2017-2018学年甘肃省兰州市第一中学高二上学期期中考试数学试题

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2017-2018学年甘肃省兰州市第一中学高二上学期期中考试数学试题

兰州一中2017-2018-1学期高二年级期中考试试题 数 学 说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.‎ 第Ⅰ卷(选择题,共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.中,若,则的面积为 A. B. C. 1 D. ‎ ‎2.设数列是等差数列, 若 则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.若且, 则下列不等式一定成立的是 ‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4.设满足约束条件,则的最大值为 ‎ A. 5    B. 3     C. 7     D. -8‎ ‎5.在中,,则此三角形解的情况是 ‎ ‎ A. 一解 B. 两解 C. 解的个数不确定 D. 无解 ‎6.设且恒成立,则的最大值是 ‎ A. B.‎2 C. D.4 ‎ ‎7.下列结论正确的是 A.当时,的最小值为 B.当时, ‎ C.当无最大值 D.当且时,‎ ‎8.在等比数列中,,,则等于 A. B. C. D. 或 ‎9.在中,角所对的边分别为,若则 ‎ A. B. ‎ C. D. 与的大小关系不确定 ‎10.设数列{an}是公差d<0的等差数列,Sn为其前n项和,若S6=‎5a1+10d,则Sn取最大值时,n的值为 A. 5 B. ‎6 ‎ C. 5或6 D. 11‎ ‎11.已知是等比数列,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.若某学生要作一个三角形,要求它的三条高长度分别为 则此学生将 ‎ A. 不能作出满足要求的三角形 B. 作出一个锐角三角形 ‎ C. 作出一个直角三角形 D. 作出一个钝角三角形 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.[]‎ ‎13.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-2n+2,则数列{an}的通项公式为_________.‎ ‎14.在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=_____________.‎ ‎15.在数列{an}中,已知a1=2,a2=7,an+2等于anan+1(n∈N*)的个位数,则a2 017=_______.‎ ‎16.若实数满足 则的最大值为________________.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 在中,角所对的边分别为, 且成等差数列,‎ 成等比数列. 求证:为等边三角形.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图,测量河对岸的塔高时,可以选与塔 底在同一水平面内的两个测点与.测得 米,并 在点测得塔顶的仰角为,求塔高.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知等差数列满足:的前项和为.‎ ‎(1)求及;‎ ‎(2)令,求数列的前项和.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知中内角的对边分别为,向量m,‎ n,且m∥n.‎ ‎(1)求锐角B的大小;‎ ‎(2)在(1)的条件下,如果,求的最大值.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 某公司今年年初用25万元引进一种新的设备,投入设备后每年收益为21万元.该公司第年需要付出设备的维修和工人工资等费用的信息如下图.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)引进这种设备后,从第几年开始该公司能够获利?‎ ‎(3)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大?‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 设数列前项和为, 满足 .[]‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)令 求数列的前项和;‎ ‎(3)若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.‎ 兰州一中2017-2018-1学期高二年级期中试题答案 数 学 一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C D C B D B D A C B[]‎ D 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.解:由题意,知 又因为,所以 ……………2分 ‎ 又由余弦定理,知 ‎ 且由题意,知 ‎ ‎ 故有 ‎ ‎ 即 所以 ……………8分 ‎ 从而,,又 故 ‎ 所以为等边三角形. ……………10分 ‎18.解:在中,‎ 由正弦定理得.‎ 所以.        ……………6分 在中,‎ ‎(m) ……………12分 答: 塔高15m. ‎ ‎19.解:(1)设等差数列的首项为,公差为,‎ 解得 ‎ ‎ ……………6分 ‎(2),‎ ‎,,‎ 故 ‎=,‎ 数列的前项和 ……………12分 ‎20.解:(1)∵m∥n,‎ ‎∴2sin B=-cos 2B,‎ ‎∴sin 2B=-cos 2B,即tan 2B=-.‎ 又∵B为锐角,∴2B∈(0,π),∴2B=,∴B=. ……………6分[]‎ ‎(2)∵B=,b=2,‎ 由余弦定理cos B=,‎ 得a2+c2-ac-4=0.‎ 又a2+c2≥‎2ac,代入上式,得ac≤4,‎ 当且仅当a=c=2时等号成立.‎ 故S△ABC=acsin B=ac≤,‎ 当且仅当a=c=2时等号成立,‎ 即S△ABC的最大值为. ……………12分 ‎21.(1)解:由题意知,每年的费用是以2为首项,2为公差的等差数列,求得:‎ ‎ ……………2分 ‎(2)设纯收入与年数n的关系为f(n),则:‎ ‎ ‎ 由f(n)>0得n2-20n+25<0 解得 ‎ 又因为n,所以n=2,3,4,……18.即从第2年该公司开始获利 ……7分 ‎ ‎(3)年平均收入为=20- ‎ 当且仅当n=5时,年平均收益最大.‎ 所以这种设备使用5年,该公司的年平均获利最大. ……………12分 ‎ ‎ ‎22.解:(1) ‎ 两式相减,得 .‎ 所以,‎ 又,即 是首项为,公比是的等比数列.‎ 所以 . ……………4分 ‎(2)‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ ① ‎- ②,得 ‎ ‎ 故 ……………8分 ‎(3)由题意,再结合(2),知 ‎ 即 .‎ 从而 设 ,‎ ‎ ……………12分 ‎ ‎ ‎ ‎
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