湖北省咸宁市(4校联考)2021届新高考模拟化学试题含解析(20200915201212)

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

湖北省咸宁市(4校联考)2021届新高考模拟化学试题含解析(20200915201212)

湖北省咸宁市 (4 校联考) 2021 届新高考模拟化学试题 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知点 A是抛物线 2 4x y 的对称轴与准线的交点,点 F 为抛物线的焦点,点 P 在抛物线上且满足 PA m PF ,若 m 取得最大值时,点 P 恰好在以 ,A F 为焦点的椭圆上,则椭圆的离心率为( ) A. 3 1 B. 2 1 C. 5 1 2 D. 2 1 2 【答案】 B 【解析】 【分析】 设 ,P x y ,利用两点间的距离公式求出 m 的表达式,结合基本不等式的性质求出 m 的最大值时的 P 点 坐标,结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可 . 【详解】 设 ,P x y ,因为 A是抛物线 2 4x y 的对称轴与准线的交点,点 F 为抛物线的焦点, 所以 0, 1 , 0,1A F , 则 2 22 2 22 1 1 4 1 1 4 y x y yPA m PF y x y y 2 41 2 1 y y y , 当 0y 时, 1m , 当 0y 时, 2 4 4 41 1 1 212 1 12 2 2 ym y y y yy y , 当且仅当 1y 时取等号, 此时 2,1P , 2 2, 2PA PF , Q 点 P 在以 ,A F 为焦点的椭圆上, 2 2c AF , 由椭圆的定义得 2 2 2 2a PA PF , 所以椭圆的离心率 2 2 2 1 2 2 2 2 c ce a a ,故选 B. 【点睛】 本题主要考查椭圆的定义及离心率,属于难题 .离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点, 一般求离心率有以下几种情况:①直接求出 ,a c ,从而求出 e;②构造 ,a c 的齐次式,求出 e ;③采用离心率 的定义以及圆锥曲线的定义来求解. 2.已知双曲线 C : 2 2 2 2 1 0, 0x y a b a b 的焦距为 2c ,焦点到双曲线 C 的渐近线的距离为 3 2 c ,则 双曲线的渐近线方程为() A. 3y x B. 2y x C. y x D. 2y x 【答案】 A 【解析】 【分析】 利用双曲线 C : 2 2 2 2 1 0, 0x y a b a b 的焦点到渐近线的距离为 3 2 c ,求出 a , b 的关系式,然后求 解双曲线的渐近线方程. 【详解】 双曲线 C : 2 2 2 2 1 0, 0x y a b a b 的焦点 ,0c 到渐近线 0bx ay 的距离为 3 2 c , 可得: 2 2 3 2 bc c a b ,可得 3 2 b c , 3b a ,则 C 的渐近线方程为 3y x . 故选 A. 【点睛】 本题考查双曲线的简单性质的应用,构建出 ,a b 的关系是解题的关键,考查计算能力,属于中档题 . 3.某市气象部门根据 2018 年各月的每天最高气温平均数据 ,绘制如下折线图 ,那么 ,下列叙述错误的是 ( ) A.各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关 B.全年中 ,2 月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大 C.全年中各月最低气温平均值不高于 10°C 的月份有 5 个 D.从 2018 年 7 月至 12 月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据折线图依次判断每个选项得到答案 . 【详解】 由绘制出的折线图知: 在 A 中,各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关,故 A 正确; 在 B 中,全年中, 2 月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大,故 B 正确; 在 C 中,全年中各月最低气温平均值不高于 10℃的月份有 1 月, 2 月, 3 月, 11 月, 12 月,共 5 个,故 C 正确; 在 D 中,从 2018 年 7 月至 12 月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值,先上升后下降,故 D 错误 . 