数学理卷·2017届广西南宁市高三第二次适应性考试（2017

数学理卷·2017届广西南宁市高三第二次适应性考试（2017

‎2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试 数学试卷（理科）‎ 一、选择题 ‎1．已知集合，,则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．复数在复平面内对应的点在第一象限，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．若椭圆C：的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．在中，，，则角的正弦值为 A. B. C. D. ‎ ‎5．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 A. B. ‎ 开始 A=1，S=0‎ A≤9‎ 输出S A=A+1‎ 结束 S=S+A 是 否 第7题图 ‎ C. 1 D. ‎ ‎6．已知向量，，向量在方向上的投影为2.‎ 若//，则的大小为 A.. B. C. D. ‎ ‎7．执行如图的程序框图，输出的的值是 ‎ A. 28 B. 36 C. 45 D. 55 ‎ ‎8．若以函数的图像中相邻三个最值点为顶点的 三角形是面积为1的直角三角形，则的值为 A.1 B. 2 C. D. ‎ ‎9．已知底面是边长为2的正方形的四棱锥中，四棱锥的侧棱长都为4,是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.定义设，则由函数的图像与轴、直线所围成的封闭图形的面积为 A. B. C. D. ‎ ‎11．函数是 A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数也是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数 ‎ ‎12．设实数同时满足关系: ，则实数的最大值为 A.2 B. C. 3 D. 【‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上.‎ ‎13．设变量满足约束条件,则目标函数的最大值是 ‎ ‎14若锐角满足，，则 ▲ ．‎ ‎15. 过动点作圆:的切线,其中为切点，若(为坐标原点)，则的最小值是 ▲ . ‎ ‎16．定义在上的函数，如果存在函数，为常数），使得 对一切实数都成立，则称为函数的一个承托函数.给出如下命题:‎ ‎①函数是函数的一个承托函数;‎ ‎②函数是函数的一个承托函数;‎ ‎③若函数是函数的一个承托函数,则的取值范围是;‎ ‎④值域是的函数不存在承托函数.‎ 其中正确的命题的个数为 ▲ . ‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ‎ ‎17． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知数列的前项和满足:.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记数列的前项和为，求证：.‎ ‎18． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎（1）求出与的回归方程；‎ ‎（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；‎ ‎（3）设该地1月份的日最低气温~，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求.‎ 附: ①回归方程中, ,.‎ ‎②≈3.2, ≈1.8.若~,则,‎ ‎.‎ ‎19． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱中，，，.‎ ‎（1）若E是线段上的点且满足,‎ 求证: 平面⊥平面；‎ ‎（2）求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎20. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知椭圆和抛物线有公共焦点,的中心和的顶点都在坐标原点,过点的直线与抛物线分别相交于两点（其中点在第四象限内）.‎ ‎(1)若,求直线的方程; ‎ ‎(2)若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上,直线与椭圆有公共点,求椭圆的长轴长的最小值.‎ ‎21. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知函数，.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若在定义域内恒成立，求实数的取值范围. ‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知圆E的极坐标方程为，以极点为原点、极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中≥0，.若倾斜角为且经过坐标原点的直线与圆E相交于点A(A点不是原点).(1)求点A的极坐标;‎ ‎(2)设直线过线段的中点,且直线交圆E于B,C两点,求 的最大值.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若满足（1）中不等式，求证：.‎ ‎2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试 数学试卷（理科）答案与评分标准 一、选择题 ‎1．B　　2．A　　3．C　　4．A ‎5．D　　6．D　　7．C　　8．C ‎9．A　　10.C　　11．D ‎12．B 解： 将题设条件变形为，‎ 代入由柯西不等式得如下不等式 有，解这个一元二次不等式，得 所以，当时，实数取得最大值 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上.‎ ‎13．14‎ ‎14‎ ‎15. ‎ ‎16．2‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ‎ ‎17． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 解：（1）第一类解法： ‎ 当n=1时，....................................................................................................1分 当时.....................................................................................2分 ‎................................................................................3分 ‎....................................................................................................................4分 而也满足...................................................................................5分 ‎∴数列的通项公式为.................................................................................6分 第二类解法：‎ ‎........................................................................................1分 ‎.....................................................................2分 ‎......................................................................................................3分 ‎∴数列的通项公式为.................................................................................4分 第三类解法：‎ ‎..........1分; .......1分;...........1分,共3分 第四类解法：‎ 由Sn可知等差数列.........................................................................2分 且，...............................................................................4分 ‎∴数列的通项公式为.................................................................................5分 ‎（2）∵,∴....................................................7分 ‎..........................................................................8分 则................................................9分 ‎.........................................................................10分 ‎...........................................................................11分 ‎...........................................................................................................................................12分 ‎18． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 附: ①回归方程中, ,.‎ ‎②≈3.2, ≈1.8.若~,则,‎ ‎.