黑龙江省大庆实验中学2019届高三11月月考（期中）数学（理）试卷
2019届黑龙江省大庆实验中学
高三11月月考（期中）数学（理）试题此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1．已知复数z=x+yi (x,y∈R)，若-3+3i=x+y-1i，则z=
A．2 B．2 C．5 D．5
2．已知集合A=xx2-x-2<0,B=x-2
1” 是“1a<1” 的充分必要条件.
B．命题“ 若x2<1，则x<1” 的否命题是“ 若x≥1，则x2≥1” .
C．设x,y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件.
D．设a,b∈R，则“a≠0” 是“ab≠0” 的必要不充分条件.
6．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A． B． C． D．
7．在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，其中b=2,∠B=π6,∠C=π4,则a=
A．3-1 B．3+1 C．3 D．3
8．若正实数a,b满足1a+2b=ab，则ab的最小值为
A．2 B．2 C．22 D．4
9．定积分02πsinxdx的值是
A．0 B．2 C．4 D．8
10．在矩形ABCD中，AB=2,BC=2，点E为BC的中点，点F在CD上，若AB⋅AF=2，则AE⋅BF的值是
A．2 B．22 C．3 D．
11．已知函数f(x)=sinωx+π3-3cosωx+π3 ω>0在区间-3π4,π2上单调，且在区间0,2π内恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是
A．0,23 B．14,23 C．0,34 D．14,34
12．已知函数f(x)=x-1ex-kx3-12x2+2，若对任意的x1,x2∈0,+∞,且x1≠x2，都有x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2)，则实数k的取值范围是
A．-∞,e3 B．-∞,e3 C．-∞,13 D．-∞,13
二、填空题
13．已知实数x、y满足x-y+5≥0x≤3x+y≥0，则目标函数z=x+2y的最小值为_____________．
14．已知函数f(x)=a⋅2x+a-22x+1是定义在R上的奇函数，则a=___________.
15．如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，PA=PB=PC=PD=AB=2，点E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为___________
16．若数列an满足a1=1，-1nan+an+1=3⋅2n-1 n∈N*，数列bn的通项公式bn=an+12n-12n+1-1 ，则数列bn的前10项和S10=___________
三、解答题
17．已知等比数列an中，a3,a4,a5依次是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a1=32，公比q≠1
（1）求an；
（2）设bn=-log2an，求数列bn的前n项和Tn
18．已知a,b,c分别为ΔABC三个内角A,B,C的对边，向量m=sinA,sinB，n=cosB,cosA且m⋅n=sin2C.
（1）求角C的大小；
（2）若sinA+sinB=3sinC，且ΔABC面积为63，求边c的长.
19．在ΔABC中，D，E分别为AB，AC的中点，AB=2BC=2CD，如图1.以DE为折痕将ΔADE折起，使点A到达点P的位置，如图2.
如图1 如图2
（1）证明：平面BCP⊥平面CEP；
（2）若平面DEP⊥平面BCED，求直线DP与平面BCP所成角的正弦值。
20．在数列{ an }中, 已知a1=1，且数列{ an }的前n项和Sn满足4Sn+1-3Sn=4, n∈N*.
（1）证明数列{ an }是等比数列；
（2）设数列{ nan }的前n项和为Tn，若不等式Tn+(34)n⋅an-16<0对任意的n∈N*恒成立, 求实数a的取值范围.
21．设函数f(x)=x22-alnx-12
（1）当a=1时，求函数f(x)的极值.
（2）若函数f(x)在区间1,e上有唯一的零点，求实数a的取值范围.
22．已知函数f(x)=ax-cosx的定义域为0,π
（1）当a=-32时，求函数f(x)的单调递减区间.
（2）若f(x)<1-π2-sinx恒成立，求a的取值范围.