故选: D. 【点睛】 本题考查了折线图,意在考查学生的理解能力 . 4.已知复数 z 满足 1 1z i i (i 为虚数单位) ,则 z 的虚部为( ) A. i B. i C.1 D. 1 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据复数 z 满足 1 1z i i ,利用复数的除法求得 z,再根据复数的概念求解 . 【详解】 因为复数 z 满足 1 1z i i , 所以 2 11 1 1 1 iiz i i i i , 所以 z 的虚部为 1. 故选: D. 【点睛】 本题主要考查复数的概念及运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题 . 5.偶函数 f x 关于点 1,0 对称,当 1 0x≤ ≤ 时, 2 1f x x ,求 2020f ( ) A. 2 B. 0 C. 1 D. 1 【答案】 D 【解析】 【分析】 推导出函数 y f x 是以 4 为周期的周期函数,由此可得出 2020 0f f ,代值计算即可 . 【详解】 由于偶函数 y f x 的图象关于点 1,0 对称,则 f x f x , 2 0f x f x , 2f x f x f x ,则 4 2f x f x f x , 所以,函数 y f x 是以 4 为周期的周期函数, 由于当 1 0x≤ ≤ 时, 2 1f x x ,则 2020 4 505 0 1f f f . 故选: D. 【点睛】 本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值, 推导出函数的周期性是解答的关键, 考查推理能力与计算 能力,属于中等题 . 6.某几何体的三视图如图所示,若图中小正方形的边长均为 1,则该几何体的体积是 ( ) A. 1616 3 B. 816 3 C. 32 8 3 3 D. 32 16 3 3 【答案】 B 【解析】 该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体,其中三棱柱的高为 2,底面是高和底边均为 4 的等腰三角形,圆 锥的高为 4,底面半径为 2,则其体积为 1 1 1V 4 4 2 4 4 2 2 3 , 816 3 . 故选 B 点睛:由三视图画出直观图的步骤和思考方法: 1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图; 2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度; 3、画出整体,然后再根据三视图进行调整 . 7.已知函数 ( ) sin(2 ) 4 f x x 的图象向左平移 ( 0) 个单位后得到函数 ( ) sin(2 ) 4 g x x 的图象, 则 的最小值为( ) A. 4 B. 3 8 C. 2 D. 5 8 【答案】 A 【解析】 【分析】 首先求得平移后的函数 sin 2 2 4 g x x ,再根据 sin 2 2 sin 2 4 4 x x 求 的最小 值 . 【详解】 根据题意, ( )f x 的图象向左平移 个单位后,所得图象对应的函数 ( ) sin 2( ) sin(2 2 ) sin(2 ) 4 4 4 g x x x x , 所以 2 2 , 4 4 k k Z ,所以 , 4 k k Z .又 0 ,所以 的最小值为 4 . 故选: A 【点睛】 本题考查三角函数的图象变换,诱导公式,意在考查平移变换,属于基础题型 . 8. 2 ( 1 i i ) A. 1 3 2 i B. 3 2 i C. 3 2 i D. 1 3 2 i 【答案】 A 【解析】 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 . 【详解】 22 12 2 3 1 3 1 3 1 1 1 2 2 2 2 i ii i i i i i i i 本题正确选项: A 【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题. 9.