2019-2020学年山东省济南市章丘区章丘市第四中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年山东省济南市章丘区章丘市第四中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山东省济南市章丘区章丘市第四中学高二上学期12月月考数学试题 一、单选题 ‎1．命题“”的否定是（ ）‎ A． B．‎ C．不存在 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先将命题“”的任意与存在互换，再将结论否定即可解.‎ ‎【详解】‎ 的否定为，的否定为 ‎，∴命题“”的否定 是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 考查全称命题的否定，对全称命题的否定除了要对结论进行否定外，还要对全称量词作相应变化.‎ ‎2．在等差数列中,，则（ ）‎ A．5 B．8 C．10 D．14‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：设等差数列的公差为，由题设知，，所以，‎ 所以，‎ 故选B.‎ ‎【考点】等差数列通项公式.‎ ‎3．椭圆的一个焦点是，那么（ ）‎ A． B．-1 C．1 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先将椭圆方程，化为椭圆标准方程，再根据即可解出k值.‎ ‎【详解】‎ 由，得，则有.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 考查椭圆的标准方程以及焦点公式.椭圆标准方程 焦点，,则有.题目较为简单.‎ ‎4．已知，则的最大值是（ ）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用均值不等式即可解,注意何时取等号.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：①，解得.‎ 当，即时不等式①取等号. ‎ ‎∴的最大值为2.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 考查均值不等式的应用. ,当时区取等号.运用均值不等式要注意均为正数.‎ ‎5．设数列满足且，则数列前10项和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由可求出数列的通项公式，则可得数列的通项公式，再用裂项相消求得数列数列的前n项和的公式，则数列前10项和可解.‎ ‎【详解】‎ ‎∵数列满足，且，‎ ‎∴当时，‎ ‎∴，当时，也成立.‎ 则，‎ ‎ ‎ ‎∴数列前10项和.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 考查数列的通项公式以及利用裂项相消法求数列的前n项和.其中将拆为为解题关键.‎ ‎6．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.‎ 详解：‎ 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.‎ 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.‎ ‎7．关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先将不等式转化为，再利用双勾函数的性质可解.‎ ‎【详解】‎ 由不等式在区间上有解，得在 区间有解.令，，‎ ‎， 则有∴，a的取值范围为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 考查利用双勾函数求参数的范围，其中将不等式转化为为解题关键.‎ ‎8．设斜率为的直线过抛物线的焦点，与交于两点，且，则（ ）‎ A． B．1 C．2 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】先由题意，得直线方程为：，设，联立直线与抛物线方程，结合弦长，列出等式，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为斜率为的直线过抛物线的焦点，所以直线方程为，‎ 设，‎ 由得，整理得：，‎ 所以，因此，‎ 又，所以，解得.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，根据弦长求参数的问题，熟记抛物线方程以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型.‎ ‎9．在等比数列中，，则的值为（ ）‎ A．3 B．6 C．9 D．27‎ ‎【答案】A ‎【解析】由可求得的值，再将化为的形式，又由等比数列的性质， ，则的值可求.‎ ‎【详解】‎ ‎①‎ 又∵，∴①式 ‎ ‎∵，得，∴.‎ ‎∴，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 考查等比数列的性质，若，则.‎ ‎10．已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF2 |>| PF1 |，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则的最小值为（ ）‎ A．4 B．6 C． D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：，设椭圆方程为，‎ 双曲线方程为，‎ 又∵.‎ ‎∴，∴，‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎，当且仅当，‎ 即时等号成立.‎ 则的最小值为8.‎ 故答案为：8.‎ ‎【点睛】‎ 考查椭圆和双曲的定义,焦半径公式以及离心率，其中将化为为解题关键，注意取等号.‎ 二、多选题 ‎11．