【数学】北京市大兴区2020届高三第一次综合练习考试试题

【数学】北京市大兴区2020届高三第一次综合练习考试试题

北京市大兴区2020届高三第一次综合练习考试试题 本试卷共6页，满分150分．考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎（1）在复平面内，对应的点位于 ‎（A）第一象限 （B）第二象限 ‎ ‎（C）第三象限 （D）第四象限 ‎（2）已知集合，，则 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（3）已知等差数列的前n项和为，，，则等于 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）下列函数中，在区间上单调递增且存在零点的是 ‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（5）在的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含项的系数等于 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（6）若抛物线上一点M到其焦点的距离等于2，则M到其顶点O的距离等于 ‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（7）已知数列是等比数列，它的前项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（8）某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为，那么该几何体的最长棱的棱长为 ‎（A）3 ‎ ‎（B） ‎ ‎（C） ‎ ‎（D）‎ ‎（9）已知函数．若关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实根，则的最大整数值为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（10）如图，假定两点，以相同的初速度运动．点沿直线作匀速运动，；点沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离()．令与同时分别从，出发，那么，定义为的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是，其中e为自然对数的底．当点从线段的三等分点移动到中点时，经过的时间为 ‎（A） ‎ ‎（B） ‎ ‎（C） ‎ ‎（D）‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎（11）已知向量，， 若，则 ； ‎ ‎（12）若函数在区间上单调减区间，则m的一个值可以是 ；‎ ‎（13）若对任意，关于x的不等式恒成立，则实数的范围是 ；‎ ‎（14）已知为函数图象上两点，其中．已知直线AB的斜率等于2，且，则 ； ；‎ ‎（15）在直角坐标系中，双曲线（）的离心率，其渐近线与圆 交轴上方于两点，有下列三个结论：‎ ‎① ；‎ ‎②存在最大值；‎ ‎③ ． ‎ 则正确结论的序号为 ‎ 三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎（16）（本小题14分）‎ 在中，，，且的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）若D为BC上一点，且 ，求的值．‎ 从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．‎ ‎（17）（本小题14分）‎ 为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构M采用分层抽样的方法从校抽取了 名学生进行体育测试，成绩按照以下区间分为七组：[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并得到如下频率分布直方图．根据规定，测试成绩低于60分为体质不达标。已知本次测试中不达标学生共有20人．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）现从校全体同学中随机抽取2人，以频率作为概率，记表示成绩不低于90分的人数，求的分布列及数学期望；‎ ‎（Ⅲ）另一机构N也对该校学生做同样的体质达标测试，并用简单随机抽样方法抽取了100名学生，经测试有20名学生成绩低于60分．计算两家机构测试成绩的不达标率，你认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理，说明理由。‎ ‎（18）（本小题14分）‎ 如图，在三棱柱中，，，，是的中点，E是棱上一动点.‎ ‎（Ⅰ）若E是棱的中点，证明：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值； ‎ ‎（Ⅲ）是否存在点E，使得，若存在，‎ 求出E的坐标，若不存在，说明理由。 ‎ ‎（19）（本小题14分）‎ ‎　　已知椭圆的离心率为，且经过点，一条直线与椭圆C交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：为定值．‎ ‎（20）（本小题15分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：函数有且只有一个零点.‎ ‎（21）（本小题14分）‎ 已知数列满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合中元素最小值记为，集合中元素最大值记为.‎ ‎（Ⅰ）对于数列：，写出集合及；‎ ‎（Ⅱ）求证：不可能为18；‎ ‎（Ⅲ）求的最大值以及的最小值．‎ 参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 D D B C A B ‎ C D B D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎（11） ‎ ‎（12）答案不唯一，只要 ‎ ‎（13）（或 ‎ ‎（14）；（第一个空3分，第二个空2分）‎ ‎（15）①③ （不选或有错选得0分，只选对1个得3分，全部选对得5分．）