数学理卷·2018届吉林省新大陆学校高三10月月考（2017

数学理卷·2018届吉林省新大陆学校高三10月月考（2017

绝密★启用前 ‎2017-2018学年度新大陆学校10月第一次模拟测试 ‎（理科数学）‎ 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 单选，每题5分。‎ 评卷人 得分 一、选择题 ‎1．已知全集U=R，A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x≥1}，则A∪（∁UB）=（　　）‎ A. （0，+∞） B. （﹣∞，1） C. （﹣∞，2） D. （0，1）‎ ‎2．下列说法错误的是 (　　)‎ A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”‎ B．“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件 C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题 D．命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0” ‎ ‎3．命题，命题，则下列命题是真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．已知0＜a＜1，则a2、2a、log2a的大小关系是（　　）‎ A. a2＞2a＞log2a B. 2a＞a2＞log2a C. log2a＞a2＞2a D. 2a＞log2a＞a2‎ ‎5．在△ABC中，“＞0”是“△ABC为钝角三角形”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎6．已知函数的图象的一个对称中心为，则函数的单调增区间是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知 （ ）‎ A. B. C. － D. ‎ ‎9．设9．已知函数为奇函数，且当时， ，则________．‎ A. 1 B. 3 C.0 D. ‎ ‎10．已知等边边长为4， 为其内一点，且，则的面积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．函数的大致图像是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12．设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题）‎ 评卷人 得分 二、填空题（每题5分）‎ ‎13．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：‎ ‎ 甲说：“我们四人都没考好．”‎ ‎ 乙说：“我们四人中有人考的好．”‎ ‎ 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”‎ ‎ 丁说：“我没考好．”‎ 结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的______________两人说对了．‎ ‎14．已知向量， 满足•=0，||=1．||=2，则|+|=__________．‎ ‎15．在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为____________.‎ ‎16．给出下列命题： ‎ ‎(1)若函数的定义域为，则函数的定义域为；‎ ‎(2)已知集合，则映射中满足的映射共有3个；‎ ‎(3)函数的单调递减区间是；‎ ‎(4)若，则的图象关于直线对称；‎ ‎(5)已知,是定义域内的两个值,且，若,则是减函数；‎ 其中正确命题的序号是____________．‎ 评卷人 得分 三、解答题（17~21每题12分，22题10分）‎ ‎17．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且b2+c2﹣a2=bc．‎ ‎（1）求角A 的大小；‎ ‎（2）设函数当时，若，求b的值．‎ ‎18．‎ 甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束.因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元.‎ ‎(I)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；‎ ‎(II)设总决赛中获得门票总收入为X，求X的期望E(X).‎ ‎19．如图，四棱锥底面为正方形，已知平面，，点、分别为线段、 ‎（1）求证：直线平面19如图，四棱锥中， ， 为线段上一点， 为的中点．‎ ‎（1）证明： 平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎20．已知椭圆20． 已知A，B，C是椭圆C： （a>b>0）上的三点，其中点A的坐标为(2，0)，BC过椭圆的中心，且·＝0，||＝2||‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过点(0，t)的直线l(斜率存在)与椭圆C交于P，Q两点，设D为椭圆C与y轴负半轴的交点，且||＝||，求实数t的取值范围．‎ ‎21．已知函数f(x)＝＋aln x(a≠0，a∈R)．