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文档介绍
2018届二轮复习(理) 数列的综合问题学案(全国通用)
第3讲 数列的综合问题 1.数列的综合问题,往往将数列与函数、不等式结合,探求数列中的最值或证明不等式. 2.以等差数列、等比数列为背景,利用函数观点探求参数的值或范围. 3.将数列与实际应用问题相结合,考查数学建模和数学应用能力. 热点一 利用Sn,an的关系式求an 1.数列{an}中,an与Sn的关系 an= 2.求数列通项的常用方法 (1)公式法:利用等差(比)数列求通项公式. (2)在已知数列{an}中,满足an+1-an=f(n),且f(1)+f(2)+…+f(n)可求,则可用累加法求数列的通项an. (3)在已知数列{an}中,满足=f(n),且f(1)·f(2)·…·f(n)可求,则可用累乘法求数列的通项an. (4)将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列). 例1 已知等差数列{an}中,a2=2,a3+a5=8,数列{bn}中,b1=2,其前n项和Sn满足: bn+1=Sn+2(n∈N*). (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn. 解 (1)∵a2=2,a3+a5=8, ∴2+d+2+3d=8,∴d=1,∴an=n. ∵bn+1=Sn+2(n∈N*), ① ∴bn=Sn-1+2(n∈N*,n≥2). ② 由①-②,得bn+1-bn=Sn-Sn-1=bn (n∈N*,n≥2), ∴bn+1=2bn (n∈N*,n≥2). ∵b1=2,b2=2b1, ∴{bn}为首项为2,公比为2的等比数列,∴bn=2n. (2)由cn==, Tn=+++…++, Tn=+++…++, 两式相减,得 Tn=++…+-=1-, ∴Tn=2-. 思维升华 给出Sn与an的递推关系,求an,常用思路:一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an. 跟踪演练1 (2017·天津市红桥区重点中学八校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn-n=2(an-2)(n∈N*). (1)证明:数列{an-1}为等比数列; (2)若bn=an·log2(an-1),数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn. (1)证明 ∵Sn-n=2(an-2), 当n≥2时,Sn-1-(n-1)=2(an-1-2), 两式相减,得an-1=2an-2an-1, ∴an=2an-1-1,∴an-1=2(an-1-1), ∴=2(常数). 又当n=1时,a1-1=2(a1-2), 得a1=3,a1-1=2, ∴数列{an-1}是以2为首项,2为公比的等比数列. (2)解 由(1)知,an-1=2×2n-1=2n, ∴an=2n+1, 又bn=an·log2(an-1), ∴bn=n(2n+1), ∴Tn=b1+b2+b3+…+bn =(1×2+2×22+3×23+…+n×2n)+(1+2+3+…+n), 设An=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n, 则2An=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1, 两式相减,得 -An=2+22+23+…+2n-n×2n+1 =-n×2n+1, ∴An=(n-1)×2n+1+2. 又1+2+3+…+n=, ∴Tn=(n-1)×2n+1+2+. 热点二 数列与函数、不等式的综合问题 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景,给出数列所满足的条件,通常利用点在曲线上给出Sn的表达式,还有以曲线上的切点为背景的问题,解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系,将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体,考查最值问题,不等关系或恒成立问题. 例2 设fn(x)=x+x2+…+xn-1,x≥0,n∈N,n≥2. (1)求fn′(2); (2)证明:fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an),且0<an-<n. (1)解 方法一 由题设fn′(x)=1+2x+…+nxn-1, 所以fn′(2)=1+2×2+…+(n-1)2n-2+n·2n-1, ① 则2fn′(2)=2+2×22+…+(n-1)2n-1+n·2n, ② 由①-②得,-fn′(2)=1+2+22+…+2n-1-n·2n =-n·2n=(1-n)2n-1, 所以fn′(2)=(n-1)2n+1. 方法二 当x≠1时,fn(x)=-1, 则fn′(x)=, 可得fn′(2)= =(n-1)2n+1. (2)证明 因为fn(0)=-1<0, fn=-1=1-2×n ≥1-2×2>0, 所以fn(x)在内至少存在一个零点, 又f′n(x)=1+2x+…+nxn-1>0, 所以fn(x)在内单调递增, 因此fn(x)在内有且仅有一个零点an, 由于fn(x)=-1, 所以0=fn(an)=-1, 由此可得an=+a>, 故<an<, 所以0<an-=a<×n+1=n. 思维升华 解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点 (1)数列是一类特殊的函数,函数定义域是正整数,在求数列最值或不等关系时要特别重视. (2)解题时准确构造函数,利用函数性质时注意限制条件. (3)不等关系证明中进行适当的放缩. 跟踪演练2 (2016届浙江省宁波市期末)已知数列满足a1=2,an+1=2(Sn+n+1)(n∈N*),令bn=an+1. (1)求证:是等比数列; (2)记数列{nbn}的前n项和为Tn,求Tn; (3)求证:-<+++…+<. (1)证明 a1=2,a2=2(2+2)=8, an+1=2(Sn+n+1)(n∈N*) an=2(Sn-1+n)(n≥2), 两式相减,得an+1=3an+2(n≥2). 经检验,当n=1时上式也成立, 即an+1=3an+2(n≥1). 所以an+1+1=3(an+1),即bn+1=3bn,且b1=3. 故{bn}是等比数列. (2)解 由(1)得bn=3n. Tn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n, 3Tn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1, 两式相减,得 -2Tn=3+32+33+…+3n-n×3n+1 =-n×3n+1, 化简得Tn=×3n+. (3)证明 由=>, 得+++…+>++…+ ==-×. 