‎ 三、解答题（共6小题，共85分）‎ ‎（16）（共14分）‎ 解：（Ⅰ） 由于 ，， ‎ ‎， ……2分 所以． ……3分 由余弦定理 ， ……5分 解得． ……6分 ‎（Ⅱ）①当时， ‎ 在中，由正弦定理， ……2分 ‎ 即，所以． ……4分 因为，所以． ……6分 所以， ……7分 即． ……8分 ‎②当时，‎ 在中，由余弦定理知，‎ ‎． ……3分 因为，所以， ……4分 所以， ……5分 所以 ， ……7分 即． ……8分 ‎（17）（共14分）‎ 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，， ……2分 解得. ……3分 ‎（Ⅱ）方法1：‎ 由图知，每位学生成绩不低于90分的频率为 ， ……1分 由已知，的所有可能取值为， ……2分 则，‎ ‎，‎ ‎. ……5分 所以的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.81‎ ‎0.18‎ ‎0.01‎ ‎……6分 所以. ……7分 方法2：由图知，每位学生成绩不低于90分的频率为， ……1分 由已知， ……2分 则，‎ ‎，‎ ‎. ……5分 所以的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.81‎ ‎0.18‎ ‎0.01‎ ‎……6分 所以. ……7分 ‎（Ⅲ）机构M抽测的不达标率为 ， ……1分 机构N抽测的不达标率为． ……2分 ‎（以下答案不唯一，只要写出理由即可）‎ ‎①用机构M测试的不达标率估计A校不达标率较为合理。 ……3分 ‎ 理由：机构M选取样本时使用了分层抽样方法，样本量也大于机构N，样本更有代表性，所以，能较好反映了总体的分布。 ……4分 ‎②没有充足的理由否认机构N的成绩更合理． ……3分 理由：尽管机构N的样本量比机构M少，但由于样本的随机性，不能排除样本较好的反映了总体的分布，所以，没有充足的理由否认机构N的成绩更合理。 ……4分 ‎（18）（共14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：取中点为，连结，‎ 在中，因为为的中点，‎ 所以且.……1分 又因为是的中点，，‎ 所以且，‎ 所以为平行四边形 所以. ……2分 又因为平面， .……3分 平面，‎ 所以平面. ……4分 ‎（Ⅱ）连结，‎ ‎ 因为是等边三角形，是的中点，‎ 所以，‎ 因为，，‎ 所以.‎ 因为，‎ ‎，‎ 平面，‎ 所以平面， ‎ ‎ 所以两两垂直.‎ 如图，建立空间直角坐标系， ……1分 则，，，‎ ‎， ‎ 设平面的法向量为，‎ 则， ……2分 即， ……3分 令，则，，‎ 所以. ……4分 平面ABC的法向量为，‎ ‎. ‎ 又因为二面角为锐二面角，‎ 所以二面角的余弦值为. ……6分 ‎（如果没有建立坐标系，利用二面角的定义，比照步骤给分。）‎ ‎（Ⅲ）， ……1分 ‎，‎ ‎ 设，‎ 则， ‎ ‎ 所以， ……2分 所以， ‎ 假设，‎ 则 ‎ 解得， ……3分 这与已知矛盾。 ‎ 原命题得证. ……4分 ‎（19）（共14分）‎ ‎（Ⅰ）因为椭圆经过点，所以， ……1分 ‎　　　又因为，则，　　　　　 ……2分 ‎　　　由，得，　　　　 ……3分 所以椭圆的标准方程为． ……4分 ‎（Ⅱ）方法一 因为以为直径的圆过坐标原点，所以． ……1分 ‎①若直线的斜率不存在，则为椭圆与轴交点，为椭圆与轴交点，‎ 因此，，‎ 则． ……2分 ‎②若直线的斜率存在且为0，则为椭圆与轴交点，为椭圆与轴交点，‎ 因此，，‎ 则. ……3分 ‎③若直线的斜率存在且不为0，‎ 可设直线方程为，‎ 则直线的方程为． ……4分 联立，得， ……5分 即，， ……6分 即， ……7分 同理，， ……8分 则． ……10分 方法二 ‎①若直线的斜率存在时，设，与椭圆方程联立得：‎ ‎，有， ……2分 由题意，，设，，‎ 所以，． ……3分 因为以为直径的圆过原点，‎ 由，得 ， ……4分 即，整理得，‎ ‎， ……5分 而 ……6分 设h为到的距离，则 所以，‎ 而，‎ 所以. ……8分 ‎②若直线的斜率不存在，则有， ……9分 不妨设，设，有，‎ 代入椭圆方程得，，‎ ‎，‎ 即，‎ 综上． ……10分 ‎（20）（共15分）‎ ‎（Ⅰ）解；当时，函数， ……1分 ‎， ……2分 ‎， ……3分 ‎， ……4分 所以函数在点处的切线方程是．……5分 ‎（Ⅱ）解法1‎ 函数的定义域为，‎ ‎， ……1分 设（），‎ ‎①当或且≤0，即时，都有，‎ 所以，函数在是增函数， ……2分 又，， ……4分 若时， ，函数在有且只有一个零点，……5分 若时，由于，‎ 所以在存在唯一零点． ……6分 ‎②当时，方程的判别式，‎ 设方程的两根为，不妨设，‎ 由韦达定理可知，， ……7分 所以，‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 因为，所以，‎ 所以， ……8分 由上可知，， 　　 ……9分 存在唯一的使得，‎ 所以函数在有且只有一个零点．‎ 综上所述，对任意的函数有且只有一个零点．……10分 解法2‎ 函数的定义域为，‎ 要使函数有且只有一个零点，只需方程有且只有一个根，‎ 即只需关于x的方程在上有且只有一个解．‎ 设函数， ……1分 则， ……2分 令， ‎ 则， ……3分 由，得． ……4分 x 单调递减 极小值 单调递增 由于， ……5分 所以， ‎ 所以在上单调递增， ……6分 又，， ……8分 ‎①当时， ，函数在有且只有一个零点，‎ ‎②当时，由于，所以存在唯一零点．‎ 综上所述，对任意的函数有且只有一个零点．……10分 ‎（21）（共14分）‎ ‎（Ⅰ），‎ ‎,． ……3分 ‎（Ⅱ）证明:假设， ……1分 设 则= ……2分 即，因为 所以 ……3分 同理，设 可以推出， ……4分 中有两个元素为1，与题设矛盾，‎ 故假设不成立，‎ 不可能为18. ……5分 ‎（Ⅲ）的最大值为17，的最小值为16. ‎ ‎①首先求，由（Ⅱ）知，而是可能的．‎ 当时， ……1分 设 则=‎ 即， ……2分 又 得，即. ‎ 同理可得：． ……3分 对于数列： ‎ 此时，，满足题意．‎ 所以的最大值为17； ……4分 ‎②现证明：的最小值为16.‎ 先证明为不可能的，假设. ……5分 设，‎ 可得，即，元素最大值为10，所以．‎ 又，‎ 同理可以推出，矛盾，假设不成立，所以． ‎ 数列为：时，‎ ‎，，中元素的最大值为16．‎ 所以的最小值为16． ……6分 ‎ ‎