高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：3-3-3、4 点到直线的距离 两条平行直线间的距离

高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：3-3-3、4 点到直线的距离 两条平行直线间的距离

一、选择题 ‎1．点(0,5)到直线y＝2x的距离是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　由y＝2x得：2x－y＝0，∴由点到直线的距离公式得：d＝＝，故选B.‎ ‎2．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　)‎ A．4 B. C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　∵两直线平行，∴＝，∴m＝4，‎ ‎∴两平行直线6x＋4y－6＝0和6x＋4y＋1＝0的距离 d＝＝.‎ ‎3．已知点A(3,4)，B(6，m)到直线3x＋4y－7＝0的距离相等，则实数m等于(　　)‎ A. B．－ C．1 D.或－ ‎[答案]　D ‎[解析]　由题意得＝，‎ 解得m＝或m＝－.‎ ‎4．点P为x轴上一点，点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为(　　)‎ A．(8,0) B．(－12,0)‎ C．(8,0)或(－12,0) D．(0,0)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　设P(a,0)，则＝6，‎ 解得a＝8或a＝－12，‎ ‎∴点P的坐标为(8,0)或(－12,0)．‎ ‎5．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程为(　　)‎ A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0‎ C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由已知得，所求直线过(1,2)且垂直于(0,0)与(1,2)两点的连线，‎ ‎∴所求直线的斜率k＝－，‎ ‎∴y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.‎ ‎6．已知直线l过点(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为(　　)‎ A．2x＋3y－18＝0‎ B．2x－y－2＝0‎ C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0‎ D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0.‎ 由已知有＝，所以k＝2或k＝－，‎ 所以直线方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.‎ ‎7．P，Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为(　　)‎ A. B. C．3 D．6‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　|PQ|的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x＋4y－12＝0上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3.‎ ‎8．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是(　　)‎ A．8 B．2 C. D．16‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　x2＋y2表示直线上的点P(x，y)到原点距离的平方，‎ ‎∵原点到直线x＋y－4＝0的距离为＝2，‎ ‎∴x2＋y2最小值为8.故选A.‎ 二、填空题 ‎9．已知点A(0,4)，B(2,5)，C(－2,1)，则BC边上的高等于________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　直线BC：x－y＋3＝0，‎ 则点A到直线BC的距离d＝＝，‎ 即BC边上的高等于.‎ ‎10．过点A(－3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是________．‎ ‎[答案]　3x－y＋10＝0‎ ‎[解析]　当原点与点A的连线与过点A的直线垂直时，距离最大．∵kOA＝－，∴所求直线的方程为y－1＝3(x＋3)，即3x－y＋10＝0.‎ ‎11．直线l1：2x＋4y＋1＝0与直线l2：2x＋4y＋3＝0平行，点P是平面直角坐标系内任一点，P到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，则d1＋d2的最小值是________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　l1与l2的距离d＝＝，‎ 则d1＋d2≥d＝，‎ 即d1＋d2的最小值是.‎ ‎12．两条平行线分别经过点(1,0)和(0,5)，且两条直线的距离为5，它们的方程是____________．‎ ‎[答案]　y＝5和y＝0或者5x－12y＋60＝0和5x－12y－5＝0.‎ ‎[解析]　设l1：y＝kx＋5，l2：x＝my＋1，在l1上取点A(0,5)．‎ 由题意A到l2距离为5，‎ ‎∴＝5，解得m＝，‎ ‎∴l2：5x－12y－5＝0.‎ 在l2上取点B(1,0)．则B到l1的距离为5，‎ ‎∴＝5，‎ ‎∴k＝0或k＝，‎ ‎∴l1：y＝5或5x－12y＋60＝0，‎ 结合l2斜率不存在的情况知两直线方程分别为：‎ l1：y＝5，l2：y＝0；‎ 或l1：5x－12y＋60＝0，l2：5x－12y－5＝0.‎ 三、解答题 ‎13．已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，其一边所在直线的方程为x＋3y－5＝0，求其它三边的方程．‎ ‎[解析]　由解得 即该正方形的中心为(－1,0)．‎ 所求正方形相邻两边方程3x－y＋p＝0和x＋3y＋q＝0.‎ ‎∵中心(－1,0)到四边距离相等，‎ ‎∴＝，＝，‎ 解得p1＝－3，p2＝9和q1＝－5，q2＝7，‎ ‎∴所求方程为3x－y－3＝0,3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0.‎ ‎14．在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标．‎ ‎[解析]　由题知|AB|＝＝5，‎ ‎∵S△ABC＝|AB|·h＝10，∴h＝4.‎ 设点C的坐标为(x0，y0)，而AB的方程为y－2＝－(x－3)，即3x＋4y－17＝0.‎ ‎∴ 解得或 ‎∴点C的坐标为(－1,0)或(，8)．‎ ‎15．求经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程．‎ ‎[分析]　解答本题可先设出过点P的点斜式方程，注意斜率不存在的情况，要分情况讨论，然后再利用已知条件求出斜率，进而写出直线方程．另外，本题也可利用平面几何知识，先判断直线l与直线AB的位置关系，再求l方程．事实上，l∥AB或l过AB中点时，都满足题目的要求．‎ ‎[解析]　方法一：当直线斜率不存在时，即x＝1，显然符合题意，当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k，即直线方程为y－2＝k(x－1)，‎ 由条件得＝，解得k＝4，‎ 故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.‎ 方法二：由平面几何知识知l∥AB或l过AB中点．‎ ‎∵kAB＝4，‎ 若l∥AB，则l的方程为4x－y－2＝0.‎ 若l过AB中点(1，－1)，则直线方程为x＝1，‎ ‎∴所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.‎ 规律总结：针对这个类型的题目常用的方法是待定系数法，即先根据题意设出所求方程，然后求出方程中有关的参量．有时也可利用平面几何知识先判断直线l的特征，然后由已知直接求出直线l的方程．‎ ‎16．直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．‎ ‎[解析]　(1)当所求直线经过坐标原点时，‎ 设其方程为y＝kx，由点到直线的距离公式可得 ‎3＝，解得k＝－6±.‎ 故所求直线的方程为y＝(－6±)x.‎ ‎(2)当直线不经过坐标原点时，‎ 设所求直线方程为＋＝1，即x＋y－a＝0.‎ 由题意可得＝3.解得a＝1或a＝13.‎ 故所求直线的方程为x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.‎ 综上可知，所求直线的方程为 y＝(－6±)x或x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.‎