2020版高中数学 第3章 不等式 3.5.2 简单线性规划

2020版高中数学 第3章 不等式 3.5.2 简单线性规划

‎3.5.2　‎简单线性规划 ‎1.了解线性规划的意义，能根据线性约束条件建立目标函数.(重点)‎ ‎2.理解并初步运用线性规划的图解法解决一些实际问题.(重点、难点)‎ ‎3.理解目标函数的最大、小值与其对应直线的截距的关系.(易混点)‎ ‎[基础·初探]‎ 教材整理1　线性规划中的基本概念 阅读教材P90～P91例1，完成下列问题.‎ 线性规划中的基本概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的不等式组 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y)‎ 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)可行域是一个封闭的区域.(　　)‎ ‎(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的.(　　)‎ ‎(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解.(　　)‎ ‎(4)线性规划问题一定存在最优解.(　　)‎ ‎【解析】　(1)错误.可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的.‎ 11‎ ‎(2)错误.在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误.‎ ‎(3)正确.满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解.‎ ‎(4)错误.线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的.‎ ‎【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ 教材整理2　简单的线性规划 阅读教材P91例1～P94，完成下列问题.‎ 线性目标函数的最值 线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－x＋，它表示斜率为－，在y轴上的截距是的一条直线，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线.‎ 当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；‎ 当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值.‎ ‎1.若则z＝x－y的最大值为________.‎ ‎【解析】　根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示.‎ 令z＝0，作直线l：y－x＝0.当直线l向下平移时，所对应的z＝x－y的函数值随之增大，当直线l经过可行域的顶点M时，z＝x－y取得最大值.顶点M是直线x＋y＝1与直线y＝0的交点，解方程组得顶点M的坐标为(1,0)，代入z＝x－y，得zmax＝1.‎ ‎【答案】　1‎ ‎2.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为________.‎ ‎【解析】　由线性约束条件画出可行域(如图所示).由z＝x＋2y，得y＝－x＋z，z的几何意义是直线y＝－x＋z在y轴上的截距，要使z最小，需使z最小，易知当直线y＝－x＋z过点A(1,1)时，z最小，最小值为3.‎ 11‎ ‎【答案】　3‎ ‎3.若x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为________.‎ ‎【解析】　画出可行域(如图所示)，通过平移直线y＝－2x分析最优解.‎ ‎∵z＝2x＋y，∴y＝－2x＋z，将直线y＝－2x向上平移，经过点B时z取得最大值.‎ 由解得 ‎∴zmax＝2×3＋2＝8.‎ ‎【答案】　8‎ ‎[小组合作型]‎ 求线性目标函数的最值问题 ‎　(1)变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于(　　)‎ A.－2 B.－1‎ C.1 D.2‎ ‎(2)设x，y满足约束条件则z＝2x＋3y－5的最小值为________.‎ ‎(3)若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________.‎ ‎【精彩点拨】　按照线性规划的求解步骤进行求解.‎ ‎【自主解答】　(1)对于选项A，当m＝－2时，可行域如图(1)，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故A不正确；‎ 对于选项B，当m＝－1时，mx－y≤0等同于x＋y≥0，可行域如图(2)，直线y＝2x－z 11‎ 的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故B不正确；‎ 对于选项C，当m＝1时可行域如图(3)，当直线y＝2x－z过点A(2,2)时截距最小，z最大为2，满足题意，故C正确；‎ 对于选项D，当m＝2时，可行域如图(4)，直线y＝2x－z与直线2x－y＝0平行，截距最小值为0，z最大为0，不符合题意，故D不正确.故选C.‎ ‎(2)画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知，当直线y＝－x＋＋过点A(－1，－1)时，z取得最小值，即zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.‎ ‎(3)不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.‎ 由z＝x－2y得y＝x－z.‎ 11‎ 平移直线y＝x，易知经过点A(3,4)时，z有最小值，最小值为z＝3－2×4＝－5.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)－10　(3)－5‎ ‎1.解二元线性规划问题的一般步骤 ‎(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)；‎ ‎(2)移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点；‎ ‎(3)求：求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值；‎ ‎(4)答：给出正确答案.‎ ‎2.一般地，对目标函数z＝ax＋by，若b>0，则纵截距与z同号，因此，纵截距最大时，z也最大；若b<0，则纵截距与z异号，因此，纵截距最大时，z反而最小.‎ ‎[再练一题]‎ ‎1.若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________.‎ ‎【解析】　不等式组表示的平面区域如图中阴影部分.‎ 由得A.‎ 当直线z＝x＋y过点A时，zmax＝1＋＝.‎ ‎【答案】　 非线性目标函数的最优解问题 ‎　‎ 变量x，y满足 ‎(1)设z＝，求z的最小值；‎ ‎(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围.‎ ‎【精彩点拨】　(1)①式子z＝可进行怎样的改写？‎ 11‎ ‎②表示的几何意义是什么？‎ ‎③当倾斜角是锐角时，斜率与倾斜角的大小关系是什么？‎ ‎(2)①代数式x2＋y2可以怎样进行改写？‎ ‎②x2＋y2的几何意义是什么？‎ ‎【自主解答】　由约束条件 作出(x，y)的可行域如图所示.‎ 由 解得A.‎ 由 解得C(1,1)，‎ 由 解得B(5,2).‎ ‎(1)∵z＝＝，‎ ‎∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.‎ 观察图形可知zmin＝kOB＝.