‎ 解：【提示：本题第（1）、（2）问与第（3）问没有太多关系，考生第（1）、（2）问做不对，第（3）问也可能做对，请老师们留意】 ‎ ‎(1) ∵令,,.........................................1分 ‎【说明：如果考生往下算不对结果，只要上面的两个平均数算对其中一个即可给1分】‎ ‎∴ .......................................................................2分 ‎ ...............................................................................................3分 ‎∴ ....................................................................................................4分 ‎【说明：2分至4分段，如果考生不是分步计算，而是整个公式一起代入计算，正确的直接 给完这部分的分；如果结果不对，只能给1分】‎ ‎∴ （或者：） ...............................................5分 ‎∴所求的回归方程是 ....................................................................6分 ‎(2) 由知与之间是负相关， ....................................................................7分 ‎【说明：此处只要考生能回答负相关即可给这1分】‎ 将代入回归方程可预测该店当日的销售量(千克) ‎ ‎（或者：） ....................................................................8分 ‎【说明：此处只要考生能算得正确的答案即可给这1分】‎ ‎(3)由(1)知，又由 得 ......................................................................................................................9分 ‎【说明：此处要求考生算对方差才能给这1分】‎ 从而 ..........................................................10分 ‎ ‎ ‎ ...............................................11分 ‎【说明：此处不管考生用什么方法进行变换，只要有变换过程都给这1分】‎ ‎ ........................................................................12分 ‎【说明：此处是结论分1分，必须正确才给】‎ ‎19． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 解:(1) 解法(一): ,‎ ‎,.. ...............1分（没有这一步扣一分）‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. ...............2分 设M是BD的中点,连接.........................................................................................................2分 ‎ C C1⊥平面ABCD, .‎ ‎ M是BD的中点,⊥................................................................................................3分 ‎ ,,,‎ ‎,. ................................................ ..........4分 ‎,⊥..............................................5分 ‎（证得⊥或也行）‎ 与相交于D, ⊥平面.‎ 在平面内, 平面⊥平面..............................................................6分 解法(二): 设M是BD的中点,连接EM和..............................................................1分 ‎⊥且共线. ⊥,⊥.‎ ‎ EA⊥平面ABCD, C C1⊥平面ABCD ,‎ ‎ ∠是二面角的平面角...........................................................2分 ‎,‎ ‎,................................................3分(正确计算出才给这1分)‎ ‎,,………………4分(至少算出一个)‎ ‎.............................................................................................5分 ‎,即⊥.二面角的平面角为直角.‎ 平面EBD⊥平面......................................................................................................6分 解法(三): ,,.‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. ...............1分 设M是BD的中点,连接EM和..‎ ‎⊥且共线. ........................................................2分 ‎ EA⊥平面ABCD, C C1⊥平面ABCD ,⊥,⊥.‎ ‎∠是二面角的平面角.............................................................................3分 则，,......................4分(至少正确写出一个点的坐标)‎ ‎,.‎ ‎................................5分 ‎⊥,∠,‎ 二面角的平面角为直角,平面EBD⊥平面................................................6分 ‎ ‎ 解法四: 连结,,,交点为和，如图. ‎ ‎,‎ ‎,.以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. ...............1分 则是BD的中点. ‎ ‎ C C1⊥平面ABCD, 是BD的中点,‎ ‎. 是BD的中点,⊥............3分 ‎,,,.‎ ‎,⊥.........................................5分 与相交于O, ⊥平面.‎ 在平面内, 平面⊥平面..............................................................6分 ‎(2) 解法一: (若第1问已经建系)‎ ‎，⊥平面，是平面的一个法向量...........8分 ‎ ,， ，‎ 设平面的法向量是,则，，‎ 取得.平面的法量...................................10分 ‎【另解：由（1）知当时，⊥平面，则平面的法向量是 ‎=】‎ ‎.............................................................................................11分 由图可知二面角的平面角的余弦值为....................................12分 ‎ 解法二: (第1问未建系) ‎ ‎,,‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. ..................7分 ‎,⊥平面，‎ 是平面的法向量.....................................................................................8分 ‎ ,， ，,‎ 设平面的法向量是,则，，‎ 取得.平面的法量.......................................10分 ‎.................................................................................................11分 ‎.由图可知二面角的平面角的余弦值为.......................................12分 解法三: (几何法) ‎ 设N是CD的中点,过N作NF⊥于F,连接FB,如图.......................................................7分 ‎, NB⊥CD.‎ 侧面⊥底面ABCD, NB⊥侧面..........8分 ‎ NF⊥,BF⊥‎ ‎∠BFN是二面角的平面角...................9分 依题意可得NB =, NF =,BF =..................11分 ‎∠BFN==二面角的平面角的余弦值为....................12分 ‎20. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 解：（1）解法一:由题意得抛物线方程为.......................................................................1分 设直线的方程为........................................................................................................2分 令其中.由,得................................3分 联立可得,解得,,..................4分 ‎.........................................................................................................................................5分 直线的方程为................................................................................................6分 解法二: 由题意得抛物线方程为.....................................................................................1分 设直线的方程为...................................................................................................2分 令其中.