已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b ( 0a> , 0b )的左、右焦点分别为 E F, ,以 OF ( O 为坐标原点)为直 径的圆 C 交双曲线于 A B、 两点,若直线 AE 与圆 C 相切,则该双曲线的离心率为( ) A. 2 3 6 2 B. 2 2 2 6 C. 3 2 2 6 2 D. 3 2 6 2 【答案】 D 【解析】 【分析】 连接 CA AF, ,可得 3 2 cEC ,在 ACFV 中,由余弦定理得 AF ,结合双曲线的定义,即得解 . 【详解】 连接 CA AF, , 则 2 cOC CA CF , OE c , 所以 3 2 cEC , | | 2 cFC 在 Rt EACV 中, 2AE c , 1cos 3 ACE , 故 1cos cos 3 ACF ACE 在 ACFV 中,由余弦定理 2 2 2 2 cosAF CA CF CA CF ACF 可得 6 3 AF c= . 根据双曲线的定义,得 62 2 3 c c a , 所以双曲线的离心率 2 6 3 2 6 26 3 2 62 3 ce a 故选: D 【点睛】 本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中 档题 . 10.设 lnf x x ,若函数 g x f x ax 在区间 20,e 上有三个零点, 则实数 a 的取值范围是 ( ) A. 10, e B. 2 1 1, e e C. 2 2 2, e e D. 2 2 1, e e 【答案】 D 【解析】 令 0g x f x ax ,可得 f x ax . 在坐标系内画出函数 lnf x x 的图象(如图所示) . 当 1x 时, lnf x x .由 lny x 得 1y x . 设过原点的直线 y ax 与函数 y xln 的图象切于点 0 0( ,ln )A x x , 则有 0 0 0 ln 1 x ax a x ,解得 0 1 x e a e . 所以当直线 y ax与函数 y xln 的图象切时 1a e . 又当直线 y ax 经过点 2B , 2e 时,有 22 a e ,解得 2 2a e . 结合图象可得当直线 y ax 与函数 lnf x x 的图象有 3 个交点时,实数 a 的取值范围是 2 2 1, e e . 即函数 g x f x ax 在区间 20,e 上有三个零点时,实数 a 的取值范围是 2 2 1, e e .选 D. 点睛:已知函数零点的个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)的方法 (1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解,对于 一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解 . 11.执行如图所示的程序框图,若输出的 ,则输入的整数 的最大值为 ( ) A. 7 B.15 C.31 D. 63 【答案】 B 【解析】 试题分析:由程序框图可知:① , ;② , ;③ , ;④ , ; ⑤ , . 第⑤步后 输出,此时 ,则 的最大值为 15,故选 B. 考点:程序框图 . 12.已知数列 na 为等差数列, nS 为其前 n 项和, 5 6 104 a a a ,则 21S ( ) A. 7 B.14 C.28 D. 84 【答案】 D 【解析】 【分析】 利用等差数列的通项公式,可求解得到 11 4a ,利用求和公式和等差中项的性质,即得解 【详解】 5 6 104 a a aQ , 11 11 114 6 5a d a d a d 解得 11 4a . 1 21 21 11 21( ) 21 84 2 a aS a . 故选: D 【点睛】 本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能 力,属于中档题 . 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知函数 1ln 1 xf x ax 为奇函数,则 a ______. 【答案】 1 【解析】 【分析】 利用奇函数的定义得出 f x f x ,结合对数的运算性质可求得实数 a 的值 . 【详解】 由于函数 1ln 1 xf x ax 为奇函数,则 f x f x ,即 1 1 1ln ln ln 1 1 1 x x ax ax ax x , 1 1 1 1 x ax ax x ,整理得 2 2 21 1x a x ,解得 1a . 