2019-2020学年海南省海南中学高二上学期期中考试数学试题 word版

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海南中学2019-2020学年第一学期期中考试 高二数学试题卷 命题：吴良英 审核：黄波 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、 选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.）‎ 1. 已知命题：，的否定是 ‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ 2. 已知向量,若,则实数的值是( )‎ A.-1 B.0 C.1 D.-2‎ 3. 已知平面，直线，满足，，则“∥”是“∥”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 已知双曲线：的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 5. 到定点(2,0)的距离与到定直线x=8的距离之比为的动点的轨迹方( )‎ A. B.‎ C. D. ‎ 1. 一个向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为( ) ‎ A． B． C． D．‎ 2. 已知向量,则的最小值为( )‎ A. B. C.2 D.4‎ 3. 已知P是椭圆E：上异于点，的一点，E的离心率为，则直线AP与BP的斜率之积为 ‎ A. B. C. D. ‎ 4. 已知是四面体，是的重心，是上的一点，且，若（），则(x,y,z)为( )‎ A.() B.() C.() D.()‎ 5. 点P是抛物线上一动点，则点P到点的距离与P到直线的距离和的最小值是( )‎ A. B. C. 2 D. ‎ 6. 棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，是的中点，是的中点，则到平面的距离为( )‎ A. B. C. D.‎ 7. 过双曲线（，）的右焦点作圆的切线，切点为.直线交抛物线于点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）‎ 1. 若（λ，μ∈R），则直线AB与平面CDE的位置关系为___‎ 2. 抛物线上有一点，它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则此抛物线的方程为 ‎ 3. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则二面角A-BC-D的余弦值是______________.‎ 4. 已知点P是椭圆上任意一点，则当点P到直线的距离达到最小值时，此时P点的坐标为____________．‎ 三.解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ 5. ‎（本小题满分10分）求与椭圆有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程.‎ 6. ‎（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，，，为的中点．为上一点．‎ ‎(1)求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎(2)若，求三棱锥的体积.‎ 1. ‎ (本小题满分12分)已知抛物线与直线相交于两点，点是坐标原点．‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)当的面积等于时，求的值．‎ 2. ‎（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，‎ ‎∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，E、F分别为PA，BD的中点.‎ ‎（1）证明：平面PBC；‎ ‎（2）若PD=AD，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.‎ 3. ‎（本小题满分12分）如图，已知长方形中，，，为的中点．将沿折起，使得平面平面．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若点是线段上的一动点，问为何值时，二面角的余弦值为．‎ ‎ ‎ 4. 已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角，求的取值范围.‎ 海南中学2019-2020学年第一学期期中考试 高二数学参考答案 一、选择题 DDAB CBCC ADAB 二、填空题 ‎13. AB∥平面CDE或AB平面CDE 14. 15. 16. ‎ 三.解答题 1. ‎（本小题满分10分）求与椭圆有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程.‎ 解析：椭圆的焦点是(0,-5),(0,5)，焦点在y轴上，‎ 于是设双曲线方程是 (a>0,b>0)，‎ 又双曲线过点(0,2)，‎ ‎∴c=5,a=2，∴b2=c2-a2=25-4=21，‎ ‎∴双曲线的标准方程是，实轴长为4，‎ 焦距为10，离心率，‎ 渐近线方程是y=±x．‎ 1. ‎（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点M为A1B1的中点．点N为BB1的点．‎ ‎(1)求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎(2)若CNBM，求三棱锥C-ABN的体积.‎ 解析：（1）以为原点建系，为轴，‎ 则.‎ 故异面直线与所成角的余弦值是.‎ ‎（2）设，则，‎ 因为，所以，即，解得.‎ 故.‎ ‎.‎ 1. ‎(本小题满分12分)已知抛物线与直线相交于两点，点是坐标原点．‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)当的面积等于时，求的值．‎ 解析：(1)证明：当k＝0时直线与抛物线仅一个交点，不合题意，‎ ‎∴k≠0由y＝k(x＋1)得x＝－1代入y2＝－x整理得：‎ y2＋y－1＝0‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)则y1＋y2＝－，y1y2＝－1.‎ ‎∵A，B在y2＝－x上，‎ ‎∴A(－y，y1)，B(－y，y2)，‎ ‎∴kOA·kOB＝·＝＝－1，‎ ‎∴OA⊥OB.‎ ‎(2)设直线与x轴交于E，则E(－1,0)，∴|OE|＝1，‎ S△OAB＝|OE|(|y1|＋|y2|)＝|y1－y2|＝＝，‎ 解得k＝±.‎ 1. ‎（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，‎ ‎∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，E、F分别为PA，BD的中点.‎ ‎（1）证明：平面PBC；；‎ ‎（2）若PD=AD，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.‎ 解析：（1）由可证 ‎（2）先证，再以为原点建系.‎ 令，则.‎ 设平面的法向量为，则.‎ 令，得.‎ 设直线PA与平面PBC所成角为，则 ‎.‎ 故直线PA与平面PBC所成角的正弦值是.‎ 1. ‎（本小题满分12分）如图，已知长方形中，，，为的中点．将沿折起，使得平面平面．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若点是线段上的一动点，问为何值时，二面角的余弦值为．‎ ‎ ‎ 解析：（1）证明：∵长方形中，，，为的中点，‎ ‎∴.‎ 故，所以.‎ ‎∵平面⊥平面，平面∩平面=，⊂平面 ‎∴⊥平面 ‎∵⊂平面，∴.‎ ‎（2）建立如图所示的直角坐标系，则平面的一个法向量，‎ 设，则.‎ 又，故 设平面的一个法向量为 则，即，取.‎ 由题意知，故，‎ 即，解得．‎ 故当的值为时，二面角的余弦值为 1. 已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角，求的取值范围.‎ 解析：（1）；‎ ‎（2）显然直线不满足题设条件，可设直线，‎ 联立，消去，整理得：‎ ‎∴‎ 由得：或 由为锐角知 又 ‎∵，即 ∴‎ 由①、②得或 故的取值范围为.‎