下列叙述中不正确的是（ ）‎ A．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 B．若，则“”的充要条件是“”‎ C．“”是“”的充分不必要条件 D．若,则“”的充要条件是“”‎ ‎【答案】AB ‎【解析】对A，B，C，D四个选项条件和结论进行推导，判断是否正确.‎ ‎【详解】‎ A.令，方程有一个正根和一个 负根，则，则有，∴“”是“方程 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，错误. ‎ B.当时，若“”成立，而，充分性不成立 ‎,错误. ‎ C.,∴“”是“”的充分不必要条 件，正确 D.可以推出，而也可以推 出，正确. ‎ 故选：AB.‎ ‎【点睛】‎ 考查命题的充要条件，充分不必要条件，必要不充分条件.运用了二次函数的性质，基本不等式的性质.‎ ‎12．已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（ ）‎ A．双曲线的渐近线方程为 B．以为直径的圆的方程为 C．到双曲线的一条渐近线的距离为1 D．的面积为1‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】求出双曲线C渐近线方程，焦点，的面积即可判断.‎ ‎【详解】‎ A.代入双曲线渐近线方程得,正确.‎ B.由题意得，则以为直径的圆的方程 不是，错误.‎ C.，渐近线方程为，距离为1，正确.‎ D. 由题意得,设，根 据，解得，，则 的面积为1.正确.‎ 故选：ACD.‎ ‎【点睛】‎ 考查双曲线的渐近线方程，焦点，以及双曲线上的几何性质.题目涉及知识点较为广泛.‎ ‎13．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B．‎ C．的最大值为 D．的最大值为 ‎【答案】AD ‎【解析】分类讨论大于1的情况，得出符合题意的一项.‎ ‎【详解】‎ ‎①, 与题设矛盾.‎ ‎②符合题意.‎ ‎③与题设矛盾.‎ ‎④ 与题设矛盾. ‎ 得，则的最大值为.‎ B，C，错误.‎ 故选：AD.‎ ‎【点睛】‎ 考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：.‎ 三、填空题 ‎14．函数，若不等式的解集为，那么_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先讨论当时，不等式的解集，再讨论当时，分类讨论当，，时，不等式的解集，再讨论当时，不等式的解集.再综合得出a和b的值即可解.‎ ‎【详解】‎ 当时，，∵，∴，，不符合题意;‎ 当时，，则由，得，‎ ‎∴,分类讨论如下： ‎ ‎（i）当时，不等式的解集为：，不合题意.‎ ‎（ii）当时，不等式的解集为：，不合题意.‎ ‎（iii）当时，不等式的解集为：，不合题意.‎ 当时，，由得，‎ ‎∴，∵已知解集为时，不等式为，‎ ‎ 又∵，∴，∴，即.‎ 综上：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 考查已知解集求含参不等式的参数值.运用了分类讨论的思想求解.其中将化为形式为解题的突破口，题目较难.‎ ‎15．已知数列的通项公式为，则数列前15项和为的值为___．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：,利用裂项相消法即可得结果 详解：因为数列的通项公式为，‎ 所以 ‎，故答案为.‎ 点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎16．设分别是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则=______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先设P点，中点，再求焦点,再根据线段的中点在轴上，求出P点坐标，再利用焦半径公式即可得的长,则可解.‎ ‎【详解】‎ 设，中点. ‎ 由题意得，，由线段的中点在轴上，‎ 则有，，代入中得P点坐标 为或根据焦半径公式可得，，‎ ‎∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 考查椭圆的焦半径公式, 解题关键要求出P点坐标.‎ ‎17．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，得数列，则；对，．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为，，，…………‎ 所以 以上n个式子相加，得。‎ ‎【考点】数列的应用；数列通项公式的求法。‎ 点评：做这类题目最重要的就是寻找规律。此题通过寻找前一项与后一项差的规律，进而求出数列的通项公式。‎ 四、解答题 ‎18．已知集合，，‎ ‎.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定义，B集合解不等式即可，然后由交集定义即可得结论；（2）若“”是“”的必要不充分条件，说明且，然后根据集合关系求解.‎ 详解：‎ ‎(1), ‎ ‎． ‎ 则 ‎ ‎(2)，‎ 因为“”是“”的必要不充分条件，‎ 所以且． ‎ 由，得，解得． ‎ 经检验，当时，成立，‎ 故实数的取值范围是． ‎ 点睛：考查定义域，解不等式，交集的定义以及必要不充分条件，正确求解集合，缕清集合间的基本关系是解题关键，属于基础题.‎ ‎19．设椭圆的短轴长为4，离心率为.‎ ‎（1）直线 与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；‎ ‎（2）设点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2） ‎ ‎【解析】（1）由短轴长为4可求出b的值，再由离心率为，可求出椭圆方程，再将直线方程代入椭圆方程中，解即可.