当 1a 时,真数 1 1 1 x x ,不合乎题意; 当 1a 时, 1ln 1 xf x x ,解不等式 1 0 1 x x ,解得 1x 或 1x ,此时函数 y f x 的定义域 为 , 1 1,U ,定义域关于原点对称,合乎题意 . 综上所述, 1a . 故答案为: 1. 【点睛】 本题考查利用函数的奇偶性求参数,考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应用,考查计算能力,属 于中等题 . 14.若函数 sin 3 cosf x x x ( x R, 0 )满足 0 2f f, ,且 | |的最小 值等于 2 ,则 ω的值为 ___________. 【答案】 1 【解析】 【分析】 利用辅助角公式化简可得 2sin 3 f x x ,由题可分析 | | 的最小值等于 2 表示相邻的一个对 称中心与一个对称轴的距离为 2 ,进而求解即可 . 【详解】 由题 , sin 3 cos 2sin 3 f x x x x , 因为 0f , 2f ,且 | | 的最小值等于 2 ,即相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为 2 , 所以 1 4 2 T ,即 2T , 所以 2 2 1 2T , 故答案为 :1 【点睛】 本题考查正弦型函数的对称性的应用 ,考查三角函数的化简 . 15.已知 6 ax b 的展开式中 4x 项的系数与 5x 项的系数分别为 135 与 18,则 6 ax b 展开式所有项 系数之和为 ______. 【答案】 64 【解析】 【分析】 由题意先求得 ,a b 的值,再令 1x 求出展开式中所有项的系数和 . 【详解】 6 ax b 的展开式中 4x 项的系数与 5x 项的系数分别为 135 与 18, 4 4 2 6 135C a b , 5 5 6 18C a b , 由两式可组成方程组 4 2 5 15 135 6 18 a b a b , 解得 1, 3a b 或 1, 3a b , 令 1x ,求得 6 ax b 展开式中所有的系数之和为 62 64 . 故答案为: 64 【点睛】 本题考查了二项式定理,考查了赋值法求多项式展开式的系数和,属于基础题 . 16.已知二项式 2 2 n x x 的展开式中各项的二项式系数和为 512,其展开式中第四项的系数 __________. 【答案】 672 【解析】 【分析】 先令 1x 可得其展开式各项系数的和,又由题意得 2 512n ,解得 9n ,进而可得其展开式的通项, 即可得答案 . 【详解】 令 1x ,则有 2 512n ,解得 9n , 则二项式 2 2 n x x 的展开式的通项为 2 9 18 3 1 9 9 2( ) ( ) ( 2)r r r r r r rT C x C x x , 令 3r ,则其展开式中的第 4 项的系数为 3 3 9( 2) 672C , 故答案为: 672 【点睛】 此题考查二项式定理的应用,解题时需要区分展开式中各项系数的和与各二项式系数和,属于基础题 . 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.已知直线 :l y kx m 与椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b 恰有一个公共点 P , l 与圆 2 2 2x y a 相交于 ,A B 两点 . ( I)求 k 与 m 的关系式; ( II )点 Q 与点 P 关于坐标原点 O对称 .若当 1 2 k 时, QAB 的面积取到最大值 2a ,求椭圆的离心率 . 【答案】 (Ⅰ) 2 2 2 2m a k b (II ) 10 4 e 【解析】 【分析】 ( I)联立直线与椭圆的方程,根据判别式等于 0,即可求出结果; (Ⅱ)因点 Q 与点 P 关于坐标原点 O对称, 可得 QAB 的面积是 OAB 的面积的两倍, 再由当 1 2 k 时, OAB 的面积取到最大值 2 2 a ,可得 OA OB ,进而可得原点 O 到直线 l 的距离,再由点到直线的距离 公式,以及( I)的结果,即可求解 . 