‎ ‎(1)若a＝1，求函数f(x)的极值和单调区间；‎ ‎(2)若在区间(0，e]上至少存在一点x0，使得f(x0)<0成立，求实数a的取值范围．‎ ‎22．已知函数f（x）=|x|+|x+1|．‎ ‎（1）解关于x的不等式f（x）＞3；‎ ‎（2）若∀x∈R，使得m2+3m+2f（x）≥0成立，试求实数m的取值范围．‎ 参考答案 ‎1．C ‎【解析】∁UB=（- ，1），A∪（∁UB）=‎ A=（0，2） A∪（∁UB）=（﹣∞，2）‎ 故选C.‎ ‎2．C ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”‎ 对，逆否命题知识将原命题条件与结论交换并加以否定；‎ B．“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件，对，由x＞1可得|x|＞1，但由|x|＞1得到的是x＞1或x<－1;‎ C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题，不对，因为，p且q为假命题时 ，p,q有一为假命题，其即为假命题；‎ D．命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”对，因为存在性命题的否定是全称命题。故选C 考点：本题主要考查命题的概念，充要条件的概念。‎ 点评：基础题，充要条件的判断问题，是高考不可少的内容，特别是充要条件可以和任何知识点相结合。充要条件的判断一般有三种思路：定义法、等价关系转化法、集合关系法。存在性命题的否定是全称命题。‎ ‎3．D ‎【解析】当时，所以命题为假；当时，所以命题为真，因此为假； 为假； 为假； 为真，选D.‎ ‎4．B ‎【解析】已知0＜a＜1，故log2a； , ,‎ 故选B；‎ ‎5．B ‎【解析】‎ 考点：数量积表示两个向量的夹角．‎ 分析：以A为起点的两个向量数量积大于零，说明它两个的夹角是锐角，但不能说明其他角的情况，当三角形是锐角三角形时，以三个顶点为起点的每组向量数量积都大于零．‎ 解答：解：∵以A为起点的两个向量数量积大于零，‎ ‎∴夹角A是锐角，但不能说明其他角的情况，‎ ‎∴在△ABC中，“”不能推出“△ABC为锐角三角形”，‎ ‎∵△ABC为锐角三角形，‎ ‎∴，‎ ‎∴前者是后者的必要不充分条件，‎ 故选B 点评：两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．‎ ‎6．C ‎【解析】由题意得 因此 所以选C.‎ ‎7．B ‎【解析】根据偶函数的定义，可以判断A和B是偶函数，而在上是增函数，根据排除法故选B.‎ ‎8．B ‎【解析】.‎ 由与垂直，可得.‎ 解得.‎ 故选B.‎ ‎9．D．‎ ‎；‎ ‎【解析】因为时， ，所以，又为奇函数，所以，故填.‎ ‎【解析】∵10．B ‎【解析】∵，∴．如图所示，‎ 延长到点，使得，分别以为邻边作平行四边形，则，又，可得，∴‎ ‎，∴，∴，故选B.‎ 点睛：本题考查了平面向量的应用问题，解题的关键是作出辅助线，根据向量的知识得出各小三角形与原三角形面积之间的关系，是中档题；根据题意，作出图形，利用向量的关系，求出与的面积关系，即可得出.‎ ‎11．A ‎【解析】因为，所以函数为奇函数，去掉B,D；当时， ,去掉C，选A.‎ ‎12．A ‎【解析】曲线y=sinx上存在点（x0，y0），‎ ‎∴y0=sinx0∈[﹣1，1]．‎ 函数f（x）=ex+2x﹣a在[﹣1，1]上单调递增．‎ 下面证明f（y0）=y0．‎ 假设f（y0）=c＞y0，则f（f（y0））=f（c）＞f（y0）=c＞y0，不满足f（f（y0））=y0．‎ 同理假设f（y0）=c＜y0，则不满足f（f（y0））=y0．‎ 综上可得：f（y0）=y0．‎ 令函数f（x）=ex+2x﹣a=x，化为a=ex+x．‎ 令g（x）=ex+x（x∈[﹣1，1]）．‎ g′（x）=ex+1＞0，∴函数g（x）在x∈[﹣1，1]单调递增．‎ ‎∴e﹣1﹣1≤g（x）≤e+1．‎ ‎∴a的取值范围是．‎ 故选：A．‎ 点睛：本题利用正弦函数的有界性明确y0∈[﹣1，1]，结合函数f（x）=ex+2x﹣a在[﹣1，1]上单调递增， 等价于f（y0）=y0，从而问题转化为a=ex+x在[﹣1，1]上的值域问题.‎ ‎13．乙 ，丙 ‎【解析】甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确。故答案为：乙，丙。‎ ‎14．‎ ‎【解析】∵•=0，||=1．||=2，‎ ‎∴‎ ‎∴|+|=．‎ 故答案为： ．‎ ‎15．8‎ ‎【解析】因为，所以，‎ 又，解方程组得，由余弦定理得 ‎，所以.‎ ‎16．(2)(4)‎ ‎【解析】（1）因为的定义域为，由得，所以定义域为，故(1)错； (2) 时， 可取的值为，所以满足的映射共有个，故(2)正确； （3）由反比例函数的图象和性质知， 的单调递减区间有两个， 和，故(3)错； (4) 因为，令，所以函数的图象自身关于直线对称,故(4)正确； ‎ 必须是任意取值，故（5）错误.‎ 故答案为：(2)(4)‎ ‎17．(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（I）利用余弦定理求出cosA，根据A的取值范围，求得A的值．‎ ‎（Ⅱ） 利用二倍角公式及两角和的正弦公式，化简f（x） =，由 求得，再根据B的范围，求得B的值，再由正弦定理求得b的值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）在△ABC中，由余弦定理知，‎ 注意到在△ABC中，0＜A＜π，所以为所求．