吉林省吉林市普通高中2021届高三第一次调研测试（期中）数学（理）试题

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高三数学（理科）试题 第 1页 （共 11页） 吉林市普通中学 2020—2021 学年度高中毕业班第一次调研测试 理科数学 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是 符合题目要求。 1. 已知集合 }06|{ 2  xxxA ， }|{ NxxB  ，则( )RC A B  A. }2,1{ B. }2,1,0{ C. }3,2,1{ D. }3,2,1,0{ 2. 下列函数中最小正周期为 的函数的个数 ① |sin| xy  ；② )32cos(  xy ；③ xy 2tan A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 下列向量中不是单位向量的是 A. )0,1( B. )1,1( C. )sin,(cos  D. )0|(||| aa a   4. 为了得到函数 )42 1cos(  xy 的图象，可将函数 xy 2 1cos 的图象 A. 向左平移 4  个单位 B. 向右平移 4  个单位 C. 向左平移 2  个单位 D. 向右平移 2  个单位 5. 设角 的始边为 x 轴非负半轴，则“角 的终边在第二、三象限”是“ 0cos  ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 等差数列 na 中， 5 10 15 30a a a   ，则 22 162a a 的值为 A． 10 B． 20 C．10 D．20 7. 已知定义在实数集 R 上的偶函数 )(xf 在区间 ),0[  是单调增函数，若 )2()1( faf  ，则实 数 a 的取值范围是 A. 31  a B. 1a 或 3a C. 13  a D. 3a 或 1a 8. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小 正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为 ,  ，且小正方形与大正 高三数学（理科）试题 第 2页 （共 11页） 方形面积之比为 25:1 ，则 )cos(   的值为 A. 25 24 B．1 C． 25 7 D． 0 9. 已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是 A. xe ey x x cos)1 1(   B. 22 2||  xy x C. 2||2 ||  xy x D. xxy cos)1( 2  10. 某兴趣小组对函数 )(xf 的性质进行研究，发现函数 )(xf 是偶函数，在定义域 R 上满足 )1()1()1( fxfxf  ，且在区间 ]0,1[ 为减函数．则 )3(f 与 )2 5(f 的关系为 A． )2 5()3(  ff B． )2 5()3(  ff C． )2 5()3(  ff D． )2 5()3(  ff 11．设 I 为 ABCΔ 的内心，延长线段 AI 交线段 BC 于点 D ，若 DBCD 3 ，则 CB sin:sin A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 1:9 12. 已知函数 )2()(,1, 1,ln)( fkxxgxxe xxxf x       ，对 ]3,3[, 21  xRx ，使得 )()( 21 xgxf  成立，则 k 的取值范围是 A. ]6 1 3 1,(  e B. )6 1 3 1[  ， e C. ]6 1 3 1,6 1 3 1[  ee D. ]6 1 3 1,(  e  )6 1 3 1[  ， e 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 已知复数 iz 32  ，则  |1| z ________. 14. 已知函数 xaxf  1)( 0( a 且 )1a ，若 )2020()2021( ff  ，则实数 a 的取值范围 是___________. 15. 有一个数阵排列如下： 高三数学（理科）试题 第 3页 （共 11页） 1 2 4 7 11 16 22…… 3 5 8 12 17 23………… 6 9 13 18 24……………… 10 14 19 25…………………… 15 20 26………………………… 21 27……………………………… 28…………………………………… ……………………………………… 则第 40 行从左至右第 6 个数字为 . 16. 如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪 ABC ，经测量 得 mBCmACmAB 1310,40,30  ，在保护草坪的同时， 为了方便游人行走，现打算铺设一条小路 DE （其中点 D 在边 AB 上，点 E 在边 AC 上），若 DE 恰好将该草坪的面积平分， 则 ED, 两点间的最小距离为 m . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 10 分） 数列 nb 前 n项和为 nS 且 1 1 11, 2n nb b S  ， （I）求 nb 的通项公式； （II）求 2 4 6 2 nb b b b     值. 18．（本小题满分 12 分） 已知函数 )3cos(sin2)(  xxxf ， Rx ， （I）求函数 )(xf 的对称中心； （II）若存在 ]4 3,4[0 x ，使不等式 mxf )( 0 成立，求实数 m 的取值范围. 