【详解】 ( I)由 2 2 2 2 , 1 y kx m x y a b ,得 2 2 2 2 2 2 2 22 0a k b x a kmx a m b , 则 22 2 2 2 2 2 22 4 0a km a k b a m b 化简整理,得 2 2 2 2m a k b ; (Ⅱ)因点 Q 与点 P 关于坐标原点 O 对称,故 QAB 的面积是 OAB 的面积的两倍 . 所以当 1 2 k 时, OAB 的面积取到最大值 2 2 a ,此时 OA OB , 从而原点 O 到直线 l 的距离 2 ad , 又 2 1 m d k ,故 2 2 2 1 2 m a k . 再由( I ),得 2 2 2 2 2 1 2 a k b a k ,则 2 2 2 21 bk a . 又 1 2 k ,故 2 2 2 2 11 4 bk a ,即 2 2 3 8 b a , 从而 2 2 2 2 2 51 8 c be a a ,即 10 4 e . 【点睛】 本题主要考查直线与椭圆的位置关系,以及椭圆的简单性质,通常需要联立直线与椭圆方程,结合韦达定 理、判别式等求解,属于中档试题 . 18.已知曲线 C 的极坐标方程为 4cos ,直线 l 的参数方程为 31 2 1 2 x t y t ( t 为参数) . ( 1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; ( 2)已知点 1,0M ,直线 l 与曲线 C 交于 A、 B 两点,求 | |MA MB‖ ‖. 【答案】 (1) 2 22 4x y . 3 3 3 3 y x (2) 3 【解析】 【分析】 ( 1)根据极坐标与直角坐标互化公式,以及消去参数,即可求解; ( 2)设 ,A B 两点对应的参数分别为 1t , 2t ,将直线 l 的参数方程代入曲线方程,结合根与系数的关系, 即可求解 . 【详解】 ( 1)对于曲线 C 的极坐标方程为 4cos ,可得 2 4 cos , 又由 cos sin x y ,可得 2 2 4x y x ,即 2 22 4x y , 所以曲线 C 的普通方程为 2 22 4x y . 由直线 l 的参数方程为 31 2 1 2 x t y t ( t 为参数),消去参数可得 3 1 3 y x ,即 直线 l 的方程为 3 ( 1) 3 y x ,即 3 3 3 3 y x . ( 2)设 ,A B 两点对应的参数分别为 1t , 2t ,将直线 l 的参数方程 31 2 1 2 x t y t ( t 为参数)代入曲线 2 2: 4 0C x y x 中,可得 2 23 1 31 4 1 0 2 4 2 t t t . 化简得: 2 3 3 0t t ,则 1 2 3t t . 所以 1 2 1 2|| | | || || | | || 3MA MB t t t t . 【点睛】 本题主要考查了参数方程与普通方程,极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及直线的参数方程的应用, 着重考查了推理与运算能力,属于基础题 . 19.已知 ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 sin( ) sin 2 B Ca A B c . ( 1)求 A ; ( 2)若 ABC 的面积为 3 , 5b c ,求 ABC 的周长 . 【答案】 (1) 60o ;(2) 13 5. 【解析】 【分析】 ( 1)利用正弦定理将目标式边化角,结合倍角公式,即可整理化简求得结果; ( 2)由面积公式,可以求得 bc ,再利用余弦定理,即可求得 a ,结合 b c 即可求得周长 . 【详解】 ( 1)由题设得 sin cos 2 Aa C c . 由正弦定理得 sin sin sin cos 2 AA C C ∵ (0, )C ∴ sin 0C sin cos 2 A A , 2sin cos cos 2 2 2 A A A 所以 cos 0 2 A 或 1sin 2 2 A . 当 cos 0 2 A , A (舍) 故 1sin 2 2 A , 解得 60A . ( 2) 1 sin 3 2ABCS bc A ,从而 4bc . 由余弦定理得 2 2 2 2 22 cosa b c bc A b c bc 2 2( ) 3 ( ) 12 13b c bc b c . 解得 13a . ∴ 13 5a b c . 故三角形 ABC的周长为 13 5 . 【点睛】 本题考查由余弦定理解三角形,涉及面积公式,正弦的倍角公式,应用正弦定理将边化角,属综合性基础 题 . 