由,得................................3分 联立可得,解得,,................4分 ‎.........................................................................................................................................5分 直线的方程为...............................................................................................6分 解法三: 由题意得抛物线方程为.................................................................................1分 设直线的方程为...................................................................................................2分 令其中由,‎ 得..............3分 联立可得,‎ 解得,,...............................................................................................................4分 ‎..................................................................................................................................5分 直线的方程为.........................................................................................6分 第一问得分点分析：（1）求出抛物线方程，得1分。‎ ‎ （2）设出直线方程，得1分 ‎ （3）求出A，B两点横纵标关系（）或纵坐标关系（），得1分 ‎（4）联立方程组，求出纵坐标（，）或横坐标（），得1分 ‎ （5）求出待定的字母，得1分 ‎（6）下结论，写对直线方程，得1分。（若学生得两种结果，不得分）‎ ‎(2)设,直线点在抛物线上, ‎ 直线的斜率存在,…………………………………7分 关于直线对称,所以.解得...............8分 故代入抛物线:,可得 ...................9分 直线的方程为或...............................................................................10分 设椭圆为,. 联立直线和椭圆,消去整理得 解得.....................................................11分 则即.椭圆的长轴长的最小值为...........................................12分 第二问得分点分析：‎ ‎ （1）点P坐标算对，得2分，若点P坐标不对，有过程，过程无论对错，得1分 ‎ （2）利用对称关系，得到点P坐标与待定字母之间关系，得1分。、‎ ‎ （3）将点P坐标代入抛物线方程，求出待定字母，得1分。‎ ‎ （4）写出直线方程，得1分。‎ ‎ （5）由直线与椭圆有公共点，得椭圆方程中待定字母的范围，得1分 ‎ （6）求出长轴长的最小值，得1分 ‎(另外:若设直线方程为,则代入抛物线:,得 直线的方程为.也对应给分)‎ ‎21. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 解：（1）,.‎ ‎.................................................................................................................1分 ‎①若时，，则在上是增函数.................2分 ‎②若 时，则在上是增函数...........................3分 在上是减函数.....................................................4分 ‎（说明：（1）分别求导正确没有作差也给1分求导分，‎ ‎（2）忘记讨论且单调性正确，不扣分，这1分也给。）‎ ‎（2）若在定义域内恒成立,考虑以下情形:‎ ‎①当，同时恒成立时，‎ 由恒成立..........................................................................5分 得：...............................................................................................................................6分 ‎∵由恒成立得：.∴...............................................................7分 ‎ ②当，同时恒成立时，不存在；..........................................................8分 ‎ ③当时，∵为增函数，为减函数, ............................9分 若它们有共同零点，则恒成立........................................................................10分 由，,联立方程组解得：..............................11分 综上：或..................................................................................................................12分 ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解: (1) （解法一）直线的倾斜角为,点A的极角.........................1分 代入圆E的极坐标方程得........................................................................................2分 点A的极坐标......................................................................................................3分 ‎（解法二）由已知得直线的的直角方程为①， ‎ 圆E的直角坐标方程为②.....................................................1分 ‎（写对其中一个方程均给1分）‎ 联立①②得A点直角坐标为（-2,2），.... ........................... ................................2分 由得A点极坐标A...........................3分 ‎（不写公式不扣分）‎ ‎ (2)（解法一，第一（1）问用极坐标做的）由(1)得线段的中点的极坐标是,‎ 的直角坐标为......................................................................................................4分 圆E的极坐标方程为,‎ 圆E的直角坐标方程为........................................................................5分 设直线的参数方程为(为参数).........................................................6分 代入得.‎ ‎,设的参数依次为,则..........................................................7分 ‎...................................................................................8分 ‎...................................................................................9分 的最大值为(此时直线的倾斜角为)........................................10分 ‎（解法二）由（1）知A(2，-2)，则M(1，-1)………………1分 ‎…………………………3分 ‎……………………………5分 ‎………………6分 ‎（解法三）由（1）A点直角坐标为（-2,2），M是OA中点，所以M点坐标为（-1,1）......4分 圆E的极坐标方程为,‎ 圆E的直角坐标方程为..........................................................5分 当BC⊥x轴时，直线BC方程为............................6分(会分类就给1分)‎ 或 不妨设 ‎........................7分 当BC与x轴不垂直时，设直线BC方程为,‎ 消y得 ‎ ...............................................8分 ‎ 设,‎ ‎.............................................................9分 ‎ ‎ （若会用两点间距离公式给1分）‎ ‎=…………………8分 ‎=………………………9分 ‎= ……………………10分 ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（1）当时,‎ 解得.所以.‎ 当时,‎ 解得 当时 解得所以...............................................................................................4分 ‎（分类标准对统一给1分，每个不等式去掉绝对值正确各给1分）‎ 不等式的解集为；..................................................6分 ‎（2）证明：（解法一）……………………7分 ‎ =…………………8分 ‎=>0………………………………9分 ‎ ‎ ‎ ……………………10分 ‎（解法二）...............................................................................7分 ‎ 则,.....................................................8分 同理,.............................................................................................9分 所以..........................................................................................10分