下：‎ 由三视图知该多面体是四棱锥，其底面边长为的正方形，侧棱底面，‎ 且．‎ 连接，‎ ‎∵分别是的中点，‎ ‎∴∥且，‎ 又是正方形的边的中点，‎ ‎∴∥且，‎ ‎∴∥且，即四边形是平行四边形，‎ ‎∴∥，又平面，平面，‎ ‎∴∥平面．‎ ‎(2)∵点到平面的距离为，∴点到平面的距离为，‎ ‎∵三棱锥的体积满足：‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面平行以及几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎20．已知直线.‎ ‎(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围;‎ ‎(2)若直线交轴负半轴于,交轴正半轴于，求的面积的最小值并求此时直线的方程；‎ ‎(3)已知点,若点到直线的距离为，求的最大值并求此时直线的方程.‎ ‎【答案】（1）[0,+∞)；（2）S的最小值为4，此时的直线方程为x−2y+4=0；（3）d的最大值为5，此时直线方程为3x+4y+2=0。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把已知方程变形，利用线性方程求出直线所过定点即可；化直线方程为斜截式，由斜率大于等于0且在y轴上的截距大于等于0联立不等式组求解；‎ ‎（2）由题意画出图形，求出直线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式，利用基本不等式求最值；‎ ‎（3）当PM⊥l时，d取得最大值，由两点的距离公式可得最大值，求得PM的斜率，可得直线l的斜率，由点斜式方程可得所求直线l的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由kx−y+1+2k=0,得k(x+2)+(−y+1)=0，‎ 联立,解得，‎ 则直线l:kx−y+1+2k=0过定点M(−2,1)；‎ 由kx−y+1+2k=0，得y=kx+1+2k，‎ 要使直线不经过第四象限,则，解得k⩾0。‎ ‎∴k的取值范围是[0,+∞)。‎ ‎(2)如图，‎ 由题意可知，k>0，‎ 在kx−y+1+2k=0中,取y=0,得，取x=0，得y=1+2k，‎ ‎∴‎ ‎。‎ 当且仅当，即时等号成立。‎ ‎∴S的最小值为4，此时的直线方程为12x−y+2=0，即x−2y+4=0。‎ ‎(3)点P(1,5)，若点P到直线l的距离为d，‎ 当PM⊥l时,d取得最大值,且为，‎ 由直线PM的斜率为，‎ 可得直线直线l的斜率为，‎ 则直线l的方程为，‎ 即为3x+4y+2=0。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线横过定点问题，考查利用基本不等式求最值，以及数形结合思想方法，是中档题．‎ ‎21．在三棱锥中，⊥底面，，是的中点．‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)若，求直线与底面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明AB⊥平面PBC得出AB⊥PB；‎ ‎（2）取BC的中点E，连接DE，AE，则可证DE⊥平面ABC，故而∠DAE为所求角．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）,‎ ‎,又，‎ ‎，‎ 又 ‎，‎ ‎(2)取中点E,连接DE ‎，,又⊥底面 ‎⊥底面 则直线在底面上的射影为，‎ 所以直线与底面所成角为 设，则 ‎，‎ ‎，‎ ‎∴直线与底面所成角的正弦值为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面垂直的判定与性质，线面角的计算，考查了空间想象能力及运算求解能力，属于中档题．‎ ‎22．如图,四面体中, 是正三角形, 是直角三角形, ,. ‎ ‎（1）证明:平面平面;‎ ‎（2）过的平面交于点,若平面把四面体分成体积相等的两部分,求二面角的大小。‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．△ABC是等边三角形，可得OB⊥‎ AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜边，∠ADC=90°．可得DO=AC．利用DO2+BO2=AB2=BD2．可得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明；‎ ‎（2）由平面把四面体分成体积相等的两部分,明确为中点, 易知二面角的平面角为.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．‎ ‎∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．‎ ‎△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，‎ ‎∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．‎ ‎∵△ACD是直角三角形，‎ ‎∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．‎ ‎∴DO=AC．‎ ‎∴DO2+BO2=AB2=BD2．‎ ‎∴∠BOD=90°．‎ ‎∴OB⊥OD．‎ 又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．‎ 又OB⊂平面ABC，‎ ‎∴平面ACD⊥平面ABC．‎ ‎（2）∵平面把四面体分成体积相等的两部分,‎ ‎∴,∴.‎ ‎∴即为中点,‎ 由（1）知为直角三角形，则 又，‎ ‎∴为等边三角形，故 。‎ 由（1）知则AE=CE,‎ 所以,‎ 又，‎ 则二面角的平面角为，且二面角的大小为。‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）求二面角大小的过程可总结为：“一找、二证、三计算。” ‎ ‎（2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．‎