高三数学（理科）试题 第 4页 （共 11页） 19．（本小题满分 12 分） 在 ABCΔ 中， cba ,, 分别是内角 CBA ,, 的对边， CbBca cos3sin3  ， （I） 求角 B 的大小； （II）若 4b ，且 ABCΔ 的面积等于 34 ，求 ca, 的值. 20．（本小题满分 12 分） 已知函数 xxaaxxf 32 12 3 1)( 23  ， （I） 当 2a 时，求函数 )(xf 的单调区间与极值； （II）是否存在正实数 a ，使得函数 )(xf 在区间 ]1,1[ 上为减函数？若存在，请求 a 的取值范 高三数学（理科）试题 第 5页 （共 11页） 围；若不存在，请说明理由. 21．（本小题满分 12 分） 已知数列 na 的首项 1 3a  ，且满足 1 1 2 2 1n n na a      ， （I）设 1 2 n n n ab  ，证明 nb 是等差数列； （II）求数列 na 的前 n项和 nS . 22．（本小题满分 12 分） 设函数 xxmxf 2ln)(  ， （I）当 2m 时，求函数 )(xf 在点 ))1(,1( f 处的切线； （II）若 0x ，都有 0)( xf ，求正实数 m 的取值范围； （III）当 1m 时，曲线 )(xfy  上的点 )0)(,( 000 xyx 处的切线与 2xy  相切，求满足条 高三数学（理科）试题 第 6页 （共 11页） 件的 0x 的个数. 命题、校对：高三数学核心组 吉林市普通中学 2020—2021 学年度高中毕业班第一次调研测试 理科数学参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C B C A A A A B B B D 二、填空题 13. 3 2 14. (0,1) 15. 1030 16. 610 三、解答题 17【解析】 （1）由 1 1 2n nb S  得 1 1 2n nb S  .................................................1 分 两式相减得 1 1 2n n nb b b   即 1 3 (n 2)2n nb b   ..................................2 分 高三数学（理科）试题 第 7页 （共 11页） 1 2 1 1 11, 2 2b b S   ，所以 2 1 3 2b b ..........................................3 分 当 2n  时 nb 为等比数列，且 21 3( ) (n 2)2 2 n nb    .............................4 分 所以 nb 的通项公式为 2 1 (n 1) 1 3( ) (n 2)2 2 n nb      ...................................5 分 （2）由（1）知 2 2 2 1 3( )2 2 n nb   设 2n na b ，则 2 21 2 2 2 22 1 3( ) 3 92 2 ( )1 3 2 4( )2 2 n n n nn n a b a b          .............................7 分 所以 2nb 是首项为 1 2 ，公比 9 4 的等比数列.......................................8 分 所以 2 4 6 2 1 9[1 ( ) ] 2 92 4 [( ) 1]9 5 41 4 n n nb b b b           ...........................10 分 18【解析】 （1）由题得， )3sinsin3cos(cossin2)  xxxxf （ xxx 2sin3cossin  )2cos1(2 32sin2 1 xx  2 32cos2 32sin2 1  xx 2 3)32sin(  x ……………………………………………………4 分 令  kx  32 )( Zk  ，得 62   kx )( Zk  所以，函数 )(xf 的对称中心为 )2 3,62(  k )( Zk  …………………………………6 分 (2) 因为存在 ]4 3,4[0 x ，使不等式 mxf )( 0 成立，所以 m 大于 )(xf 的最小值………8 分 由 4 3 4   x ，得 6 7 326   x ， 当 6 7 32  x ，即 4 3x 时， )(xf 取最小值 2 13  ， 高三数学（理科）试题 第 8页 （共 11页） 所以 2 13 m ，则 m 的取值范围为 ),2 13(  .……………………………………12 分 19【解析】 （1）由正弦定理得 3sin sin sin 3sin cosA C B B C    因为 A B C    ，所以 3sin( ) sin sin 3sin cosB C C B B C     即 3(sin cos cos sin ) sin sin 3sin cosB C B C C B B C   ……………………………2 分 化简，得 3 cos sinB B ………………………………………………………………………4 分 因为 (0, )B  ，所以 3B  ……………………………………………………………………6 分 （2）由（1）知 3B  ，因为 4b  ，所以由余弦定理，得 2 2 2 2 cosb a c ac B   ，即 2 2 24 2 cos 3a c ac    化简，得 2 2 16a c ac   ①……………………………………………………………………8 分 因为该三角形面积为 4 3 所以 1 sin 4 32 ac B  ，即 16ac  ②…………………………………………………………10 