20.已知函数 4 1 2f x x x . ( 1)解不等式 2f x ; ( 2)记函数 5 2y f x x 的最小值为 k ,正实数 a 、 b 满足 6 9 ka b ,求证: 6 2 6b a ab . 【答案】 (1) 3 5, , 5 3 U ;(2)见解析 . 【解析】 【分析】 ( 1)分 2x≤ 、 12 4 x 、 1 4 x 三种情况解不等式 2f x ,综合可得出原不等式的的解集; ( 2)利用绝对值三角不等式可求得函数 5 2y f x x 的最小值为 9k ,进而可得出 6 1a b , 再将代数式 6 1 a b 与 6a b 相乘,利用基本不等式求得 6 1 a b 的最小值,进而可证得结论成立 . 【详解】 ( 1)当 2x≤ 时,由 2f x ,得 1 4 2 2x x ,即 1 3 0x ,解得 1 3 x ,此时 2x≤ ; 当 12 4 x 时,由 2f x ,得 1 4 2 2x x ,即 5 3 0x ,解得 3 5 x ,此时 32 5 x ; 当 1 4 x 时,由 2f x ,得 4 1 2 2x x ,即 3 5 0x ,解得 5 3 x ,此时 5 3 x . 综上所述,不等式 2f x 的解集为 3 5, , 5 3 U ; ( 2) 5 2 4 1 4 2 4 1 4 8 4 1 4 8 9y f x x x x x x x x , 当且仅当 4 1 4 8 0x x 时取等号,所以 9k , 6 1a b . 所以 6 1 6 1 36 366 6 6 12 2 24b a b aa b a b a b a b a b , 当且仅当 36b a a b ,即 1 2 a , 1 12 b 时等号成立,所以 6 1 24 a b . 所以 6 1 2 6 a b ,即 6 2 6b a ab . 【点睛】 本题考查含绝对值不等式的求解, 同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立, 涉及绝对值三角不等式 的应用,考查运算求解能力,属于中等题 . 21.在极坐标系中,已知曲线 C 的方程为 r ( 0r ),直线 l 的方程为 cos 2 4 .设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,且 2 7AB ,求 r 的值 . 【答案】 3r 【解析】 【分析】 先将曲线 C 和直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程, 可得圆心到直线的距离, 再由勾股定理, 计算即得 . 【详解】 以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系 xOy , 可得曲线 C: r ( 0r )的直角坐标方程为 2 2 2x y r ,表示以原点为圆心,半径为 r 的圆 . 由直线 l 的方程 cos 2 4 ,化简得 cos cos sin sin 2 4 4 , 则直线 l 的直角坐标方程方程为 2 0x y . 记圆心到直线 l 的距离为 d,则 2 2 2 d , 又 2 2 2 2 ABr d ,即 2 2 7 9r ,所以 3r . 【点睛】 本题考查曲线和直线的极坐标方程化为直角坐标方程,是基础题 . 22.已知椭圆 2 2 2 2: 1 0x yE a b a b 的右焦点为 2F ,过 2F 作 x 轴的垂线交椭圆 E 于点 A(点 A在 x 轴上方) ,斜率为 0k k 的直线交椭圆 E 于 ,A B 两点,过点 A作直线 AC 交椭圆 E 于点 C ,且 AB AC ,直线 AC 交 y 轴于点 D . ( 1)设椭圆 E 的离心率为 e ,当点 B 为椭圆 E 的右顶点时, D 的坐标为 2 10, 3 b a a ,求 e的值 . ( 2)若椭圆 E 的方程为 2 2 1 2 x y ,且 2 2 k ,是否存在 k 使得 2 AB AC 成立?如果存在,求 出 k 的值;如果不存在,请说明理由 . 【答案】 (1) 1 2 e ;(2)不存在,理由见解析 【解析】 【分析】 ( 1)写出 2 , bA c a ,根据 AD AB ,斜率乘积为 -1,建立等量关系求解离心率; ( 2)写出直线 AB 的方程,根据韦达定理求出点 B 的坐标, 计算出弦长 AB ,根据垂直关系同理可得 AC , 利用等式 2 AB AC 即可得解 . 