2019届黑龙江省大庆实验中学
高三11月月考（期中）数学（理）试题
数学 答 案
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
由复数相等的条件列式求得x，y的值，代入复数模的计算公式求解．
【详解】
∵-3+3i=x+y-1i
∴-3=x3=y-1，即x=-3，y=4．
又z=x+yi，
∴|z|=（-3）2+42=5 ．
故选：D．
【点睛】
本题考查由复数相等的条件求复数的模长，属于基础题．
2．D
【解析】
【分析】
解不等式得集合A，根据集合的运算和包含关系判断即可．
【详解】
集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}，B=x-20可得[﹣π2ω，π2ω]是函数含原点的递增区间，结合已知可得[﹣π2ω，π2ω]⊇[-3π4,π2]，可解得0＜ω≤23，又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得14 × π2ω ≤2π，得ω≥14 ，进而得解．
【详解】
f(x)=sinωx+π3-3cosωx+π3=2sinωxω>0，
∴[﹣π2ω，π2ω]是函数含原点的递增区间．
又∵函数在[-3π4,π2]上递增，
∴[﹣π2ω，π2ω]⊇[-3π4,π2]，
∴得不等式组：﹣π2ω≤-3π4，且π2≤π2ω，
又∵ω＞0，
∴0＜ω≤23 ，
又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，
根据正弦函数的性质可知14 × π2ω ≤2π且54 × π2ω >2π
可得ω∈[14，54)．综上：ω∈14,23
故选：B．
【点睛】
本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题．
12．D
【解析】
【分析】
将x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1）变形得[f（x1）﹣f（x2）（x1﹣x2）≥0，进而分析函数f（x）在0,+∞为增函数或常数函数,据此可得答案．
【详解】
根据题意，将x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1）变形可得[f（x1）﹣f（x2）]
（x1﹣x2）≥0，所以函数f（x）在0,+∞为增函数或常数函数.
当f（x）在0,+∞为增函数时，则f’（x）=xex-3kx2-x≥0 在0,+∞恒成立，
所以3k≤（ex-1x）min ，h（x）= ex-1x ，
h'（x）=ex(x-1)+1x2>0,∴ h(x)在0,+∞为增函数,
x→0 , h(x)→ 1 ∴ 3k≤1 ， k≤13 .
因为f（x）在0,+∞不可能为常数函数，（舍） 所以k≤13 .
故选：D
【点睛】
本题考查函数单调性的判定与应用，关键是依据x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1），判断出函数f（x）在0,+∞为增函数或常数函数，利用导数求出k的范围，属于中档题.
13．-3
【解析】
满足条件的点(x,y)的可行域如下：
由图可知，目标函数z=x+2y在点(3,-3)处取到最小值-3
14．1
【解析】
依题意可得，f(0)=0，则2a-22=0，解得a=1
当a=1时，f(x)=2x-12x+1，则f(-x)=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-f(x)
所以f(x)为奇函数，满足条件，故a=1
15．36
【解析】
【分析】
做出平行四边形，将要求的角转化为角GFD或其补角为所求角，在三角形FDG中应用余弦定理得到夹角的余弦值.
【详解】
取PD的中点记为F点，BC的中点记为 点，连接FG，GD，因为EF//BC，且EF=12BC，BG=12BC，故得到四边形EFGB为平行四边形，故角GFD或其补角为所求角，根据题干得到，三角形PAB为等边三角形，BF为其高线，长度为3，FG=3，DG=CD2+CG2=5，
FD=1，根据余弦定理得到cos∠GFD=3+1-523=-36，因为异面直线夹角为直角或锐角，故取正值，为：36.
故答案为：36.
【点睛】
这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.
16．-20462047
【解析】
【分析】
对于-1nan+an+1=3⋅2n-1，当n=1，代入得a2=-4,依次得a3=10，a4=-22，a5=46...发现规律， 利用bn=an+12n-12n+1-1，求出S10.
【详解】
由-1nan+an+1=3⋅2n-1，当n=1，代入得a2=-4,依次得a3=3×22-2，a4=-3×23+2，a5=3×24-2，a6=-3×25+2，a7=3×26-2...发现规律， 利用bn=an+12n-12n+1-1，得b1=-43 ，b2=103×7，b3=-227×15，b4=4615×31，b5=-9431×63... ，求出S10=-20462047.
故答案为：-20462047
【点睛】
本题考查的是在数列中，给了递推公式不好求通项公式时，可以列举几项再发现规律，求出题中要求的前10项和，属于中档题.
17．（1）an=26-n;（2）Sn=n2-11n2.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设某等差数列{cn}的公差为d，等比数列{an}的公比为q，依题意可求得q=12，从而可求得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=26-n，于是可求得bn=n-6，继而可得数列{bn}的前n项和Tn．
【详解】
(1)设某等差数列{cn}的公差为d，等比数列{an}的公比为q，
∵a3，a4，a5 分别是某等差数列{cn}的第5项、第3项和第2项，且a1=32，
∴a3=c5，a4=c3，a5= c2
∴c5=c3+2d=c2+3d，即a3=a4+2d=a5+3d，d=a3-a42=a4-a5 ，
∴a3=3a4-2a5，解得q=或q=1，又q≠1，∴q=，
∴an=32×=26-n．
（Ⅱ）bn=-log2an=-log226-n=n-6，所以数列bn是以-5为首项，以1为公差的等差数列，
∴Tn=n（-5+n-6）2=n（n-11）2 n2-11n2 ．
【点睛】
本题考查等差，等比数列的通项公式和等差数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式的应用，属于中档题．
18．(1)C=π3 (2)c=6
【解析】
【分析】
（1）利用向量的数量积、两角和的正弦公式及三角函数的倍角公式即可得出；（2）利用正弦定理化简已知等式，得到a+b=3c，再利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将sinC以及已知面积代入求出ab的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与ab，cosC的值代入即可求出c的值
【详解】
（1）∵，
∴sin2C=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC，
∴2sinCcosC=sinC，
∵0＜C＜π，∴sinC≠0，
∴cosC=，∴C=．
（2）由题意得sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，
∵S△ABC=absinC=ab=6，即ab=24 ，
由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab，即c2=32ab=36，所以c=6．
【点睛】
本题考查了平面向量数量积公式的运用、正弦定理和余弦定理解三角形；熟练掌握向量的数量积运算、三角函数的有关公式及性质是解题的关键．
19．(1)见解析；（2）直线DP与平面BCP所成角的正弦值为64.