分 联立①②，解得 4a c  ………………………………………………………………………12 分 20【解析】 （1）当 2a  时， 2'( ) (2 5 3) ( 1)(2 3)f x x x x x      ......................1 分 令 '( ) 0f x  ，解得 31 2x   或- ， .................................2 分 x 3 2 （- ,- ） 3 2  3 2 （- ,-1） -1 +（-1， ） '( )f x + 0 - 0 + ( )f x 增 极大值 减 极小值 增 ...................3 分 所以， ( )f x 的增区间为 3 2 （- ,- ）， +（-1， ）， .................................4 分 ( )f x 的减区间为 3 2 （- ,-1） ........................................5 分 ( )f x 的极大值为 3 9( )2 8f    ， ...........................................6 分 ( )f x 的极小值为 7( 1) 6f    ............................................7 分 （2）依题意：  2'( ) (2 1) 3 0 1,1f x ax a x     在 上恒成立 ........................9 分 又因为 0a  ，所以， 0 '( 1) 0 '(1) 0 a f f       ，.........................................10 分 【说明】（1）此处只使用判别式小于等于 0 加上 a>0 的不给分； 高三数学（理科）试题 第 9页 （共 11页） （2）若使用变量分离的，需要分类讨论，可以酌情给分； 即 0 2 4 3 a a a          即无解。 所以，不存在满足条件的正实数 a ......................12 分 【说明】（1）此处若结算结果都正确，只结论错误，只扣 1 分； （2）此处若计算结果不正切，不给分； 21.【解析】 （1）解法一：将等式 122 1 1    n nn aa 两边都减去1得 1 1 2)1(21    n nn aa .........2 分 再除以 12 n 得 12 1 2 1 1 1    n n n n aa ，即 11  nn bb ..................................4 分 即 11  nn bb .且 12 11 1  ab .................................................5 分 所以 nb 是首项为1，公差为1的等差数列.........................................6 分 解法二：由 n n n ab 2 1 得 1 1 1 2 1     n n n ab ..........................................1 分 将 122 1 1    n nn aa 代入上式得 12 1 2 12 2 222 1 1 1     n n n n n n n n n aaab .....3 分 因此 11  nn bb .且 12 11 1  ab ..............................................5 分 所以 nb 是首项为1，公差为1的等差数列........................................6 分 (2) 由（1）知 nb n ，所以 1 , 2 12 nn n nn ab n a n     ..........................8 分 则 2 31 2 2 2 3 2 2 n nS n n           .......................................9 分 令 2 31 2 2 2 3 2 2 n nT n          ...........................① 2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 2 n nT n           .........................② ①-②得： 2 3 12 2 2 2 2n n nT n          ...................................10 分 1 12(2 1) 2 (1 n)2 2n n n nT n          即 1(n 1)2 2n nT    .......................................................11 分 所以 1(n 1)2 2n nS n    .................................................12 分 【说明】在求 nT 时，也可以用 1 2n n nc c n    ，采用累加法求和.其中 (n 2)2n nc   . 