【详解】 ( 1)由题可得 2 , bA c a ,过点 A作直线 AC 交椭圆 E 于点 C ,且 AB AC ,直线 AC 交 y 轴于点 D . 点 B 为椭圆 E 的右顶点时, D 的坐标为 2 10, 3 b a a , AB AC 即 AD AB , 1AD ABk k , 2 2 21 3 1 0 b b ba a a a c c a 化简得: 2 22 3 0c ac a , 即 22 3 1 0e e ,解得 1 2 e 或 1e (舍去) , 所以 1 2 e ; ( 2)椭圆 E 的方程为 2 2 1 2 x y , 由( 1)可得 2 21, , : 2 2 A AB y kx k , 2 2 k 联立 2 2 2 1 2 2 x y y kx k 得: 2 2 22 2 21 2 2 2 2 1 0k k xx k kk , 设 B 的横坐标 Bx ,根据韦达定理 2 2 2 22 1 2 11 B kk k x , 即 2 2 2 2 2 1 1 2B k kx k , 2 2 k , 所以 2 2 21 1 2 2 2 21 1B kA k kB k x , 同理可得 2 2 2 21 1 2 1 2 12 2 21 22 1 kkAC kk k k 若存在 k 使得 2 AB AC 成立, 则 2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 1 2 2 k kk k k k , 化简得: 22 2 0k k , ,此方程无解, 所以不存在 k 使得 2 AB AC 成立 . 【点睛】 此题考查求椭圆离心率, 根据直线与椭圆的位置关系解决弦长问题, 关键在于熟练掌握解析几何常用方法, 尤其是韦达定理在解决解析几何问题中的应用 . 23.已知函数 2( ) 5 2lnf x x x x. ( 1)求 ( )f x 的极值; ( 2)若 1 2 3f x f x f x ,且 1 2 3x x x ,证明: 1 2 1x x . 【答案】 (1) ( )f x 极大值为 9 2ln 2 4 ;极小值为 6 2ln 2 ;(2)见解析 【解析】 【分析】 ( 1)对函数 ( )f x 求导 ,进而可求出单调性 ,从而可求出函数的极值 ; ( 2)构造函数 1( ) ( ) (1 ), 0, 2 F x f x f x x ,求导并判断单调性可得 ( ) 0F x ,从而 ( ) (1 )f x f x 在 10, 2 上恒成立 ,再结合 1 10, 2 x , 2 1 11f x f x f x ,可得到 2 11x x ,即可证明结论成立 . 【详解】 ( 1)函数 ( )f x 的定义域为 0, , 2 (2 1)( 2)( ) 2 5 ( 0)x xf x x x x x , 所以当 10, (2, )2x U 时 , ( ) 0f x ;当 1 ,2 2 x 时 , ( ) 0f x , 则 ( )f x 的单调递增区间为 10, 2 和 (2, ) ,单调递减区间为 1 ,2 2 . 故 ( )f x 的极大值为 1 1 5 1 92ln 2ln 2 2 4 2 2 4 f ; ( )f x 的极小值为 (2) 4 10 2ln 2 6 2ln 2f . ( 2)证明 :由( 1)知 1 2 3 10 2 2 x x x , 设函数 1( ) ( ) (1 ), 0, 2 F x f x f x x , 则 22( ) 5 2ln 1 5 1 2ln 1F x x x x x x x , 2(2 1)( 2) (2 1)( 1) 2(2 1)( ) 1 (1 ) x x x x xF x x x x x , 则 ( ) 0F x 在 10, 2 上恒成立 ,即 ( )F x 在 10, 2 上单调递增 , 故 1( ) 2 F x F , 又 1 1 1 0 2 2 2 F f f ,则 1( ) ( ) (1 ) 0, 0, 2 F x f x f x x , 即 ( ) (1 )f x f x 在 10, 2 上恒成立 . 因为 1 10, 2 x ,所以 1 11f x f x , 又 2 1f x f x ,则 2 11f x f x , 因为 2 1 1,1 , 2 2 x x ,且 ( )f x 在 1 ,2 2 上单调递减 , 所以 2 11x x ,故 1 2 1x x . 【点睛】 本题考查函数的单调性与极值 ,考查了利用导数证明不等式 ,构造函数是解决本题的关键 ,属于难题 .
查看更多

相关文章

您可能关注的文档