数学理卷·2017届四川省成都市高三第三次诊断检测（2017

数学理卷·2017届四川省成都市高三第三次诊断检测（2017

成都市2014级高中毕业班第三次诊断性检测 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，则（　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数．若在复平面内对应的点分别为，线段的中点对应的复数为，则（　）‎ A． B．5 C． D．‎ ‎3．在等比数列中，，公比．若，则（　）‎ A．11 　　 B．10　　 C．9　　 D．8 ‎ ‎4．是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日指数值的统计数据，图中点表示4月1日的指数值为201．则下列叙述不正确的是（　）‎ A．这12天中有6天空气质量为“优良” ‎ B．这12天中空气质量最好的是4月9日 ‎ C．这12天的指数值的中位数是90 ‎ D．从4日到9日，空气质量越来越好 ‎5．已知双曲线，直线．若直线平行于双曲线的一条渐近线且经过的一个顶点，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（　）‎ A．1 　　 B．2 　　　 C． 　　　D．4‎ ‎6．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1．执行图2所示的程序框图，若输入的分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（　）‎ A．6 B．7 C． 8 D．9‎ ‎7．已知，是曲线与轴围成的封闭区域．若向区域内随机投入一点，则点落入区域的概率为（　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知抛物线的焦点为，点．若射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，且，则点的纵坐标为（　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数．给出下列命题：①为奇函数；②，对恒成立；③，若，则的最小值为；④，若，则．其中的真命题有（　）‎ A．①② B．③④ C． ②③ D．①④‎ ‎11．如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设等差数列的前项和为，其中且 ‎．则数列的前项和的最大值为（　）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． ‎ ‎13．的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）‎ ‎14．若变量满足约束条件，则的最小值为 ．‎ ‎15．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天．若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为 ．（用数字作答）‎ ‎16．如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底是半圆的直径，上底的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为 ．‎ 三、解答题 ：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ‎ ‎17．的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的最大值．‎ ‎18．如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形，，四边形是矩形，平面平面，．为线段上一点，且平面．‎ ‎（Ⅰ）求的长；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小．‎ ‎19．几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题．然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．‎ 为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表：‎ 年龄 受访人数 ‎5‎ ‎6‎ ‎15‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎5‎ 支持发展 共享单车人数 ‎4‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；‎ 年龄低于35岁 年龄不低于35岁 合计 支持 不支持 合计 ‎（Ⅱ）若对年龄在，的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．‎ 参考数据：‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：，其中．‎ ‎20．已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设函数，若在上存在极值，求的取值范围，并判断极值的正负．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．已知曲线的极坐标方程为，在以极点为直角坐标原点，极轴为轴的正半轴建立的平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（Ⅰ）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）在平面直角坐标系中，设曲线经过伸缩变换得到曲线，若为曲线上任意一点，求点到直线的最小距离．‎ ‎23．已知．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若函数的值域为，且，求的取值范围．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BABCB 6-10:DDADC 11、12：CD 二、填空题 ‎13．-160 14．-3 15．5040 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（Ⅰ）由已知及正弦定理，得．‎ ‎∵，∴．‎ 化简，得．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∵，∴．‎ ‎（Ⅱ）由已知及余弦定理，得．‎ 即．‎ ‎∵，‎ ‎∴，即．‎ ‎∴，当且仅当时，取等号．‎ ‎∴的最大值为．‎ ‎18．解：（Ⅰ）∵底面是边长为2的菱形，，‎ ‎∴，且，．‎ ‎∵四边形是矩形，∴．‎ ‎∵平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面，平面．‎ 记．取中点，则．‎ ‎∴平面．‎ 如图，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．‎ 由题意，得，，，，，．‎ ‎∴，．‎ ‎∵为线段上一点，设．‎ ‎∴．‎ ‎∵平面，∴．‎ ‎∵．解得．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），可知平面．‎ ‎∴平面．‎ ‎，．‎ 设平面的法向量为．‎ 由，得．‎ 取，则．‎ ‎∵，，‎ ‎∴二面角的余弦值为．‎ ‎19．解：（Ⅰ）根据所给数据得到如下列联表：‎ 年龄低于35岁 年龄不低于35岁 合计 支持 ‎30‎ ‎10‎ ‎40‎ 不支持 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ 合计 ‎35‎ ‎15‎ ‎50‎ 根据列联表中的数据，得到的观测值为 ‎．‎ ‎∴不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系．‎ ‎（Ⅱ）由题意，年龄在的5个受访人中，有4人支持发展共享单车；年龄在的6个受访人中，有5人支持发展共享单车．‎ ‎∴随机变量的所有可能取值为2，3，4．‎ ‎∵，，，‎ ‎∴随机变量的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎∴随机变量的数学期望．‎ ‎20．解：（Ⅰ）∵点在线段的垂直平分线上，∴．‎ 又，∴．‎ ‎∴曲线是以坐标原点为中心，和为焦点，长轴长为的椭圆．‎ 设曲线的方程为．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴曲线的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设．‎ 联立消去，得．‎ 此时有．‎ 由一元二次方程根与系数的关系，得 ‎，．‎ ‎∴．‎ ‎∵原点到直线的距离，‎ ‎∴．‎ 由，得．又，∴据基本不等式，得 ‎．‎ 当且仅当时，不等式取等号．‎ ‎∴面积的最大值为．‎ ‎21．解：（Ⅰ）由，得．‎ 即在上恒成立．‎ 设函数，．‎ 则．‎ 设．‎ 则．易知当时，．‎ ‎∴在上单调递增，且．‎ 即对恒成立．‎ ‎∴在上单调递增．‎ ‎∴当时，．‎ ‎∴，即的取值范围是．‎ ‎（Ⅱ），．‎ ‎∴．‎ 设，则．‎ 由，得．‎ 当时，；当时，．‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减．‎ 且，，．‎ 显然．‎ 结合函数图象可知，若在上存在极值，‎ 则或．‎ ‎（ⅰ）当，即时，‎ 则必定，使得，且．‎ 当变化时，，，的变化情况如下表：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∴当时，在上的极值为，且．‎ ‎∵．‎ 设，其中，．‎ ‎∵，∴在上单调递增，，当且仅当时取等号．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴当时，在上的极值．‎ ‎（ⅱ）当，即时，‎ 则必定，使得．‎ 易知在上单调递增，在上单调递减．‎ 此时，在上的极大值是，且．‎ ‎∴当时，在上的极值为正数．‎ 综上所述：当时，在上存在极值，且极值都为正数．‎ 注：也可由，得．令后再研究在上的极值问题．‎ ‎22．解：（Ⅰ）由消去参数，得．‎ 即直线的普通方程为．‎ ‎∵，， ‎ ‎∴．‎ 即曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）由，得．‎ 代入方程，得．‎ 已知为曲线上任意一点，故可设，其中为参数．‎ 则点到直线的距离 ‎，其中 ‎∴点到直线的最小距离为．‎ ‎23．解：（Ⅰ）当时，不等式即为．‎ 当时，不等式可化为，∴；‎ 当时，不等式可化为，∴；‎ 当时，不等式可化为，∴．‎ 综上所述：原不等式的解集为．‎ ‎（Ⅱ）∵ ，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴函数的值域．‎ ‎∵，∴．‎ 解得或．‎ ‎∴的取值范围是．‎