又== < =, 所以+++…+ <+ =+ =+-×<, 故-<+++…+<. 热点三 数列的实际应用 用数列知识解相关的实际问题,关键是合理建立数学模型——数列模型,弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型,它的首项是什么,项数是多少,然后转化为解数列问题.求解时,要明确目标,即搞清是求和,还是求通项,还是解递推关系问题,所求结论对应的是解方程问题,还是解不等式问题,还是最值问题,然后进行合理推算,得出实际问题的结果. 例3 自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来,在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园,台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务,某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M,M的价值在使用过程中逐年减少,从第二年到第六年,每年年初M的价值比上年年初减少10万元,从第七年开始,每年年初M的价值为上年年初的75%. (1)求第n年年初M的价值an的表达式; (2)设An=,若An大于80万元,则M继续使用,否则须在第n年年初对M更新,证明:必须在第九年年初对M更新. (1)解 当n≤6时,数列{an}是首项为120,公差为-10的等差数列,故an=120-10(n-1)=130-10n, 当n≥7时,数列{an}从a6开始的项构成一个以a6=130-60=70为首项,以为公比的等比数列, 故an=70×n-6, 所以第n年年初M的价值an= (2)证明 设Sn表示数列{an}的前n项和,由等差数列和等比数列的求和公式,得 当1≤n≤6时,Sn=120n-5n(n-1), An==120-5(n-1)=125-5n≥95>80, 当n≥7时,由于S6=570, 故Sn=570+(a7+a8+…+an)=570+70××4×=780-210×n-6. 因为{an}是递减数列,所以{An}是递减数列. 因为An==, A8=≈82.734>80, A9=≈76.823<80, 所以必须在第九年年初对M更新. 思维升华 常见数列应用题模型的求解方法 (1)产值模型:原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间n的总产值y=N(1+p)n. (2)银行储蓄复利公式:按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期的利率为r,存期为n,则本利和y=a(1+r)n. (3)银行储蓄单利公式:利息按单利计算,本金为a元,每期的利率为r,存期为n,则本利和y=a(1+nr). (4)分期付款模型:a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则b=. 跟踪演练3 (2017·全国Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ) A.440 B.330 C.220 D.110 答案 A 解析 设首项为第1组,接下来的两项为第2组,再接下来的三项为第3组,依此类推.则第n组的项数为n,前n组的项数和为. 由题意知,N>100,令>100⇒n≥14且n∈N*,即N出现在第13组之后. 第n组的各项和为=2n-1,前n组所有项的和为-n=2n+1-2-n. 设N是第n+1组的第k项,若要使前N项和为2的整数幂,则N-项的和即第n+1组的前k项的和2k-1应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(k∈N*,n≥14),k=log2(n+3)⇒n最小为29,此时k=5,则N=+5=440.故选A. 真题体验 1.(2016·浙江)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=______,S5=______. 答案 1 121 解析 由解得a1=1,a2=3, 当n≥2时,由已知可得 an+1=2Sn+1, ① an=2Sn-1+1, ② 由①-②,得an+1-an=2an,∴an+1=3an,又a2=3a1, ∴{an}是以a1=1为首项,以q=3为公比的等比数列. ∴S5==121. 2.(2017·山东)已知{xn}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2. (1)求数列{xn}的通项公式; (2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2),…,Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2…Pn+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=xn+1所围成的区域的面积Tn. 解 (1)设数列{xn}的公比为q. 由题意得 所以3q2-5q-2=0, 由已知得q>0, 所以q=2,x1=1. 因此数列{xn}的通项公式为xn=2n-1. (2)过P1,P2,…,Pn+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,…,Qn+1. 由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1, 记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn, 由题意得bn=×2n-1=(2n+1)×2n-2, 所以Tn=b1+b2+…+bn =3×2-1+5×20+7×21+…+(2n-1)×2n-3+(2n+1)×2n-2, ① 则2Tn=3×20+5×21+7×22+…+(2n-1)×2n-2+(2n+1)×2n-1, ② 由①-②,得 -Tn=3×2-1+(2+22+…+2n-1)-(2n+1)×2n-1 =+-(2n+1)×2n-1. 所以Tn=. 押题预测 已知数列{an}的前n项和Sn满足关系式Sn=kan+1,k为不等于0的常数. (1)试判断数列{an}是否为等比数列; (2)若a2=,a3=1. ①求数列{an}的通项公式及前n项和Sn的表达式; ②设bn=log2Sn,数列{cn}满足cn=+bn+2·2bn,数列{cn}的前n项和为Tn,当n>1时,求使Tn查看更多
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