（2）先设，先讨论直线l斜率不存在的情况，再讨论直线l斜率存在，设直线方程为，再联立椭圆方程，两式相减可求出直线l得斜率即可解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意所以,‎ 即椭圆方程为, ‎ ‎,‎ ‎,即.‎ ‎（2）设 ‎①当斜率不存在时,，弦的中点不符合题意，舍去.‎ ‎②当斜率存在时，设直线l方程为.‎ 由点是直线被椭圆所截得的线段的中点，‎ 则有，.‎ 两式相减得，直线的方程为，‎ 所以直线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 考查椭圆方程的解析式，利用直线和椭圆的位置关系求参数的取值范围，以及给出定点求相交直线方程的解析式.解题（2）的关键利用中点，得.‎ ‎20．设数列的前项和为，且满足.‎ ‎（1）证明：数列是等比数列，并求它的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）.‎ ‎【解析】（1）由且可推出等于一个常数，即可证明数列是等比数列，再求出的值，即可推出数列的通项公式. ‎ ‎（2）由（1）可知数列的通项公式，则可求出数列的通项公式，再利用错位相减即可求出数列的前项和.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时, ，‎ ‎ ,‎ 当时, , ‎ 所以数列是以2为首项,以2为公比的等比数列. ‎ ‎.‎ ‎（2）， ‎ ‎，‎ ‎ ，‎ 两式作差得：，‎ 化简 ，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 考查等比数列的定义，通项公式，和利用错位相减法求数列的前n项和.其中利用错位相减法求数列的前n项和为难点，需多加练习.‎ ‎21．某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元，满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.‎ ‎（1）将2020年该产品的利润（万元）表示为年促销费用（万元）的函数；‎ ‎（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？‎ ‎【答案】（1）；（2）厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,为21万元.‎ ‎【解析】（1）由不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，可求k的值，再求出每件产品销售价格的代数式，则利润（万元）表示为年促销费用（万元）的函数可求.‎ ‎（2）由（1）得，再根据均值不等式可解.注意取等号.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知,当时,‎ 所以, ‎ 每件产品的销售价格为元.‎ 所以2020年的利润；‎ ‎(2)由(1)知,,‎ 当且仅当,即时取等号, ‎ 该厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,为21万元.‎ ‎【点睛】‎ 考查均值不等式的应用以及给定值求函数的参数及解析式.题目较易，考查的均值不等式，要注意取等号.‎ ‎22．设各项均为正数的数列的前项和为，满足，.且构成等比数列.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）设，数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；(3).‎ ‎【解析】（1）令，则由可推出，则可推出.‎ ‎（2）由①，可得②，联立①②可得，再根据构成等比数列，可推出可数列的通项公式.‎ ‎（3）先求出数列的通项公式，再用列项相消法即可求出数列的前项和.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时, ；‎ ‎(2) 当时, ，‎ 又各项为正，所以 ，‎ 因为构成等比数列,所以 ，‎ ‎,由,所以 ，‎ ‎,‎ 所以数列是为首项，2为公差的等差数列.‎ ‎；‎ ‎(3) ，‎ ‎ ，‎ ‎， .‎ ‎【点睛】‎ 考查利用等差数列的通项公式，对数列前n项和的理解，利用裂项相消法求数列的前n项和.其中将拆为 ，为解题关键.‎ ‎23．已知椭圆的中心在坐标原点，离心率等于，它的一个长轴端点恰好是抛物线的焦点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知、（）是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为.‎ ‎①求四边形APBQ的面积的最大值；‎ ‎②求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）①；②证明见解析.‎ ‎【解析】（1）设椭圆C的方程，再根据抛物线的焦点坐标，和椭圆离心率，则可求出椭圆C的方程的解析式.‎ ‎（2）①先求出m的值，设，和直线AB的方程，再联立直线AB的方程和由（1）求得的椭圆方程，得到，可求出t的范围，再根据韦达定理可得，则四边形APBQ的面积的最大值可求，②由①得P点坐标，再根据斜率公式写出,,再将化简即可得则可证.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意设椭圆的方程为，‎ 因为抛物线的焦点坐标为，则， ‎ 由， ‎ ‎∴椭圆C的方程为. ‎ ‎（2）①当时，解得，‎ ‎， ‎ 设，直线AB的方程为，‎ ‎ ，‎ ‎ ， ‎ 由，解得， ‎ 由韦达定理得.‎ ‎， ‎ 由此可得：四边形APBQ的面积，‎ ‎∴当时，. ‎ ‎②，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即 ，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 考查椭圆的标准方程，椭圆中的最值问题以及椭圆的应用.题目较难.需多加理解.‎