‎ ‎（2），‎ 由，得，‎ 注意到，所以，由正弦定理，，‎ 所以为所求．‎ 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.‎ ‎18．(1) ；(2)377.5万元.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合等差数列的性质可得总决赛共比赛了5场，结合二项分布公式可得总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率是；‎ ‎(2)由题意可知随机变量X可取的值为220，300，390，490.结合随机变量的值求得概率值，然后求解均值可得E(X)=377.5万元.‎ 试题解析：‎ ‎(1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列.‎ 设此数列为{an}，则易知a1＝40，an＝10n＋30，‎ 所以Sn＝＝300.‎ 解得n＝5或n＝－12(舍去)，所以总决赛共比赛了5场 则前4场比赛的比分必为1∶3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为.‎ 所以总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率为.‎ ‎(2)随机变量X可取的值为S4，S5，S6，S7，即220，300，390，490.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以X的分布列为 X ‎220‎ ‎300‎ ‎390‎ ‎490‎ P 所以X的均值为E(X)＝220×＋300×＋390×＋490×＝377.5(万元). ‎ ‎19．(1)见解析；(2) 与平面 ‎19. （1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）取中点，连结,利用平行四边形证得，所以平面；（2）在三角形中，利用余弦定理计算得，所以，则，由于平面平面，且平面平面，所以平面，则平面平面，在平面内，过作，交于，连结，则为直线与平面所成角，计算得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：取中点，连结．∵为的中点，‎ ‎∴，‎ 又且，‎ ‎∴，则，‎ ‎∴四边形为平行四边形，则，‎ ‎∵平面平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）在三角形中，由，得 ‎，‎ ‎，则，‎ ‎∵底面平面，‎ ‎∴平面平面，且平面平面，‎ ‎∴平面，则平面平面，‎ 在平面内，过作，交于，连结，则为直线与平面所成角。‎ 在中，由，得，∴，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎20．(1)＋＝1. (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据点的坐标求出a，然后根据求出b,即可求出椭圆方程。（2）根据题意设出直线方程，与（1）中椭圆方程联立，设运用违达定理运算，求出t的取值范围。‎ 试题解析：（1）由A的坐标为(2，0)，所以， ，知OC=AC,所以C(),代入椭圆方程，得b=2,所以椭圆标准方程： 。‎ ‎（2）显然，当直线k=0,时满足，此时-20，得x>1.‎ 所以x＝1时，f(x)有极小值为1.‎ y＝f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．‎ ‎(2)f′(x)＝－＋＝，且a≠0.‎ 令f′(x)＝0，得x＝.‎ 若在区间(0，e]上存在一点x0，使得f(x0)<0成立，‎ 即y＝f(x)在区间(0，e]上的最小值小于0.‎ 当a<0时，f′(x)<0对x∈(0，e]恒成立，即y＝f(x)在区间(0，e]上单调递减，‎ 故y＝f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝＋aln e＝＋a，由＋a<0，得a<－，即a∈.‎ 当a>0时，‎ ‎①若e≤，即00，显然，y＝f(x)在区间(0，e]上的最小值小于0不成立．‎ ‎②若0<，则有 x f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎?↓‎ 极小值 ‎?↓‎ 所以f(x)在区间(0，e]上的最小值为f＝a＋aln，‎ 由f＝a＋aln＝a(1－ln a)<0，得 ‎1－ln a<0，解得a>e，即a∈(e，＋∞)．‎ 综上可知，a∈∪(e，＋∞)．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的最值问题，考查学生的计算能力，综合性较强，运算量较大．‎ ‎22．（1）解集是{x|x＞1或x＜﹣2},(2) m≥﹣1或m≤﹣2.‎ ‎【解析】试题分析：（1）零点分区间，去掉绝对值，得到 或 或 再解得不等式组即可；（2）f（x）的最小值是1，故只需m2+3m+2≥0即可，‎ 由|x|+|x+1|＞3，得 ‎ 或 或 ‎ 解得：x＞1或x＜﹣2，故不等式的解集是{x|x＞1或x＜﹣2}；‎ ‎（2）若∀x∈R，使得m2+3m+2f（x）≥0成立，‎ 而f（x）= 故f（x）的最小值是1，‎ 故只需m2+3m+2≥0即可，‎ 解得：m≥﹣1或m≤﹣2． ‎