‎ ‎(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域中的点到原点O的距离的平方.结合图形可知，可行域中的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝，‎ ‎∴2≤z≤29.‎ ‎1.利用线性规划求最值，关键是理解线性目标函数的几何意义，从本题的求解过程可以看出，最优解一般在可行域的边界上，并且通常在可行域的顶点处取得，所以作图时要力求准确.‎ ‎2.非线性目标函数的最值的求解策略 ‎(1)z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)距离的平方，特别地，z＝x2＋y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方.‎ 11‎ ‎(2)z＝型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.‎ ‎(3)z＝|Ax＋By＋C|可转化为点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍.‎ ‎[再练一题]‎ ‎2.设x，y满足条件 ‎ ‎【导学号：18082052】‎ ‎(1)求u＝x2＋y2的最大值与最小值；‎ ‎(2)求v＝的最大值与最小值.‎ ‎【解】　画出满足条件的可行域如图阴影部分所示，‎ ‎(1)x2＋y2＝u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过(0,0)时，u最小.又C(3,8)，所以umax＝73，umin＝0.‎ ‎(2)v＝表示可行域内的点P(x，y)到定点D(5,0)的斜率，由图可知，kBD最大，kCD最小，又C(3,8)，B(3，－3)，‎ 所以vmax＝＝，vmin＝＝－4.‎ ‎[探究共研型]‎ 利用线性规划解决实际问题 某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元.‎ 探究1　设投资甲、乙两个项目的资金分别为x、y万元，那么x、y应满足什么条件？‎ ‎【提示】　 探究2　若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z万元，那么z与x，y有何关系？‎ ‎【提示】　根据公司所获利润＝投资项目甲获得的利润＋投资项目乙获得的利润，可得z与x，y的关系为z＝0.4x＋0.6y.‎ 11‎ 探究3　x，y应在什么条件下取值，x，y取值对利润z有无影响？‎ ‎【提示】　x，y必须在线性约束条件下取值.x，y取不同的值，直接影响z的取值.‎ ‎　某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个.现有两种规格的原料，甲种规格每张‎3 m2‎，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张‎2 m2‎，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小.‎ ‎【精彩点拨】　可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解.‎ ‎【自主解答】　设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，由题意可得 所用原料的总面积为z＝3x＋2y，‎ 作出可行域如图.‎ 在一组平行直线z＝3x＋2y中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线过直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点(2,1)，‎ ‎∴最优解为x＝2，y＝1.‎ ‎∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小.‎ 解答线性规划应用题的一般步骤：‎ (1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些.由于线性规划应用题中的比较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺.‎ (2)转化——设元.写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.‎ (3)求解——解这个纯数学的线性规划问题.‎ (4)作答——就应用题提出的问题作出回答.‎ ‎[再练一题]‎ ‎3.某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力限制数据见下表，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运多少箱.‎ 11‎ 货物 每箱体积/m3‎ 每箱重量/kg 每箱利润/百元 甲 ‎5‎ ‎2‎ ‎20‎ 乙 ‎4‎ ‎5‎ ‎10‎ 托运能力限制数 ‎24‎ ‎13‎ ‎【解】　设甲货物托运x箱，乙货物托运y箱，利润为z，由题意得z＝20x＋10y，作出可行域如图所示，作直线l：20x＋10y＝0，当直线z＝20x＋10y经过可行域上的点A时，z最大，又A(4.8,0)不是整点，解方程组得点B(4,1)为整点.所以甲货物托运4箱，乙货物托运1箱，可获得最大利润.‎ ‎1.z＝x－y在的线性约束条件下，取得最大值的可行解为(　　)‎ A.(0,1) B.(－1，－1)‎ C.(1,0) D. ‎【解析】　可以验证这四个点均是可行解，当x＝0，y＝1时，z＝－1；当x＝－1，y＝－1时，z＝0；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝，y＝时，z＝0.排除选项A，B，D，故选C.‎ ‎【答案】　C ‎2.已知变量x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值为(　　)‎ A.3 B.1‎ C.－5 D.－6‎ ‎【解析】　由约束条件作出可行域如图：‎ 由z＝x＋2y得y＝－x＋，的几何意义为直线在y轴上的截距，当直线y＝－x＋过直线x＝－1和x－y＝1的交点A(－1，－2)时，z最小，最小值为－5，故选C.‎ ‎【答案】　C ‎3.已知实数x，y满足则目标函数z＝x－2y的最小值是________.‎ 11‎ ‎【解析】　不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.目标函数可化为y＝x－z，作直线y＝x及其平行线，知当此直线经过点A时，－z的值最大，即z的值最小.又A点坐标为(3,6)，所以z的最小值为3－2×6＝－9.‎ ‎【答案】　－9‎ ‎4.已知点P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于________，最大值等于________. ‎ ‎【导学号：18082053】‎ ‎【解析】　点P(x，y)满足的可行域为△ABC区域，A(1，1)，C(1,3).由图可得，|PO|min＝|AO|＝；‎ ‎|PO|max＝|CO|＝.‎ ‎【答案】　　 ‎5.某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元.现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为多少元？‎ ‎【解】　设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，‎ 租赁费z元，‎ 由题意得z＝200x＋300y.‎ 作出如图所示的可行域.‎ 11‎ 令z＝0，得l0：2x＋3y＝0，‎ 平移l0可知，当l0过点A时，z有最小值.‎ 又由得A点坐标为(4,5).‎ 所以zmin＝4×200＋5×300＝2 300.‎ 答：该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为2 300元.‎ 11‎