22【解析】 22. （I）当 2m  时， 2'( ) 2f x x   ， ..........................................1 分 高三数学（理科）试题 第 10页 （共 11页） '(1) 0k f  即切线方程为 2y   ..........................2 分 （II）<方法一> 由 2'( ) 2 ( 0)m m xf x xx x     ， '( ) 0 2 mf x x 令 ，可得 ..............................................3 分 0 2 mx 当 时 ， '( ) 0f x  ，即 ( )f x 在 (0, )2 m 上单调递增； 2 mx 当 时 ， '( ) 0f x  ，即 ( )f x 在 ( )2 m  ， 上单调递减； 则 max( ) ( ) ln2 2 m mf x f m m   ，..........................................5 分 依题意： ln 0, ( 0)2 mm m m   ，所以， 0 2m e  .........................6 分 <方法二>依题意： 2 ln x m x  ，....................................................3 分 2 ln 1 ln( ) '( )x xh x h xx x  令 ，则 0 , '( ) 0, ( ) (0, )x e h x h x e  当 时 即 在 单调递增； , '( ) 0, ( ) ( , )x e h x h x e  当 时 即 在 单调递减； 则 max 1( ) ( )h x h e e   ，................................................5 分 依题意： 2 1 m e  ，所以， 0 2m e  .....................................6 分 （III）当 1m  时， 1 1 2'( ) 2 xf x x x    则曲线 ( )y f x 上的点 0 0 0( , )( 0)x y x  处的切线方程为 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2(ln 2 ) ( ) ln 1x xy x x x x y x xx x        即 ..................7 分 设直线l 与 2y x 相切于点 2 1 1( , )x x ，即切线方程为 2 1 12y x x x  ...............8 分 <方法一>即 20 1 20 0 0 0 0 0 02 0 1 1 2 2 1 21 ln 4 ln 4 1 02ln 1 x x xx x x x xxx x                 即 即 2( ) 4 ln 4 1, '( ) 8 ln 4 4, ''( ) 8ln 12g x x x x g x x x x g x x       令 则 高三数学（理科）试题 第 11页 （共 11页） 3 2''( ) 0,g x x e   令 得 ， 3 3 2 2'( )g x   即 在(0,e )单调递减，在(e ,+ )单调递减增 3 3 2 2 min'( ) '( ) 8 4 0g x g e e       即 ......................................9 分 3 2(0, ) 8ln 12 0, '( ) (8ln 12) 4 4x e x g x x x         当 时， 即 ， 1 '( ) 0x g x 当 时， ， 所以， (0,1) '( ) 0x g x 当 时， ， (1, ) '( ) 0x g x  当 时， , ( ) 1g x 即 在(0,1)单调递减，在( ,+ )单调递减增, min( ) (1) 3 0g x g   即 ..............................................10 分 4 2 2 2 2 2 4 2 4 4 1 8 4 4 8 ( 4) 8( ) 1 0, ( ) 4 4 1 0e e e eg g e e ee e e e e              又因为 且 ............................11 分 2 1( ) 0 1g x e  在( ,1)和( ,e)上各有1个零点， ( ) 0 1g x  在(0,1)和( ,+ )上各有1个零点， 即 2 0 0 04 ln 4 1 0x x x   有两个实根，即满足条件的 0x 有两个 .............12 分 <方法二>即 20 1 0 0 0 0 2 0 0 02 0 1 1 2 2 1 2 1 11 ln ln + 02 4ln 1 x x xx x xx x xx x                即 即 2 2 3 2 3 1 1 1 1 1 2 2 1( ) ln , '( )4 2 2 x xg x x g xx x x x x x        令 则 1 3 1 3'( ) 0, ( )2 2g x x     令 得 或 舍 ，..................................9 分 1 3 1 3( ) 2 2g x     即 在(0, )单调递减，在( ,+ )单调递减增 min 1 3( ) ( ) 02g x g   即 ............................................................................10 分 2 1( ) 0, ( ) 0g g ee  又因为 且 ...................................................11 分 2 1 1 3 1 3( ) 0 2 2g x e     在( , )和( ,e)上各有1个零点， ( ) 0 1g x  在(0,1)和( ,+ )上各有1个零点， 0 02 0 0 1 1ln 04x xx x   即 有两个实根，即满足条件的 有2个.................................12 分