【解析】
【分析】
（1）在题图1中，可证DE∥BC ，在题图2中，BC⊥平面CEP.进而得到BC⊥平面CEP.从而证得平面BCP⊥平面CEP；
（2）可证得EP⊥平面BCED. EP⊥CE.则以E为坐标原点，分别以ED，EC，EP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求直线DP与平面BCP所成角的正弦值.
【详解】
（1）证明：在题图1中，因为AB=2BC=2CD，且D为AB的中点.由平面几何知识，得∠ACB=90°.
又因为E为AC的中点，所以DE∥BC
在题图2中，CE⊥DE，PE⊥DE，且CE∩PE=E，
所以DE⊥平面CEP，
所以BC⊥平面CEP.
又因为BC⊂平面BCP，
所以平面BCP⊥平面CEP.
（2）解：因为平面DEP⊥平面BCED，平面DEP∩平面BCED=DE，EP⊂平面DEP，EP⊥DE.
所以EP⊥平面BCED.
又因为CE⊂平面BCED，
所以EP⊥CE.
以E为坐标原点，分别以ED，EC，EP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系
在题图1中，设BC=2a，则AB=4a，AC=23a，AE=CE=3a，DE=a.
则P0,0,3a，Da,0,0，C0,3a,0，B2a,3a,0.
所以DP=-a,0,3a，BC=-2a,0,0，CP=0,-3a,3a.
设n=x,y,z为平面BCP的法向量，
则n⋅BC=0,n⋅CP=0,，即-2ax=0,-3ay+3az=0.
令y=1，则z=1.所以n=0,1,1.
设DP与BCP平面所成的角为θ，
则sinθ=sinn,DP=cosn,DP=n⋅DPnDP=3a2×2a=64.
所以直线DP与平面BCP所成角的正弦值为64.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明，以及利用空间向量求线面角，属中档题.
20．(1)见解析(2) (-∞, 20)
【解析】分析：（1）利用4Sn+1-3Sn=4推出an+1an=34是常数，然后已知a2a1=34，即可证明数列{ an }是等比数列；
（2）利用错位相减法求出数列{ nan }的前n项和为Tnn，化简不等式Tn+(34)n⋅an-16<0，通过对任意的n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．
详解：
(1) ∵已知4Sn+1-3Sn=4, n∈N*,
∴ n≥2时, 4Sn-3Sn-1=4.
相减得4an+1-3an=0. 又易知an≠0,
∴an+1an=34.
又由4Sn+1-3Sn=4, n∈N*得4(a1+a2)-3a1=4,
∴a2=34, ∴a2a1=34.
故数列{ an }是等比数列.
(2)由(1)知an=1×(34)n-1=(34)n-1.
∴Tn=1×(34)0+2×(34)1+⋯+n×(34)n-1,
∴34Tn=1×(34)1+2×(34)2+⋯+n×(34)n.
相减得14Tn=1+34+(34)2+⋯+(34)n-1-n×(34)n=1-(34)n1-34-n×(34)n,
∴Tn=16-16×(34)n-4n×(34)n,
∴不等式Tn+(34)n×an-16<0为16-16×(34)n-4n×(34)n+(34)n×an-16<0.
化简得4n2+16n>a.
设f(n)=4n2+16n,
∵n∈N* ∴f(n)min=f(1)=20.
故所求实数a的取值范围是(-∞, 20).
点睛：本题考查等比数列的判断，数列通项公式与前n项和的求法，恒成立问题的应用，考查计算能力．
21．（1）极小值为0，无极大值；（2）a|a≤1,a>e2-12
【解析】
【分析】
（1）由a=1，得函数f（x）的解析式，求出其导函数以及导数为0的根，通过比较两根的大小找到函数的单调区间，进而求出f（x）的极小值；（2）求导后按a≤1,或a≥e2，或1
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